2023届黑龙江省牡丹江市第二高级中学高三上学期第二次阶段测试数学试题含解析

2023届黑龙江省牡丹江市第二高级中学高三上学期第二次阶段测试数学试题

一、单选题

1．下列关系中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系求解.

【详解】根据元素与集合的关系可知，，，不正确，

由空集是任何集合的子集知正确，

故选：C

2．已知，，等于

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：根据条件概率的定义和计算公式：把公式进行变形，就得到，故选C.

【解析】条件概率.

3．已知命题p：，，则命题p的否定为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.

【详解】根据全称命题与存在性命题的关系可得：

命题“p：，”的否定式为“，”.

故选：D.

4．设随机变量的概率分布列为，其中，那么的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：根据离散型随机变量分布列的性质，变量取各个量对应的概率和等于1，建立关于的等量关系式，最后求得结果.

详解：根据分布列的性质可得，

，

解得，故选D.

点睛：解决该题的关键是明确离散型随机变量的分布列的性质，从而找到关于参数所满足的等量关系式，最后求得结果.

5．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】最小正周期，且在区间上为减函数，适合；最小正周期为，不适合；最小正周期为，在区间上不单调，不适合；最小正周期为，在区间上为增函数，不适合.

故选A

6．若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用判别式即可得到结果.

【详解】∵“，使”是真命题，

∴，解得.

故选：C

7．的展开式中，含的项的系数是（    ）

A． B．  C．25 D．55

【答案】B

【分析】写出二项式的展开式中的通项，然后观察含项有两种构成，一种是中的1与中的二次项相乘得到，一种是中的与中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果.

【详解】二项式的展开式中的通项，含的项的系数为

故选B.

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

8．某课外兴趣小组通过随机调查，利用2×2列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得，经查阅临界值表知，则下列判断正确的是（    ）

A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生

B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010

C．有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别无关”

D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”

【答案】D

【分析】计算的观测值，对照阅临界值表知，即可得出统计结论．

【详解】∵，∴有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”.所以ABC错误，

故选：D

9．数列的通项公式为，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用裂项相消法求和即可．

【详解】，.

故选：B

10．如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（    ）

A．24种 B．48种 C．72种 D．96种

【答案】B

【分析】按涂色顺序进行分四步，根据分步乘法计数原理可得解.

【详解】按涂色顺序进行分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法.

由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有种.

故选：B.

11．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数图象之间的平移变换及所给奇、偶函数判断A，给出满足条件的特殊函数排除BCD.

【详解】因为为奇函数，

所以的图象经过原点，即，

由的图象向右平移2个单位可得函数的图象知，图象过点，

即，

因为为偶函数，所以，

所以当时，，故A正确；

令，则满足为奇函数，为偶函数，

显然BCD不满足.

故选：A

12．已知数列满足：，，则下列说法正确的是（    ）

A．数列为递减数列 B．存在，便得

C．存在，便得 D．存在，便得

【答案】D

【分析】由已知等式变形可得，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出，可判断BC选项；利用数列的单调性可判断A选项；计算出、的范围，可判断D选项.

【详解】因为，则，可得，

由可得，则，则，

设函数，其中，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，所以，，

因为，则，，，

以此类推可知，对任意的，，所以，，

故数列为递增数列，A错，B错，C错；

因为，则，

，

因此，存在，便得，D对.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查与数列相关的单调性与范围问题的判断，根据数列的递推公式构造函数，并利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性求得的范围是解题的关键.

二、填空题

13．对某手机的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间的关系进行调查，通过回归分析，求得x与y之间的关系式为，则当广告费用支出为10万元时，销售余额的预测值为___________万元.

【答案】92.5

【分析】将x=10代入回归方程即可得到答案

【详解】解：将x=10代入，即得，所以余额为万元，

故答案为：92.5

14．已知等差数列的公差不为0，且，，等比数列，则_________.

【答案】

【分析】设等差数列的公差为，由，，等比数列，可得，则的值可求．

【详解】解：设等差数列的公差为，

，，等比数列，，

则，得，

．

故答案为：．

15．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】求导函数，先考虑其反面函数单调时的范围，再求结论的补集即可得到结论.

【详解】，

若函数在区间上单调，

则或在上恒成立，

即或，

∴或，

于是满足条件的实数的范围为，

故答案为：.

【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查解不等式，正确理解题意是关键，属于中档题.

16．当时，函数取得最大值，则___________.

【答案】

【分析】由辅助角公式，正弦函数的性质求出，，再根据两角和的正切和公式，诱导公式求.

【详解】（其中，），

当时，函数取得最大值

∴ ，，即，，

所以，.

