2023届海南省高三上学期11月联考数学试题含解析

2023届海南省高三上学期11月联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将集合化简，再结合集合的交集运算即可得到结果.

【详解】将集合化简可得，

则

故选:A

2．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据全称量词命题的否定即可得到答案.

【详解】根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反.

故原命题的否定为，

故选：C.

3．已知函数 则（    ）

A．1 B．3 C．6 D．9

【答案】B

【分析】先求得，再求的值，即得答案.

【详解】由题意可得，则，

故选：B.

4．已知是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（    ）

A．56 B． C．54 D．

【答案】D

【分析】先根据求出，再根据代入题目条件计算即可.

【详解】因为是定义在上的奇函数，

所以，

得

当时，，得

故选：D.

5．函数的图象在其零点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出函数的零点，求出函数在该点处的导数值，根据导数的几何意义即可求得答案.

【详解】令，则，即的零点为，

又，而，

故函数的图象在其零点处的切线方程为，即，

故选：B.

6．早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行估算.如图所示，把太阳光视为平行光线，O为地球球心，A，B为北半球上同一经度的两点，且A，B之间的经线长度为L，于同一时刻在A，B两点分别竖立一根长杆和，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角和（和的单位为弧度），由此可计算地球的半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】过点B作太阳光的平行线，与 的延长线交于点C，可求出，利用弧长公式即可求得地球的半径.

【详解】如图所示，过点B作太阳光的平行线，与 的延长线交于点C，

则 ， ，所以,

设地球半径为R,则根据弧长公式得 ，所以 ,

故选：A.

7．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用作差法可得，令可得，进而可推出，从而得解

【详解】因为，

又，所以，

所以，所以；

令，则恒成立，

所以在递增，所以，

所以

又，

所以，所以，

又，

所以，即；

所以，

故选：B

8．已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数导数，由题可知需使得在上没有变号零点，因此分离参数，令，利用导数求得其最小值，则可得，即可求得答案.

【详解】由题意得 ，

由题意可得是函数在区间上唯一变号的零点，

令 ，则需满足 在上没有变号零点；

令，得，令，则 ，

当 时， ，函数 单调递增，当 时，，函

数单调速减，

故当 时取得最小值， 其大致图象如图：

要使没有变号零点，则需，即，

即实数k的取值范围是,

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的关键在于求出导数后，需使得 在上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.

二、多选题

9．已知函数的一个零点为，则（    ）

A． B．的最大值为2

C．在上单调递增 D．的图象可由曲线向右平移个单位长度得到

【答案】AD

【分析】代入，结合求解函数解析式，根据正弦型函数的性质判断ABC ，再结合，通过平移变换判断D.

【详解】由题意，函数，即，解得，又，故，即，

即，

选项A，，正确；

选项B，，错误；

选项C，当，结合的单调性，函数先单调递减，后单调递增，错误；

选项D，向右平移个单位可得，正确.

故选：AD

10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据函数的定义域结合图象可得，判断C;从而求得，判断b的符号，判断B;求得函数零点，可得，判断a的符号，判断A;由图象可知，化简判断D.

【详解】由可知函数定义域为，

由图象可知 ，C正确；

因为 ，B正确；

令，由图象知，A错误；

由，D正确，

故选：.

11．定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（    ）

A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称

C．的值域为 D．的实数根个数为6

【答案】BC

【分析】利用可判断A;根据函数满足的性质推得和皆为的图象的对称轴，可判断B;数形结合判断C;数形结合，将的实数根个数问题转化为函数图象的交点问题，判断D.

【详解】由题意可知当时，，

故，则，

即的图象不关于点对称，A错误；

由于函数满足，故4为函数的周期；

函数为偶函数，则的图象关于直线对称，即有，

则，故的图象也关于直线对称，

由于4为函数的周期，故和皆为的图象的对称轴，

当时，，故B正确；

由函数性质作出函数的图象如图，可知函数值域为，C正确；

方程的根即 与 的图象的交点的横坐标，

因为当时， ，

当时， ，当时，，

所以与 的图象共有7个交点，

即方程的实数根个数为7，故D错误，

故选：.

