专题26 求动点轨迹方程 微点3 待定系数法求动点的轨迹方程及答案

专题26  求动点轨迹方程  微点3  待定系数法求动点的轨迹方程

专题26  求动点轨迹方程

微点3  待定系数法求动点的轨迹方程

【微点综述】

一、待定系数法

圆、椭圆、双曲线、抛物线等是同学们必须要掌握的知识内容，因此，合理地运用待定系数法，有助于我们解答曲线方程问题．比如，在椭圆标准方程中应用待定系数法求解时，我们要充分研究定位、定量问题，明确坐标系中椭圆的位置，并以中心为原点确定焦点所在处，从而确定方程形式；定量含义为明确焦点准确位置．

二、待定系数法解题步骤

用待定系数法解题的基本步骤：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．

下面举例说明．

三、待定系数法解题应用举例

求圆锥曲线的方程分为两类：一类是与曲线的标准方程相关的问题，另一类是求点的轨迹方程．

当给出了曲线的形状（或借助条件判断出曲线的形状）时，一般采取“定位、定量”的待定系数法求解．另外，可以巧用一些结论，如：已知双曲线的渐进线方程为，则可设双曲线的方程为．

下面给出解析几何中常用的设法：

（1）直线：．

（2）圆：，．

（3）椭圆：

标准方程：（或，视焦点所在轴来决定）；

椭圆方程通式：．

①方程与有相同的离心率．

②与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．

（4）双曲线：

①标准方程：（或，视焦点所在轴决定）

双曲线方程通式：．

②相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线渐近线相同的双曲线系方程为：

．

⑤ 抛物线：

标准方程：；

抛物线方程通式：．

1．待定系数法求圆的方程

例1．

1．若圆C经过点和，且圆心C在直线上，求圆C的方程.

2．待定系数法求椭圆的方程

例2．

2．设分别是椭圆的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．

（1）若直线的斜率为，求的离心率；

（2）若直线在轴上的截距为，且，求．

例3．（2022·安徽·高三开学考试）

3．如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)记的面积为S，求S的最大值.

3．待定系数法求双曲线的方程

求双曲线的方程是高考的热点题型，难度中等．一般地，求双曲线的方程的关键是利用待定系数法求，在解题过程中应熟悉各元素（）之间的关系，并注意方程思想的应用．为了能更好地掌握这一题型．现对求双曲线的方程问题的几种类型进行总结．

3．1  求与渐近线有关的双曲线的方程

在双曲线的几何性质中．渐近线是其独特的一种性质，与渐近线有关的双曲线的方程的求法要求重点掌握．

例4．

4．已知双曲线两条渐近线的方程是,它过点,求此双曲线方程．

3．2  求有共同焦点的双曲线的方程

例5．

5．求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程.

例6．

6．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的方程为________．

3．3  利用一般式方程求双曲线的方程

例7．

7．已知某双曲线的对称轴为坐标轴,且经过点,求该双曲线的标准方程．

3．4  结合定义求双曲线的方程

双曲线的定义：平面内与两个定点的距离之差的绝对值等一于常数（大于0且小于）的点的轨迹．

例8．

8．已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于，求该双曲线的标准方程．

3．5  求与离心率有关的双曲线的方程

例9．

9．已知某双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率，且双曲线过点，求该双曲线的方程．

例10．

10．已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，求椭圆和双曲线的标准方程．

4．待定系数法求抛物线的方程

例11．（2022·河南省信阳市第二高级中学高三开学考试）

11．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点，，是C的两条切线，A，B是切点．当轴时，．

(1)求抛物线C的方程；

(2)证明：．

例12．

12．已知抛物线经过点，其焦点为．

(1)求抛物线的方程；

(2)设点在抛物线上，试问在直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【强化训练】

13．已知一个圆过,求这个圆的方程．

（2022·甘肃·民勤县一中开学考试）

14．求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)，经过点；

(2)焦点轴上，且过点，.

15．在①左顶点为，②渐近线方程为，③离心率这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．

已知双曲线与椭圆共焦点，且______，求双曲线的标准方程．

16．设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60o,.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)如果|AB|=，求椭圆C的方程.