故答案为：.

三、解答题

17．已知数列的前项和为，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1），（2）

【详解】试题分析：（1）由已知，根据数列前项和和与通项的关系，求出，从而求出数列的通项公式；

（2）由（1）可求出数列的通项公式，根据其特点，采用分组求和法，将其分为等差数列与等比数列两组进行求和，再根据等差数列与等比数列前项和公式进行运算，从而求出.

试题解析：（1）∵，∴，

∴，

当时，，又也满足，故.

又，∴.

（2）∵，

∴.

点睛：此题主要考查数列的通项公式和前项和公式，以及它们之间关系的应用，还有分组求各和法在求数列前项和中的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考题.分组求和法就是将数列的项分成两项或三项等，而这两项或三项往往就是常数或是等差（比）数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，然后再合并，从而得到该 数列的和.

18．从①，②③，这三个已知条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．

问题：已知角是第四象限角，且满足____________________．

(1)求的值；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①，②由诱导公式与余弦的两角和公式计算，选③，由二倍角公式及余弦的两角和公式计算；

（2）由正切的两角差公式及正弦、余弦的二倍角公式计算即可.

【详解】(1)若选①，则由题意得，

又角是第四象限角，所以，

于是

．

若选②，则由题意得，

又角是第四象限角，所以，

于是

．

若选③，则由题意得，解得，

又角是第四象限角，所以，

于是

．

(2)由（1）可知，

所以．

于是

．

或由得，代入，解得，

于是

．

19．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)求的值；

(2)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为，请估算被录取至少需要多少分；

(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同组的概率．

【答案】(1)，

(2)78分

(3)

【分析】（1）由频率分布直方图列方程组即能求出的值；

（2）由频率分布直方图得和的频率分别为0.2和0.05，故录取分数应落在第四组，不妨设录取分为，则求解即可；

（3）根据分层抽样，在和中分别选取4人和1人，列举出这5人中选出2人的总的基本事件数，和选出的两人来自同组的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】(1)由题意可知：，，

解得，；

(2)由频率分布直方图得和的频率分别为0.2和0.05，故录取分数应落在第四组，不妨设录取分为，则

解得；故被录取至少需要78分.

(3)根据分层抽样，和的频率比为

故在和中分别选取4人和1人，分别设为和

则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有

共10个，  

即，记事件“两人来自同组”，

则事件包含的样本点有

共6个，即，  

所以.

20．在中，角所对的边分别为，已知．

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得，进而得角的大小；

（2）根据余弦定理，由基本不等式即可求得，再结合三角形边关系求得的取值范围.

【详解】（1）∵，

∴，

即，

∵，

∴，

∴．

（2）由余弦定理可知，

代入可得，

当且仅当时取等号，

∴，又，

∴的取值范围是．

【点睛】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，属于中档题.

21．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表：

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于、、的概率分别为、、，求：

（1）在降水量至少是的条件下，工期延误不超过天的概率；

（2）工期延误天数的均值与方差.

【答案】（1）；（2）均值为，方差为.

【分析】（1）计算出，以及，利用条件概率公式可计算出所求事件的概率；

（2）由题意可知的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的均值和方差.

【详解】（1）由题意可得，

且工期延误不超过天的概率为，

因此，在降水量至少是的条件下，工期延误不超过天的概率为；

（2）由题意可知，，

，

.

所以，随机变量的分布列如下表所示：

，

.

所以，工期延误天数的均值为，方差为.

【点睛】本题考查离散型随机变量的均值和方差的计算，同时也考查了条件概率的计算，考查计算能力，属于中等题.

22．已知函数．

(1)若在上单调递减，求实数a的取值范围．

(2)若是方程的两个不相等的实数根，证明：．

【答案】(1)；

(2)详见解析

【分析】（1）首先求函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得实数的取值范围；

（2）将方程的实数根代入方程，再变形得到，利用分析法，转化为证明，通过换元，构造函数，转化为利用导数证明，恒成立.

【详解】(1)，

，在上单调递减，

在上恒成立，即，

即在，

设，，，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

所以函数的最大值是，所以；

(2)若是方程的两个不相等的实数根，

即又2个不同实数根，且，，

得，即 ，

所以，

不妨设，则，

要证明，

只需证明，

即证明，即证明，

令，，

令函数，

所以，

所以函数在上单调递减，

当时，，所以，，

所以 ，即，即得

【点睛】本题考查利用导数的单调性求参数的取值范围，以及证明不等式，属于难题，导数中的双变量问题，往往采用分析法，转化为函数与不等式的关系，通过构造函数，结合函数的导数，即可证明.