【点睛】方法点睛：（1）抽象函数的奇偶性以对称性结合问题，往往要采用赋值法，推得函数周期性；（2）方程根的个数问题，往往采用数形结合，将根的问题转化为函数图象交点问题.

12．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D在边上，和的面积分别为和且，则（    ）

A． B．

C．面积的最小值是 D．的最小值为6

【答案】AC

【分析】利用三角形面积结合条件推出以，可判断A,B;根据正弦定理表示出和，进而表示出面积，结合三角函数性质求最值，判断C;表示出，由此设，求出导数，利用导数判断函数单调性，进而判断的最小值不为6，判断D.

【详解】如图所示，

因为,

 且,所以 ，

所以 ， ,因为为三角形内角，

所以,故，故A项正确，B项错误；

，所以 ，

在 中， 即 ；

在 中，由正弦定理可得 即 ，

所以 ，

所以 ，因为 ，所以 ，

当 时 ， 取得最小值8，

所以，

即 面积的最小值是 ，故C项正确；

，设，

则 ，在 单调递减，在 单调递增，故在单调递增，

因为 ，

故存在 满足 ，且在 单调递减，在 单调递增，

故 因此 的最小值不是6，故D错误，

故选：

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是判断的最小值是否为6，这一项的判断综合性很大，计算量也大，关键点在于利用正弦定理表示出后，要利用构造函数，利用导数判断其单调性，根据单调性进行判断.

三、填空题

13．已知，若是函数的一个周期，则___________.

【答案】4

【分析】根据是函数的一个周期，可知是的整数倍，即应为整数，结合，可得答案.

【详解】由题意可知是的整数倍，即应为整数，

由于，故，

故答案为：4.

14．已知正数a，b满足，则函数的定义域为___________.

【答案】

【分析】根据指对数的运算可求得的值，然后列出不等式求解即可得到函数的定义域.

【详解】由可得，即，所以，代入

即，解得或（舍），则

所以

解得

所以函数定义域为

故答案为:

15．已知是第四象限角，且，则___________.

【答案】

【分析】利用二倍角公式化简可得，结合同角三角函数关系式求得，继而求得，从而利用诱导公式求得答案.

【详解】由可得，即，

所以，解得或（舍去），

因为是第四象限角，故，

所以，

故答案为：.

16．已知函数在区间上的最大值为5，则实数___________.

【答案】##

【分析】设，，再对分三种情况讨论分析得解.

【详解】设 ，

设

所以.

设.

当时，无解；

当时，，此时时，，所以舍去；

当时，如果则无解；如果时，，，此时；

如果则无解.

综上所述，.

故答案为：.

四、解答题

17．设等差数列的前n项和为，已知.

(1)求的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和.

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）由题意可列出方程组，求得首项和公差，即可得答案；

（2）由（1）可得的表达式，讨论n的奇偶性，结合并项求和，可得答案.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，可得，

则 ，解得 ，

所以 .

（2）由(1)知，

当n为偶数时，，

所以当n为偶数时， ；

当n为奇数时，，

.

18．近年来青少年近视问题日趋严重，引起了政府､教育部门和社会各界的高度关切.一研究机构为了解近视与户外活动时间的关系，对某地区的小学生随机调查了100人，得到如下数据：

(1)从这些小学生中任选1人，A表示事件“该小学生近视”，B表示事件“该小学生平均每天户外活动时间不足1小时”，分别求和；

(2)完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为近视与户外活动时间有关系？

附：

【答案】(1);

(2)列联表见解析；可以认为近视与户外活动时间有关系

【分析】（1）由题意可得事件以及事件的人数，根据古典概型的概率公式求得答案；

（2）由题意可得列联表，根据计算，与临界值表比较可得结论.

【详解】（1）由题意可知小学生近视且平均每天户外活动时间不足1小时的人数为15，

故；

小学生不近视且平均每天户外活动时间超过1小时的人数为 ，

故 .

（2）列联表如下：

所以 ，因为 ，

所以根据小概率值的独立性检验，可以认为近视与户外活动时间有关系.

19．已知的内角 的对边分别为 ，.

