湖北省襄阳市第五中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题及答案

这是一份湖北省襄阳市第五中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题及答案，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省襄阳市第五中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知i是虚数单位，复数，则复数的虚部为（    ）A． B． C． D．2．根据新课改要求，昆明市艺卓中学对学校的课程进行重新编排，其中对高二理科班的课程科目：语文、数学、英语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程，其中每一节课是一个科目），编排课程要求如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要相邻，则针对这六个课程不同的排课顺序共有（    ）A．144种 B．72种 C．36种 D．18种3．已知，，，，则（    ）A．或 B．C． D．4．已知函数，则（    ）A．404 B．4044 C．2022 D．20245．武钢六中近期迎来校庆，学生会制作了4种不同的精美卡片，在学校书店的所有书本中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品．小明一次性购买书本6册，那么小明获奖的概率是（    ）A． B． C． D．6．已知及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数．设，则（    ）A． B． C． D．7．己知的上、下焦点分别是，，若椭圆C上存在点P使得，，则其离心率的值是（    ）A． B． C． D．8．数列满足，，则下列说法错误的是（    ）A．若且，数列单调递减B．若存在无数个自然数，使得，则C．当或时，的最小值不存在D．当时， 二、多选题9．下列命题是真命题的有（    ）A．分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30B．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4C．甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为510．若，且，则（    ）A． B．C． D．11．如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ）A． B．该几何体外接球的体积为C．若为中点，则平面 D．的最小值为12．如图，过双曲线右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）A．B．C．D．若存在点P，使，且，则双曲线C的离心率 三、填空题13．设，其中，，，成公差为d的等差数列，，，成公比为3的等比数列，则d的最小值为______.14．空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点分别是，，的中点，则的值为___________.15．已知分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，分别为的重心、内心，若平行于轴，则的外接圆面积为___________.16．已知函数，其中．若恒成立，则a的取值范围是_________． 四、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角的内角的对边分别为，且______. (1)求；(2)求的取值范围.18．数列满足，．(1)证明：数列为等差数列．(2)若，求数列的前项和．19．四棱柱中，底面为正方形，面，点M，N，Q分别为棱的中点．(1)求证：平面∥平面；(2)若，棱上存在点P，使得二面角的余弦值为，求的值．20．多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x，和年销售额，的数据（，2，，12），该团队建立了两个函数模型：①②，其中均为常数，e为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图，令，计算得如下数据：206677020014460312500021500 (1)设和的相关系数为和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；②参考数据：.21．已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足.(1)求点的轨迹的方程；(2)不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.22．已知函数.（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
参考答案：1．B【分析】根据复数运算法则即可得到答案.【详解】因为,所以复数的虚部为.故选：B.2．A【分析】由题意知，语文生物相邻用捆绑法“捆绑法”，先与不受限学科全排列，数学物理不相邻，用“插空法”后排列，最后要考虑语文生物的顺序，根据排列数公式以及分步乘法原理即可求出结果.【详解】语文与生物要相邻，将语文与生物捆绑看作一个整体. 数学与物理不能相邻，采用插空法，后排.第一步，将语文与生物捆绑看作一个整体后，与英语、化学共3个，排列种类为；第二步，第一步完成后共有4个位置，将物理和数学排好，排列种类为；第三步，语文与生物的排列种类为.所以，总的排列顺序有.故选：A.3．C【分析】根据角度范围得到，，计算，得到答案.【详解】，，，故，故；，，，，故，；，，故.故选：C4．B【分析】利用倒序相加法求得正确答案.【详解】，，所以，以替换得，令，则，两式相加得.故选：B5．