2023届辽宁省沈阳市高三上学期11月联合考试数学试卷含解析

这是一份2023届辽宁省沈阳市高三上学期11月联合考试数学试卷含解析，共37页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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沈阳市2023届高三上学期11月联合考试数学试卷
考试时间：150分钟

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设x>0，y>0，不等式1x+1y+mx+y≥0恒成立，则实数m的最小值是(    )
A. -2 B. -4 C. 1 D. 2
2. 已知双曲线x2-y24=1的左、右顶点为A,B，焦点在y轴上的椭圆以A,B为顶点，且离心率为32，过A作斜率为k的直线l交双曲线于另一点M，交椭圆于另一点N，若AN=NM，则k的值为(    )
A. ±233 B. ±1 C. ±33 D. ±223
3. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为(    )

A. 2060 B. 2038 C. 4084 D. 4108
4. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成(如图所示).若它所有棱的长都为2，则(    )
A. BC⊥平面ABE
B. 该二十四等边体的体积为3223
C. ME与PN所成的角为45°
D. 该二十四等边体的外接球的表面积为16π
5. 点O在△ABC的内部，且满足：OA→+2OB→+4OC→=0→，则△ABC的面积与△AOC的面积之比是(    )
A. 72 B. 3 C. 52 D. 2
6. 已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程f(x)=2-x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(    )
A. 0,23 B. 23,34
C. a13≤a≤23或a=34  D. a13≤aa>b B. a>c>b C. b>a>c D. a>b>c
8. 在△ABC中，SΔABC=36AB·AC=32，sinB=cosAsinC，P为线段AB上的动点(不包括端点)，且CP=xCA|CA|+yCB|CB|，则1x+3y的最小值为(    )
A. B. C. D. 1+33

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|=2c.直线l：y=kx+ck∈R与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有(    )
A. 若k≠0，则▵ABF2的周长为4a
B. 若AF1⋅AF2=3c2，则椭圆的离心率的取值范围是55,12
C. 若AB的中点为M，则kOM⋅k=a2b2
D. 弦AB长的取值范围是(2b2a,2a]
10. 如图，线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，EF // AB，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB=2，EF=AD=1，则下述正确的是(    )
A. OF//平面BCE
B. BF⊥平面ADF
C. 点A到平面CDFE的距离为217
D. 三棱锥C-BEF外接球的体积为5π
11. 已知函数fx=sinx⋅sinx+π3-14的定义域为m,nm1，上顶点为A，左顶点为B，设点P为椭圆上一点，△PAB的面积的最大值为​2+1，若已知点M-3,0、N3,0，点Q为椭圆上任意一点，则1QN+4QM的最小值为          ．
15. 如图，▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b+c)cosA=a(2-cosB-cosC)，b=c，设∠AOB=θ(00)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(1)求椭圆C的方程；
(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．
20. (本小题12.0分)
已知数列an是公差不为零的等差数列，a1=1，其前n项和为Sn，数列bn前n项和为Tn，从①a1，a2，a5成等比数列，Tn=2-bn，②S55-S33=2，Tn=2-(12)n-1，③数列{bn}为等比数列，n=110 1anan+1=1021，a1=b1，a3b4=58，这三个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题．
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)求数列anbn的前n项和Mn．
21. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PA=PD=2，AB=1，AD=2，PD⊥AB．

(1)证明：平面PCD⊥平面PAB；
(2)若PB=3，试在棱PD上确定一点E，使得平面PAB与平面EAC所成锐二面角的余弦值为277．

22. (本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，P(1,32)为椭圆上一点，A、B为椭圆上不同两点，O为坐标原点．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)线段AB的中点为M，当▵AOB面积取最大值时，是否存在两定点G,H,使|GM|+|HM|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了不等式恒成立问题和基本不等式，考查了转化思想．
不等式1x+1y+mx+y≥0恒成立，只需m≥-[(1x+1y)(x+y)]max，利用基本不等式求出(1x+1y)(x+y)的最小值即可．
【解答】
解：∵x>0，y>0，不等式1x+1y+mx+y≥0恒成立，
∴只需m≥-[(1x+1y)(x+y)]max
∵(1x+1y)(x+y)=2+xy+yx≥2+2xy⋅yx=4，当且仅当x=y时取等号．
∴m≥-4，∴m的最小值为：-4．
故选：B．
  