17．求与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程.

18．如图，椭圆（，为常数），动圆，，点分别为的左，右顶点，与相交于四点，求直线与直线交点的轨迹方程.

（2022·广东·开平市忠源纪念中学模拟预测）

19．在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积．

（2022·重庆南开中学高三月考）

20．已知椭圆经过点，且离心率.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线与椭圆交于两点，为椭圆上顶点，直线交直线于两点，已知两点纵坐标之和为.求证：直线过定点，并求此定点坐标.

（2022·河南·高三开学考试）

21．已知抛物线：的焦点到准线的距离为2.

(1)求抛物线的方程；

(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，已知点，求取得最大值时直线的方程.

（2022·湖南·长郡中学模拟预测）

22．已知双曲线C：的离心率为2，，为双曲线C的左、右焦点，是双曲线C上的一个点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若过点且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点P为直线与直线的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线的方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）

23．设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为 ，点B的坐标为

，点M在线段AB上，满足 ，直线OM的斜率为.

（Ⅰ）求E的离心率e；

（Ⅱ）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ，求E的方程.

24．某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，选择适当的平面直角坐标系.

(1)求此双曲线的方程；

(2)定义：以（1）中求出的双曲线的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线叫做的共轭双曲线，求双曲线的方程；

(3)对于（2）中的双曲线､的离心率分别为､，写出与满足的一个关系式，并证明.

参考答案：

1．

【详解】因为,AB中点为(0，－4)，所以AB中垂线方程为y+4=－2x，即2x+y+4=0，解方程组得

所以圆心C为(－1，－2).根据两点间的距离公式，得半径r=,

因此，所求的圆C的方程为.

2．（1）；（2）

【详解】（1）记，则，由题设可知，

则，

；

（2）记直线与轴的交点为，则①，

，

将的坐标代入椭圆方程得②

由①②及得，

故．

考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.

3．(1)

(2)

【分析】（1）由直线过定点坐标求得，再由椭圆所过点的坐标求得得椭圆方程；

（2）设，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，

计算弦长，再求得到直线的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．

【详解】（1）由题意可得，直线恒过定点，

因为为的中点， 所以， 即.

因为椭圆经过点 ，所以 ， 解得，

所以椭圆的方程为.

（2）设.

由得 恒成立，

则，

则

又因为点到直线的距离，

所以

令， 则，

因为，时，，在上单调递增，

所以当时，时，故.

即S的最大值为 .

【点睛】方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．

4．

【分析】若已知双曲线的渐近线的方程为,或双曲线与有共同的渐近线,则双曲线的方程可设为(为参数),结合已知条件求得．若,则表示焦点在轴上的双曲线;若,则表示焦点在轴上的双曲线．利用这种方法解题避免了讨论．

【详解】设双曲线方程为,即.

将点代入方程,得.故所求双曲线的方程为

5．

【解析】设所求双曲线方程为，根据题中条件，求出，，求解即可得出结果.

【详解】设双曲线方程为，

由题意易求得，又双曲线过点，

所以；因为，所以，.

故所求双曲线的方程为.

6．

【分析】先求出椭圆得焦点，然后设出双曲线的标准方程，进而得到，解方程组即可求出结果.

【详解】因为椭圆＋＝1的焦点为或，所以设双曲线的方程为，由题意得，解得，所以，

故答案为：.

7．

【分析】不知道焦点的位置,可设双曲线的一般式方程,这样可避开讨论,使问题轻松获解．

【详解】设所求双曲线的方程为

由所求双曲线经过点,得解得

故所求双曲线的为

8．

【分析】设标准方程为，由题意可得再结合即可求出，得到双曲线的标准方程．

【详解】因为双曲线的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为，

因为，所以，又因为，所以，

故双曲线的标准方程为.

9．

【分析】首先根据设，从而得到所求双曲线的方程为或，再代入求解即可.

【详解】由，得．设，则．

设所求双曲线的方程为或，

把点的坐标代人中，得，与矛盾．

把点的坐标代人中，得，

故所求双曲线的方程为．

故答案为：

10．，．

【分析】根据题目条件求得椭圆中的a，b，从而求出椭圆的标准方程，进一步求出双曲线的标准方程.