B【分析】先求出6册书本中卡片的可能情况，再讨论可以获奖的情况，最后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】这6册书本中卡片总共有种可能情况，其中可以获奖的情况分为两类，第一类是有3册书的卡片相同的获奖情况有种；第二类是有2册书的卡片相同的获奖情况有种；所以小明获奖的概率是，故选：B6．B【分析】根据为奇函数，得到，两边同时求导得到的图象关于直线对称，同理由为偶函数，得到函数的图象关于点对称，两者联立得到 为周期函数，且周期为求解.【详解】解：因为为奇函数，所以，即，两边同时求导，则有，所以的图象关于直线对称．因为为偶函数，所以，即，两边同时求导，则有，所以函数的图象关于点对称．所以，，，所以，函数为周期函数，且周期为，则有，，所以．故选：B.7．C【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、椭圆离心率的公式进行求解即可.【详解】设，利用向量加法法则知，则，即，故①，设，则，②，由①②得，即，又，所以，即，即，所以椭圆离心率的值是，故选：C【点睛】关键点睛：利用平面向量加法的几何意义是解题的关键.8．B【分析】作差得，并由二次函数性质得，由得或，由此可判断ABC，对选项D，时命题成立，在时，证明（易得）和，从而只要证明，为证此不等式，只要对最后一项用放缩法，，然后从后向前依次相加即可得．【详解】A．， 只要，则，，若，即，则或，显然时，，若，则，因此，若，则，所以当且时，对任意的，，从而，，递减，A正确，B．由上面推理，时，也有无数个正整数，使得，B错；C．由选项A知，或时，递减，无最小值，C正确；D．，，又由以上推理知递减，所以，时，，时，，则，所以对任意，，下证，时，，时，，设，，，，，依次类推，，所以，综上，对任意，，综上，，D正确．故选：B．【点睛】易错点点睛：本题考查数列的单调性，考查数列不等式的证明，数列作为特殊的函数，其单调性与函数的单调性有相似之处（可以利用函数的单调性得数列的单调性），又与函数的单调性不尽相同，如本题，在作差后如果直接由得数列是递减数列的结论，则出现错误，错误的原因在于是数列中项，而不是自变量，此式只能说明时，，而不能直接说明数列就是递减的，它必须利用数列的递推性质进行推理判断．由此可得时数列也不是递减的．本题选项D的证明是难点，不等式的放缩法只对和式中最后一项进行放缩，然后从后向前依次求和可得．这个求和不是通常的裂项求和，实质上只对最后一项由放缩法进行了裂项操作，然后即依次求和得出结论．本题属于困难题．9．BD【分析】根据分层抽样的性质判断A选项；利用落在区间内的个数除以总数计算概率，即可判断B选项；由甲、乙两队的人数比，计算出两队在所有队员中的所占权重，然后利用平均数的计算公式，即可判断C选项；由百分位数的性质，即可判断D选项.【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A错误；对于选项B：样本数据落在区间内的有120，122，116，120共4个，所以样本数据落在区间内的频率为，故选项B正确；对于选项C：甲、乙两队的人数之比为，则甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为，故选项C错误；对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由，则该组数据的分位数是第9个数，该数为5，故选项D正确.10．BD【分析】A选项，先得到，，进而构造，，求导后得到在上单调递增，进而得到，A错误；B选项，变形为，利用基本不等式进行求解；C选项，化简得到，根据基本不等式得到，从而得到，C错误；D选项，将式子变形得到，结合基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】因为，且，所以，，A选项，构造，，则，因为，所以恒成立，所以在上单调递增，所以，即，A错误；B选项，因为，由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以，B正确；C选项，因为，所以，其中，当且仅当时，等号成立，但，故等号取不到，，故，C错误；D选项，因为，所以，因为，所以，故，其中，当且仅当，即时，等号成立，所以，D正确.故选：BD11．ACD【分析】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求得，，，，，的坐标，由，的数量积可判断A选项；该几何体外接球的球心为矩形的对角线交点，即可求得半径，可判断B选项；求得的坐标，求得平面的法向量，计算可判断C选项；设（），由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可判断D选项．【详解】由题意以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得，，，，，，对于A选项：有，，由，可得即，所以A选项正确；对于B选项：由球的截面性质可知，球心在过正方形的中心的垂面上，即为矩形的对角线的交点，则该球的半径，即该几何体外接球的体积，所以B选项错误；对于C选项：若为中点，则，即，，，设平面的法向量为，由，令，可得，即，可得，又平面，则平面，所以C选项正确；对于D选项：由三角形是等腰直角三角形，可设（），则，又，则当时，取得最小值，所以D选项正确．故选：ACD.12．BCD【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出的坐标，即可得，由的取值范围即可得，从而可判断A，由中点坐标公式可判断是的中点，由此可判断BC，由余弦定理结合可判断D.【详解】先求双曲线上一点的切线方程：不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.由，得，所以，则在的切线斜率， 所以在点处的切线方程为：又有，化简即可得切线方程为： .