2022届福建省福州市第十中学高三上学期第一次质量检查数学试题含解析

这是一份2022届福建省福州市第十中学高三上学期第一次质量检查数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届福建省福州市第十中学高三上学期第一次质量检查数学试题 一、单选题1．已知集合，，，则A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意，所以，故选：C.2．复数A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：，故选A【解析】复数的运算3．设，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】应用对数的性质，比较对数式的大小.【详解】，而，∴.故选：D.4．是第四象限角，,，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同角三角函数基本关系，得到，求解，再根据题意，即可得出结果.【详解】因为，由同角三角函数基本关系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查已知正切求正弦，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.5．函数的大致图象是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】比较函数的特征与选项中图像的特征即可得解.【详解】根据对数函数恒过点，函数恒过点，故A错误；根据对数函数的定义域，函数的定义域为，故B错误；根据复合函数的单调性，函数单调递减，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的识别和对数函数的性质，属于基础题.6．已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，则下列为奇函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数奇偶性的性质和定义依次判断各选项即可.【详解】由题知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，故满足，对于A,,则为偶函数；对于B, ，则为偶函数；对于C,，则为奇函数；对于D,，则为偶函数.故选：C.7．设，为正实数，则的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】将变形为，利用基本不等式求最小值，注意检验等号成立的条件.【详解】解：因为，为正实数，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为3.故选：.8．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，可证得是奇函数，且在上单调递增. 可化为，进而可解得结果.【详解】令，（），则，所以是奇函数；又都是上增函数，所以在上单调递增. 所以可化为，进而有，所以，解得或.故选：B. 二、多选题9．已知函数在上是减函数，则下列表述正确的是（　　）A．B．的单调递减区间为，C．a的最大值是，D．的最小正周期为【答案】BCD【分析】由于函数在上是减函数，从而可得，进而可求出取值范围，函数的周期和最值，从而可判断ACD，再利用余弦函数的性质求出单调区间，可判断B【详解】解：∵函数在上是减函数，，∴，∴，故的最小值为，a的最大值是，的最小正周期为，故A错，C、D正确；在，，函数单调递减，所以B正确故选：BCD．10．下列函数中是奇函数，且值域为的有（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据奇函数的定义判断四个函数的奇偶性，并求出值域可得答案.【详解】对于A，因为，所以是奇函数，且值域为，故A正确；对于B，因为，所以为奇函数，但值域为，故B不正确；对于C，因为，所以为奇函数，且且值域为，故C正确；对于D，因为，所以为奇函数，但是值域为．故D不正确.故选：AC11．下列有关说法正确的是（    ）A．的展开式中含项的二项式系数为20B．事件为必然事件，则事件A、B是互为对立事件C．设随机变量服从正态分布，若，则D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则【答案】CD【分析】A二项式定理写出展开式通项，即可确定项的二项式系数；B根据及对立事件的性质判断；C利用正态分布的性质、对称性判断；D求出、，应用条件概率公式即可求.【详解】A：二项式展开式为，故时二项式系数为，错误；B：为必然事件，则，仅当时事件A、B是互为对立事件，错误；C：由服从正态分布，故，根据及正态分布的对称性知，正确；D：由题设，，而，正确.故选：CD12．函数为定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（    ）A．函数为奇函数B．函数有且只有3个零点C．不等式的解集为D．的解析式可能为【答案】BCD【解析】由奇偶性判断A，由偶函数性质和零点定义判断B，根据奇偶性与单调性结合解不等式判断C，利用导数确定函数的单调性判断D．【详解】函数为定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减．若，则，则为偶函数，故A不正确.设函数，，在R上有且只有2个零点，所以，在R上有且只有3个零点，故B正确.因为，所以当时，，则；当时，．，又时，，故的解集为，故C正确.若，则此函数满足为偶函数，，设，，则为R上的增函数，在上，，所以此函数还满足在上单调递增，故D正确.故选：BCD．【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性．解题时主要利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，由奇偶性的对称性得出函数的单调性，从而可解函数不等式．在函数较复杂时可利用导数确定单调性． 三、填空题13．已知，那么______．【答案】【分析】根据对数运算的定义，求解即可【详解】由题意故即解得故故答案为：14．若， 则的值为___________【答案】1【分析】令，则，令，则，从而可求出答案.【详解】解：由，令，则，令，则，则.故答案为：1.15．已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是____.【答案】【解析】根据函数是偶函数，得到关于直线对称；再由函数对称性，以及题中条件，得到对任意的恒成立，进而可得出结果.