【详解】由题意知椭圆的离心率为，则，

又，

，故所求椭圆的标准方程为

该椭圆的焦点为．

由所求双曲线为等轴双曲线，且顶点是椭圆的焦点，得所求双曲线的标准方程为．

11．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）当轴时可求得坐标，进而根据求解即可；

（2）设，根据导数的几何意义可得切线，的方程，联立可得的坐标，进而证明，，从而根据相似三角形的性质证明即可.

（1）

由题意，，当轴时，将代入有，解得，又故，解得.

故抛物线C的方程为.

（2）

由（1），设，直线的方程为，联立抛物线方程有，故.

又抛物线方程，故，故切线的方程为，即，同理可得切线的方程为，联立可得，解得，代入有，代入韦达定理可得.

故当时有，当时，因为，故，也满足.故恒成立.又,故.

所以，，故，故，故，即，即得证.

【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求法，同时也考查了导数的几何意义结合抛物线的性质证明等式的问题，需要根据题意设切点，进而求得切线方程，得出交点坐标，进而得出垂直的关系证明即可.属于难题.

12．(1)

(2)直线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时或．

【分析】(1)将点代入抛物线方程去即可；

(2)要使得四边形是平行四边形只需要，找出和之间坐标的关系即可.

（1）

因为抛物线经过点，所以，即，

所以抛物线的方程为．

（2）

由(1)知，设．因为四边形是平行四边形，所以，所以，所以即，将点代入抛物线的方程，可得，即，解得或，所以或，经检验，满足四边形是平行四边形．

所以直线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时或．

【点睛】(1)若四边形为平行四边形，则可利用或，然后引入坐标，代入方程（抛物线）或结合根与系数的关系（椭圆、双曲线）求解；

(2)若四边形为菱形，可先求出的中点，然后利用求解，或直接利用求解；

(3)若四边形为矩形，则利用求解．

13．

【分析】设出圆的一般方程，列方程组求解.

【详解】设圆的一般方程为,则

解得

所以圆的方程为

14．(1)；

(2)．

【分析】(1)根据双曲线焦点在x轴和y轴上进行讨论即可求解；

(2)可设双曲线方程为，代入两个点的坐标即可求解．

（1）

当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为，

将代入，得．

又点在双曲线上，

有，由此得，不合题意，舍去．

当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为0)，

∵a=4，故，

把点坐标代入，得，解得．

故所求双曲线方程为．

（2）

设双曲线方程为，将已知点坐标代入，

得，解得．

∴所求方程为．

15．．

【分析】选择条件①，由题意可得，根据的关系求出，即可得出双曲线的标准方程；

选择条件②，由题意可得，根据的关系求出，即可得出双曲线的标准方程；

选择条件③，由题意可得，根据的关系求出，即可得出双曲线的标准方程；

【详解】解析  方案一  选择条件①．

因为双曲线与椭圆共焦点，

所以双曲线的焦点在x轴上，且．

设双曲线的方程为．由左顶点为，得，

所以，所以双曲线的标准方程为．

方案二  选择条件②．

因为双曲线与椭圆共焦点，

所以双曲线的焦点在x轴上，且．

设双曲线的方程为．

由双曲线的渐近线方程为，知，所以，

所以，即，所以，

所以双曲线的标准方程为．

方案三  选择条件③．

因为双曲线与椭圆共焦点，

所以双曲线的焦点在x轴上，且．

设双曲线方程为．

由离心率，得，所以，所以，

所以双曲线的标准方程为．

16．(1)

(2)

【分析】（1）利用直线的点斜式方程设出直线方程，代入椭圆方程，得出的纵坐标，再由，即可求解椭圆的离心率；

（2）利用弦长公式和离心率的值，求出椭圆的长半轴、短半轴的值，从而写出椭圆的标准方程.

【详解】（1）设，，由题意知，.

直线的方程为，其中.

联立得，

解得，.

因为，所以.

即，

得离心率.

（2）因为，所以.

由得.所以，得，.