不失一般性，设是双曲线在第一象限的一点，是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点,双曲线的渐近线方程是，联立：，解得：，联立：，解得：，则，又因为，所以，即，A错误；由，可知是的中点，所以，B正确；易知点的坐标为，则，当点在顶点时，仍然满足，C正确；因为，所以，，因为，则，解得，即，代入，得，所以，，所以，所以，，所以离心率，D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求得在双曲线上一点的切线方程，并联立渐近线方程，求得的坐标，判断出是中点.13．【分析】由已知利用等差数列及等比数列的通项可知，进而得解.【详解】，设，则又，，，成公差为d的等差数列，，，成公比为3的等比数列，即，可得，只需即可，所以.当m取最小值时，由不等式组得，故d的最小值为.故答案为：14．##【分析】由题意，四面体是正四面体，每个三角形都是等边三角形，利用向量的数量积的定义解答．【详解】故答案为：.15．【分析】首先根据平行于轴，得到内切圆半径，再结合内切圆半径与三角形面积的等量关系得到面积表达式，然后利用双曲线定义求出和，再结合余弦定理以及正弦定理即可求解.【详解】不妨设在第一象限，由于平行于轴，则内切圆半径，又 ，则=12，又，则，.在中，由余弦定理得，则，设的外接圆半径为，则，则，所以的外接圆的面积为.故答案为：.16．【分析】根据题意得，令，求导得，单调递增，得，得，令，求导，求即可解决.【详解】由题知，， ，恒成立，所以，所以，所以，令，所以，因为，当时，，单调递增，所以，所以，所以，令，所以，因为，当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，所以，故答案为：17．(1)(2) 【分析】（1）选①，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后根据恒等变换化简即可求出角；选②，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后将代入，最后根据恒等变换化简即可求出角；选③，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后根据恒等变换化简求出，即可求出角.（2）首先将代入，然后利用恒等变换将其化简成正弦型函数，最后根据正弦函数的性质求解取值范围即可.【详解】（1）选①，所以，所以，整理得.因为，所以.因为，所以.选②因为，所以，所以，整理得.因为，所以，因为，所以.选③因为，所以，所以，整理得.因为，所以.因为，所以，.（2）因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以，故.18．(1)见解析(2) 【分析】（1）根据已知证明等于一个定值即可；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）证明：因为，所以，又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列；（2）解：由（1）得，，则.19．(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）先证明分别与面平行，再由面面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）∵分别为棱中点，，，四边形MQBD为平行四边形，，又平面，平面，平面，∵N为棱AD的中点，，又，，∵平面，平面， 平面.又，平面，平面∥平面.（2）由题意知两两垂直，以为原点，方向分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，设（），，则，故，，设，则由可得， ，则设平面的一个法向量为，则，取，则，设平面MNQ的一个法向量为，则，取，则，由题知，解得或（与矛盾，舍去），故，即.20．(1)模型的拟合程度更好(2)（i）（ii）预测下一年的研发资金投入量是亿元 【分析】（1）由题意计算相关系数,比较它们的大小即可判断；（2）（i）先建立关于的的线性回归方程,再转化为y关于的回归方程；(2)利用回归方程计算时x的值即可.【详解】（1）由题意进行数据分析：则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好（2）（i）先建立关于的线性回归方程.由，得，即.由于所以关于的线性回归方程为，所以，则.（ii）下一年销售额需达到80亿元，即，代入得，，又所以，解得，所以预测下一年的研发资金投入量是亿元21．(1)(2)或 【分析】（1）依题意，根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆，再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立，根据韦达定理得到中点坐标，将点Q坐标代入抛物线方程得到，将此式代入得到，解不等式即可.【详解】（1）易知点是抛物线的焦点，，依题意，所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4，设该椭圆的方程为，则，，故点的轨迹的方程为.（2）易知直线1的斜率存在，设直线1：，由得：，，即①又，故，将，代，得：，将②代入①，得：，即，即，即，且，即的取值范围为或.22．（Ⅰ）和.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；(Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论；(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.【详解】（Ⅰ），令得或者.当时，，此时切线方程为，即；当时，，此时切线方程为，即；综上可得所求切线方程为和.（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；而，所以，即；同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，所以是中的较大者，若，即时，；若，即时，；所以当最小时，，此时.【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.