2.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查双曲线、椭圆的标准方程以及几何意义，考查直线与双曲线、椭圆的位置关系，属于中档题．
先求出椭圆的标准方程，再将直线与双曲线联立，和椭圆联立，利用韦达定理再由AN=NM求出k的值．
【解答】
解：已知双曲线x2-y24=1的左、右顶点为A(-1,0)，B(1,0)，
焦点在y轴上的椭圆以A,B为顶点，且离心率为32的椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，
所以c2a2=a2-b2a2=1-b2​a2=(32)2，b=1
得到b2a2=1-34=14，即a=2，
所以椭圆的方程为y24+x2=1，
过A作斜率为k的直线l：y=k(x+1)，
与双曲线联立y=k(x+1)x2-y24=1,
整理得(4-k2)x2-2k2x-(k2+4)=0，
设M(xM,yM)，
由韦达定理得到-1×xM=-k2+44-k2，则xM=k2+44-k2，
yM=k(xM+1)=8k4-k2，故M(k2+44-k2,8k4-k2)，
与椭圆联立y=k(x+1)y24+x2=1得(k2+4)x2+2k2x+k2-4=0，
设N(xN,yN)，
由韦达定理得到-1×xN=-4-k2k2+4，则xN=4-k2k2+4，yN=k(xN+1)=8kk2+4，
所以N(4-k2k2+4,8kk2+4)，
因为AN=NM，得到k2+44-k2-4-k2k2+4=4-k2k2+4+1，
解得k=±233，
故选A．  
3.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查了数列求和，杨辉三角形的的系数与二项式系数的关系以及等比、等差数列的求和公式，属于难题．
利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x=1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．
【解答】
解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，
例如(x+1)2=x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，
令x=1，就可以求出该行的系数之和，
第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推，
即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列．
则杨辉三角形的前n项和为Sn=1-2n1-2=2n-1,
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则Tn=n(n+1)2，可得当n=12，去除两端“1”可得78-23=55，则此数列前56项和为S12-23+12=212-1-23+12=4084，

故选C．
  
4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查简单几何体、球和正方体的结构特征，棱柱和棱锥的体积球的表面积，异面直线所成角，属于较难题．
假设BC⊥平面ABE，可得BC⊥BE，又六边形CBEMQG为正六边形，可得∠CBE=120°，可判定A；补齐八个角为正方体，根据正方体的体积减去8个角的体积，即可计算体积，判断选项B；根据图形可知，MQ//PN，所以∠EMQ或其补角是ME与PN所成的角，求出EQ，根据余弦定理可求得∠EMQ的值，即可判定C；取正方形ACPM对角线交点O，根据题意可知MC为直径，O为该二十四等边体外接球的球心，球的MC即求得半径R，求得球的表面积，判定D．
【解答】
解：对于A，假设BC⊥平面ABE，又BE⊂平面ABE，于是BC⊥BE，
即∠CBE=90°，由对称性可知，六边形CBEMQG为正六边形，所以∠CBE=120°，
可得矛盾，故A错误；
对于B，因为多面体的所有棱的长都为2，所以补齐八个角构成棱长为22的正方体，
则该二十四等边体的体积为(22)3-8×13×12×(2)3=4023，故B错误；


对于C：根据图形可知，MQ//PN，所以∠EMQ或其补角是ME与PN所成的角；
如图，根据正方体的棱长为22，所以KE=(22)2+(2)2=10，
所以EQ=(10)2+(2)2=23，
又MQ=ME=2，根据余弦定理得，
cos∠EMQ=EM2+MQ2-EQ22×ME×MQ=4+4-122×2×2=-12，
根据0