(1)求A；

(2)若，且，求的面积.

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）利用三角形面积公式结合题设可得，化简得，即可求得答案；

（2）结合所给条件，利用余弦定理可得，从而利用求得，进而得b,进而利用三角形面积公式求得答案.

【详解】（1）根据三角形面积公式有 ,

因为，所以 ，

得 ，

，不适合该式，所以 ，

由，得.

（2）由题意，

由余弦定理可得 ，

可得 ，所以由可得 得，

于是 ，

所以 的面积 .

20．已知矩形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，，且.

(1)求证：；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）在上取一点H，使得 ，连接,证明平面平面.继而证明平面，从而平面，根据线面垂直的性质可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量和平面的法向量,根据向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】（1）如图，在上取一点H，使得 ，连接,

因为 ，所以,平面,平面,

故平面，

因为 , ，再由条件知，所以是平行四边形，

所以 ，平面,平面,故平面，

又平面 ，

所以平面平面.

由条件可知 ，又因为平面平面 ，交线为 ，平面,

所以平面，所以平面，平面,

所以.

（2）由（1）知平面，而，故平面，

故分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则 ，

则 ,

设平面的法向量为 ，

 则 ，

令 ，得 ，

平面的一个法向量为 ，

设平面与平面 的夹角为 ，

则 .

21．已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，C的上顶点为M，右顶点为N，O为坐标原点，的面积为.

(1)求C的方程；

(2)斜率为的直线l与椭圆C交于 两点，若在y轴上存在唯一的点P，满足，求l的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用双曲线得离心率可得椭圆的离心率，结合面积，求得，即得答案；

（2）根据可得，结合题意推出以为直径的圆与y轴相切，设直线方程，联立椭圆方程得根与系数关系式，求得弦长，利用以为直径的圆的半径 ，求得m，可得答案.

【详解】（1）设C的半焦距为c( )，

双曲线的离心率为 ，所以C的离心率为 ，即 ①，

因为的面积为 ，所以 ②，

结合①②与 ，解得，

故C的方程为.

（2）由 得： .

因为在y轴上存在唯一的点P满足，即在y轴上存在唯一的点P满足，

所以以为直径的圆与y轴相切，

设直线 ，

联立 ，整理得，

则 ，得 ，

，

可得中点的横坐标为，所以以为直径的圆的半径 ，

因为 ，

则 ，解得，

故直线l的方程是 或 .

【点睛】方法点睛：（1）求圆锥曲线的方程时，一般是根据题意列出方程组，求得,可得方程；

（2）求解直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般方法时设直线方程，要注意斜率是否存在，联立组成方程组，整理得根与系数关系式，然后由题意要得到一等量关系，然后结合根与系数的关系进行化简；

22．已知函数.

(1)若，求的单调区间；

(2)若方程在区间上有且仅有1个实数根，求a的取值范围.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；

(2)．

【分析】(1)求出函数导数，根据导数的正负，确定函数的单调区间；

(2)由，得，令，将方程在区间上有且仅有1个实数根的问题转化为函数在区间上有且仅有1个零点问题，利用导数判断函数单调性，分类讨论a的取值范围，结合零点存在定理即可求得答案．

【详解】（1）若，则，，，

令，则，令，则，

故的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）由，得，

令，则在上有唯一零点，

，令，则，

(i)若则在上，，单调递增，

又，，故存在使得，

且当时，，单调递减，当时，，单调递增，

又∵，∴在上没有零点；

(ⅱ)若，则在上，单调递减，

又，，故存在使得，

且当时，，单调递增，当时，，单调递减，

又∵，∴在上没有零点；

(ⅲ)若，则在上单调递减，在上单调递增，

故，

令，则，

∴当，单调递增，

当时，单调递减，

∴，即．

要使在上有唯一零点，只需，

得，

综上可得，a的取值范围为．

【点睛】方法点睛：解决方程在区间上有且仅有1个实数根的问题时，转化为区间上有且仅有1个零点的问题，求出函数导数，其中要分类讨论a的取值范围，确定导数正负，判断函数的单调性，再结合函数零点存在定理解决问题．