椭圆的方程为

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中涉及到直线的点斜式方程，直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，直线与圆锥曲线的弦长公式等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，转化与化归思想，解答准确的式子变形和求解是解答的一个难点，属于中档试题.

17．

【分析】设出所求双曲线的方程，待定系数即可求得结果.

【详解】设所求双曲线方程为：，

因为其过点，故可得：，

整理得，即，

解得（舍）或，

故所求双曲线方程为：.

18．

【分析】表示出直线和直线的方程后可得；结合点在椭圆上，可整理得到所求轨迹方程.

【详解】设，，又，，

则直线的方程为…①；直线的方程为…②；

由①②得：…③；

由点在椭圆上可得：，

，代入③得：.

19．(1)

(2)

【分析】根据题意可得，，所以，即可求得椭圆的方程；

设，，过且斜率为的直线方程为：，直线与椭圆方程联立，消得的一元二次方程，结合韦达定理，即可求的面积．

（1）

椭圆的焦点为，，

半焦距，

椭圆的右焦点到上顶点的距离为，

，

椭圆的方程为．

（2）

设，，

过且斜率为的直线方程为：，

代入椭圆的方程，化简可得，

，

则，

.

20．(1)；

(2)证明见解析，定点.

【分析】（1）将点代入方程中，再由离心率为，结合可求出，从而可得椭圆方程，

（2）设，将直线方程代入椭圆方程中化简，利用根与系数的关系，然后表示出直线的方程，表示出两点纵坐标，列方程化简可求得，从而可求得直线方程，进而可得结论

（1）

因为椭圆经过点，

所以，

因为离心率，所以，即，

因为，所以解得

所以方程为

（2）

设，则，得

，

由，得，

则，

直线为，则，

直线为，则，

所以，

化简得：，

所以

化简得

当，与点重合，不满足条件

当，代入直线方程可得：，

所以过定点.

21．(1)；

(2).

【分析】(1)根据抛物线的定义和标准方程即可求出p的值；

(2)设直线l为，和抛物线方程联立，结合韦达定理表示出，根据二次函数性质即可求出其最大值和此时l的方程．

（1）

抛物线的焦点到准线的距离为2，

所以，

所以抛物线的方程为；

（2）

抛物线的焦点坐标为.

设点，，

由题意知直线的斜率不等于0，且过点，所以设直线的方程为，

由得，

恒成立，

由韦达定理得，，

∴

所以当时，取得最大值为，

此时直线的方程为.

22．(1)

(2)

【分析】（1）根据基本量列方程求解即可；

（2）设出直线l：和交点，根据题意列出方程消去即可求出.

（1）

据题意，则，

点在双曲线上，则，

又，则，

∴，，，

∴双曲线的方程为．

（2）

设，，直线l：，

联立，

，，

由题知，切线：，切线：，

记，则，

两式相加得，

将代入得③；

两式相减得得，

由得④，联立③和④得，

故，又，所以，则，

故点的轨迹方程为．

【点睛】方法点睛 ：求某点的轨迹方程，可以先设出该点，然后运用已知条件寻求横纵坐标之间的关系.

23．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）由题设条件，可得点的坐标为，利用，从而，进而得，算出.（Ⅱ）由题设条件和（Ⅰ）的计算结果知，直线的方程为，得出点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.利用点在直线上，以及，解得，所以，从而得到椭圆的方程为.

试题解析：（Ⅰ）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得，故.

（Ⅱ）由题设条件和（Ⅰ）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在直线上，且,从而有解得，所以，故椭圆的方程为.

考点：1.椭圆的离心率；2.椭圆的标准方程；3.点点关于直线对称的应用.

24．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由题意知，所以，

，，可得答案；

（2）以（1）中方程中的互换位置可得答案；

（3）与满足的一个关系式为，分别求出、可得答案.

（1）

以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，

设双曲线的方程为，由题意知，所以，

，，所以

，，

所以，解得，

所以双曲线的方程为.

（2）

以（1）中求出的双曲线的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线为

.

（3）

与满足的一个关系式为，证明如下，

双曲线的半焦距，

所以双曲线的离心率为，

双曲线的半焦距，

所以双曲线的离心率为，

所以，

所以与满足的一个关系式为.