专题27 圆锥曲线与四心问题 微点2 圆锥曲线与外心问题试题及答案

这是一份专题27 圆锥曲线与四心问题 微点2 圆锥曲线与外心问题试题及答案，共23页。学案主要包含了微点综述，强化训练等内容，欢迎下载使用。
专题27 圆锥曲线与四心问题 微点2 圆锥曲线与外心问题
专题27 圆锥曲线与四心问题
微点2 圆锥曲线与外心问题
【微点综述】
与三角形的内心、外心、重心、垂心有关的数学问题在前几年经常被选人各级各类竞赛试题中，随着当今高考试题变知识立意为能力立意，这类题目便出现在全国各省市高考模拟试题中，特别是近几年各地高考试题都以大题的形式出现，充当“把关题”的重要角色．这类问题涉及知识面广，极富思考性和挑战性，学生求解起来颇感困难，考试时经常弃而不答，令人惋惜！下面，笔者从全国部分省市高考模拟试卷中精选出一些与外心有关的典型例题并予以分类导析，旨在探索解题规律，总结解题方法．
一、三角形外心的定义
三角形的外心：三角形外接圆的圆心，称为外心，三角形三条边的垂直平分线的交点，就是三角形的外心．
二、三角形外心重要结论
（1）O是的外心（或）；
（2）若点O是的外心，则=0．
（3）若O是的外心，则；
（4）斜三角形外心坐标：；
（5）多心组合：的外心、重心、垂心共线，即∥；
（6）焦点三角形外心轨迹方程：
①动点为椭圆上异于椭圆顶点的一点，为椭圆的左、右焦点，设焦点三角形的外心为，则外心的轨迹方程为（或）．
②动点为双曲线上异于双曲线顶点的一点，为双曲线的左、右焦点，设焦点三角形的外心为，则外心的轨迹方程为．
证明：只证双曲线情形．如图1，设点坐标为，则有，∵点在的垂直平分线上，∴可设．的垂直平分线的方程为，而点在其上，因此．在双曲线上，，由于，因此点的轨迹方程为．同理可证椭圆情形．

图1
三、典型例题精析
1．已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（    ）
A． B．3 C． D．5
2．设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
3．已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为(    )
A．4 B． C． D．
4．已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A，椭圆的左右焦点分别为B、C，T为△ABC的外心，则的值为_____.
5．已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为__________.
6．已知椭圆的下顶点为，若直线与椭圆交于不同的两点、，则当_____时，外心的横坐标最大．
7．,分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，满足，若的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为_______.
8．已知点在离心率为的双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的内切圆半径与外接圆半径之比为______.
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l交椭圆C于两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q（Q不与重合）．设的外心为G，则的值为____________．
10．设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
11．已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（    ）
A． B．3 C． D．5
12．已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，若的外心为为坐标原点）,则当最大时，=____.
【强化训练】
13．已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为__________．
14．已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程_______________；
15．在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为，设经过点的直线交椭圆于，两点，点．设点为椭圆的左焦点，若点为的外心，则实数的值_______．

16．设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E______；
17．在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点．若D为直线外一点，且的外心M在C上，则M的坐标为 _________．
18．如图，椭圆，抛物线，设、相交于、两点，为坐标原点．若的外心在椭圆上，则实数的值_______；

19．设椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点．设过点作轴的垂线交于另一点，若是的外心，则的值为__________．
20．在平面直角坐标系中，点在圆：上，直线与圆交于，两点（点在轴上方），点是抛物线上的动点，点为的外心，则线段长度的最大值为___，当线段长度最大时，则外接圆的标准方程为_____________．
21．为双曲线上一点，分别为的左、右焦点，，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则的离心率为
A． B．2 C．或 D．2或3
22．已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A，椭圆的左右焦点分别为B、C，T为△ABC的外心，则的值为_____.
23．为双曲线右支上的一点，分别为左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，则双曲线的离心率为
A． B． C．或 D．或
24．已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为__________．
25．F1，F2分别为双曲线（a，b>0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足0，若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为_____.
26．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标_____________.
27．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，、分别为的重心、内心．若轴，则的外接圆半径______．
28．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）．设的外心为，则的值为__________．




参考答案：
1．C
【分析】由题意得：直线垂直平分，设点，，则，可得方程组：，求得，将代入双曲线方程得，化简可得：.
【详解】不妨设点在第二象限，设，，
由为的中点，、、三点共线知直线垂直平分，则，
故有，且，解得，，
将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即，当点在第三象限时，同理可得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出
直线垂直平分，并用表示出点的坐标是解决此题的难点，属于中档题.
2．D
【解析】先由可确定、、三点共线,则根据外心的性质可得,再由点为焦点的中点,根据中位线性质可得,则,进而在中利用勾股定理求解.
【详解】由题,因为,所以、、三点共线,
因为点为线段的中点,的外心为,所以,即,
设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点,
则在中,,即,所以是直角三角形,
所以,
因为,由双曲线定义可得,所以,
则,因为,整理可得,
所以,
则,
故选:D
【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的定义的应用.
3．A
【分析】首先根据点是的外心,外心是三角形各边垂直平分线的交点,再结合向量运算的几何意义可以判断出点恰好就是椭圆上顶点.
【详解】由于外心在的垂直平分线上,故外心在轴上,
而方向朝着轴的负半轴,
故点位于椭圆的上顶点,
此时三角形面积为.
所以,
故选:.
4．16.
【分析】由已知可得两曲线焦点相同，设，利用椭圆和双曲线的定义求出，用利用两点间的距离公式求出点的横坐标，因为为中点，△ABC的外心在轴上，将，代入所求式，即可求解.
【详解】已知椭圆和双曲线
焦距相等所以焦点相同，设，
为两曲线在第二象限的交点，，
，，
设，，