【详解】因为是偶函数，所以，则关于直线对称；又函数在上单调递减，由对任意的恒成立，可得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，又时，，因此只需，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，属于常考题型. 四、双空题16．已知函数，则=__________，的零点个数为__________个．【答案】          【分析】本题第一空以分段函数为背景考查复合函数的求值问题，从内到外，依次将自变量的值代入对应解析式求值即可；第二空求函数的零点个数，可以转化为方程根的个数问题处理，也可以作出函数图象，判断其与轴的交点个数.【详解】解法一：∵∴；令，即或，解得或，故的零点个数为2.故答案为：，2.解法二：∵∴；作出函数的图象，如图显然函数的图象与轴有两个交点，故的零点个数为2.故答案为：；2. 五、解答题17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且(Ⅰ)确定角C的大小： （Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值．【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）5【详解】试题分析：（1）先根据正弦定理边化角转化为即可得，故（2）∵，再由余弦定理可得试题解析：解：（1）由正弦定理得，∵是锐角，∴，故.（2）∵，∴由余弦定理得∴点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长 18．盒中装有6个零件，其中2个是使用过的，另外4个未经使用，(1)从盒中随机一次抽取3个零件，求抽取到的3个零件中恰有1个是使用过的概率；(2)从盒中每次随机抽取1个零件，观察后都将零件放回盒中，记3次抽取中抽到使用过的零件的次数为，求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，1 【分析】（1）由古典概率的计算公式代入即可得出答案.（2）依题有，由二项分布的概率计算公式即可求出的分布列，再由二项分布的期望公式即可求出的数学期望.【详解】(1)记事件A为“抽取到3个零件中恰有一个是使用过的”，则.(2)依题有，所以X的分布列如下X0123P 所以X的期望是19．如图，在三角形中，已知，，D为的三等分点(靠近点B)，且.（1）求的值；（2）求三角形的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）和，分别利用正弦定理，并且结合，求得的值；（2）根据（1），并且结合三角恒等变换，最后根据三角形面积公式求解.【详解】（1）在三角形中，由正弦定理得，，①在三角形中，由正弦定理得，，②又，故，因为D为的三等分点(靠点B)，所以，由①②得，.（2）由（1）知，，所以，若，则(舍去)；故，同理，得，所以，三角形的面积.所以的面积为.【点睛】方法点睛：本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题型，一般解三角形已知两角一边，首先用正弦定理解三角形，已知两边和其中一边的对角，求角用正弦定理解三角形，求边用余弦定理解三角形，已知两边和夹角，用余弦定理解三角形，已知三边，用余弦定理解三角形.20．为了了解空气质量指数（AQI）与参加户外健身运动的人数之间的关系，某校环保小组在暑假期间（60天）进行了一项统计活动：每天记录到体育公园参加户外健身运动的人数，并与当天值（从气象部门获取）构成60组成对数据，其中为当天参加户外健身运动的人数，为当天的值，并制作了如下散点图：连续60天参加健身运动人数与AQI散点图（1）环保小组准备做y与x的线性回归分析，算得y与x的相关系数为，试分析y与x的线性相关关系？（2）环保小组还发现散点有分区聚集的特点，尝试作聚类分析．用直线与将散点图分成I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（如图），统计得到各区域的点数分别为5、10、10、35，并初步认定“参加户外健身运动的人数不少于100与值不大于100有关联”，试分析该初步认定的犯错率是否小于？附：0.0500.0100.001K3.8416.63510.828  【答案】（1）答案见解析；（2）该初步认定的犯错率小于．【分析】（1）由相关系数知y与x的线性相关关系以及线性相关性强弱；（2）建立列联表，计算的值，对照附表得出结论.【详解】（1），y与x的相关关系为负相关，且，故线性相关性不强，所以不建议继续做线性回归分析，得到回归方程，拟合效果也会不理想（2）建立2×2列联表如下 人数人数合计10515103545合计204060 代入公式计算得查表知，故犯错率在0.001与0.01之间，所以该初步认定的犯错率小于．21．已知函数．（1）当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；（2）设的内角的对应边分别是且，，求的值，【答案】（1）时，取得最大值0；时，取得最小值；（2）或．【分析】(1)先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求;(2)已知先求A,然后结合余弦定理即可求解c.【详解】（1），，，，∴当，即，得时，取得最大值0；当，即，得时，取得最小值．（2）且，．由余弦定理A得，解得或．另解：且，，由正弦定理有，则或，当时．，由勾股定理有．当时，，则．综上，或．22．已知函数，其中．（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，且，是否存在实数使得恒成立，如果存在请求出实数的取值范围，如果不存在请说明理由．【答案】（1）答案见解析；（2）存在，.【分析】（1）求导得，定义域为，令，然后结合二次函数的性质，分和两类讨论（或与0的大小关系即可得解．（2）由（1）可知，，，；原问题等价于恒成立；而，，于是构造函数，，只需满足，于是再利用导数求出在上的最小值即可．【详解】解：（1），定义域为所以，令，对于方程，，①当时，，的两个根为，且在和上；在上，所以函数的单调增区间为和；单调减区间为，②当时，，恒成立，所以函数的单调增区间为，无减区间（2）由（1）知，若有两个极值点，则，又，是的两个根，则，所以：，，恒成立由（1）知，，∴令，，只要即可；，令则，，令，则，所以在上单调递减；在上单调递增．，所以存在，使得恒成立．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题，且要求熟练掌握二次函数的性质，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．