，
，因为为中点，
△ABC的外心在轴上，，

【点睛】本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.
5．
【分析】取的中点为C，连接BC、、，由垂直向量的数量积关系推出，再利用双曲线的定义求出即可推出为等边三角形，求出BC，在中利用勾股定理列出关于a、c的齐次式即可求解离心率.
【详解】取的中点为C，连接BC、、，如图所示：

因为，所以，
又C为的中点，所以为等腰三角形且，
因为点恰好为的外心，所以点在直线BC上，且，
由双曲线的定义知，则，
所以为等边三角形，则，
在中，即，化简得，
同时除以可得，解得或(舍去).
故答案为：
【点睛】本题考查双曲线的定义及简单几何性质、等边三角形的性质、双曲线离心率的求法，涉及垂直向量的数量积关系、平行四边形法则，属于中档题
6．
【分析】由已知可得、的坐标，求得的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标，再由导数求最值．
【详解】如图，

由已知条件可知，不妨设，则外心在的垂直平分线上，
即在直线，也就是在直线上，
联立，得或，
的中点坐标为，
则的垂直平分线方程为，
把代入上式，得，
当的外心的横坐标取最大值时，必有，
令，则，
由，得（舍）或．
当时，，当时，.
当时，函数取极大值，亦为最大值．
故答案为：.
【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题．
7．
【分析】根据判断出三角形为直角三角形.利用勾股定理和双曲线的定义列方程并化简，根据直角三角形内切圆半径公式求得内切圆半径，根据内切圆半径和外接圆半径的比列方程，解方程求得双曲线离心率.
【详解】∵，∴，即为直角三角形，∴，
，则，.所以内切圆半径
，外接圆半径，由题意，得，整理，得，∴双曲线的离心率.
【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查向量数量积为零的意义，考查双曲线离心率的求法，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题.
8．
【详解】由，知.设，又，则可得，
，            ①
.            ②
设，则，即有
.        ③
由①②③可得，所以
，
解得.
9．4
【分析】设直线为，联立椭圆方程，结合韦达定理得到，再由G是的外心，得到的垂直平分线方程，从而得到点的坐标，即可得到，从而得到结果.
【详解】由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，
代入椭圆方程得．
设，，则，，
∴的中点坐标为，
∴．
∵G是的外心，∴G是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，
的垂直平分线方程为，
令，得，即，∴，
∴，的值为
故答案为:
10．D
【解析】先由可确定、、三点共线,则根据外心的性质可得,再由点为焦点的中点,根据中位线性质可得,则,进而在中利用勾股定理求解.
【详解】由题,因为,所以、、三点共线,
因为点为线段的中点,的外心为,所以,即,
设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点,
则在中,,即,所以是直角三角形,
所以,
因为,由双曲线定义可得,所以,
则,因为,整理可得,
所以,
则,
故选:D
【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的定义的应用.
11．C
【分析】由题意得：直线垂直平分，设点，，则，可得方程组：，求得，将代入双曲线方程得，化简可得：.
【详解】不妨设点在第二象限，设，，
由为的中点，、、三点共线知直线垂直平分，则，
故有，且，解得，，
将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即，当点在第三象限时，同理可得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出
直线垂直平分，并用表示出点的坐标是解决此题的难点，属于中档题.
12．.
【分析】由正弦定理可知最大时，联立直线与方程，由韦达定理及即可求出直线，利用弦长公式求解即可.
【详解】由题意知,为外接圆的半径，
在中,由正弦定理可知,(R为外接圆的半径),
当,即时,取得最大值2.
设,,易知,,
则,得,即.
设直线的方程为,即,
代入得,,
则,,
所以,解得.
故.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正弦定理，直线与抛物线的关系，弦长公式，属于中档题.
13．4
【分析】根据向量的共线定理即可求得则三点共线，则P位于上顶点，则，根据基本不等式的性质，即可求得的最小值．
【详解】由是的外心，则在轴的正半轴上，，
则，
则三点共线，即位于上顶点，
则的面积，
由，则，当且仅当时取等号，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
14．
【分析】设外心为，且，，，
根据外心的性质可求点G的轨迹方程.
【详解】设外心为，且，，，
由点在的垂直平分线上知
由，得
故即点G的轨迹S为：，
故答案为：.
15．##0.2．
【分析】设直线的方程为，代入椭圆的方程，结合韦达定理表示出，再结合条件即可算得结果.
【详解】设直线的方程为，代入椭圆的方程，消去，得
．
∵直线交椭圆于两点，∴，解得．
设，则有．
设中点为，则有，
∵，∴，即．
解得．
由，解得．
∵点为的外心，且，∴．
由消去，得，∴也是此方程的两个根．
∴
又∵，∴，解得．
∴．
故答案为:
16．
【分析】设点，由重心坐标和外心坐标，结合圆的几何性质以及列方程，化简后求得轨迹E的方程．
【详解】设点，则的重心，
∵是不等边三角形，∴，
再设的外心，
∵已知，∴MN∥AB，∴，
∵点N是的外心，∴，
即，
化简整理得轨迹E的方程是.
∴动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）．
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和曲线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题．
17．或．
【分析】三角形的外心为中垂线的交点，利用中点坐标公式得线段AB中点N的坐标，得到线段AB的中垂线方程，将中垂线方程与抛物线方程联立即可得到外心M．
【详解】联立得，
设，，则，，
设线段AB的中点为，
则，，
则线段AB的中垂线方程为，即，
联立得，解得或4，
从而的外心M的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，将直线方程与抛物线方程联立，其中韦达定理是解题的关键，同时考查向量知识和三角形外心的应用．
18．
【分析】设，依题意的外心为椭圆的上顶点，即可得到方程组，解得即可.
【详解】解：由抛物线、椭圆和圆的对称性可知，的外心为椭圆的上顶点.
则有，设，则有，又，
解得.
故答案为：
19．4
【分析】设直线的方程为，求得的中点坐标，利用弦长公式求出，再求垂直平分线方程，求出点的坐标，进而求出，进而可求解．
【详解】由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，
代入得，
设，则，
则的中点坐标为
∴
∵是的外心，∴是线段的垂直平分线与的垂直平分线的交点，
的垂直平分线为，令，得，
即，
∴．
故答案为：4.
20．         
【分析】由得到的坐标，表示出线段的中垂线，令，得到的外心的坐标，由在抛物线上得，从而得到，再由基本不等式，得到其最大值，确定出点坐标，再求出外接圆的半径，得到所求圆的方程．
【详解】把代入圆的方程得，∴，
做出线段的中垂线，则的外心为直线与轴的交点．
直线的方程为：． 当时，．
∵点在抛物线上，∴  ∴．
由得， ∴，
．
当且仅当时，即时取到最大值．
此时点坐标为，∴外接圆的半径，
∴外接圆的标准方程为．
故答案为: ，
21．D
【分析】根据焦点三角形为直角三角形可得其外接圆半径为斜边的一半，再根据公式可求直角三角形的内切圆的半径的大小，结合两个半径之比得的关系式，从而可求双曲线的离心率.
【详解】不妨设为右支上的点，则，
设双曲线的半焦距为，则，，
又外接圆半径为.
内切圆的半径为，
因为外接圆半径与其内切圆半径之比为，故，
故，所以或，即或.
故选：D.
【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．
22．16.
【分析】由已知可得两曲线焦点相同，设，利用椭圆和双曲线的定义求出，用利用两点间的距离公式求出点的横坐标，因为为中点，△ABC的外心在轴上，将，代入所求式，即可求解.
【详解】已知椭圆和双曲线
焦距相等所以焦点相同，设，
为两曲线在第二象限的交点，，
，，
设，，

，
，因为为中点，
△ABC的外心在轴上，，

【点睛】本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.
23．C
【分析】结合题意计算出三角形的外接圆半径和内切圆半径，由数量关系计算出双曲线离心率
【详解】，
点的坐标为
,则
的外接圆半径
其内切圆半径
的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，
,
即
化简可得
即
解得
故选
【点睛】本题主要考查了计算双曲线的离心率，结合题意先计算出外接圆和内切圆的半径，然后结合数量关系求出结果，属于中档题
24．4
【分析】根据向量的共线定理即可求得则三点共线，则P位于上顶点，则，根据基本不等式的性质，即可求得的最小值．
【详解】由是的外心，则在轴的正半轴上，，
则，
则三点共线，即位于上顶点，
则的面积，
由，则，当且仅当时取等号，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
25．
【分析】设为内切圆圆心，用、表示出，，根据列方程得出，的关系即可得出离心率．
【详解】解：，．
的外接圆半径为，
的内切圆的半径为．
设的内切圆的圆心为，过作轴的垂线，连接，，则，
设，，则，①
不妨设在第一象限，由双曲线的定义可知，②
由①②可得，，
，且，分别是，的角平分线，
，
又，，
，化简可得，故，
．
故答案为：．

【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．
26．
【解析】设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标.
【详解】设，由重心坐标公式得，的重心为,
代入欧拉线方程得：,整理得：  ①
的中点为，，
的中垂线方程为，即．
联立，解得.．
的外心为．
则，
整理得：  ②
联立①②得：或．
当时重合，舍去．
∴顶点的坐标是．
【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.
27．5    
【详解】不妨设在第一象限，，．
依题意，，．
由、分别为的重心、内心，轴，得的内切圆半径．
所以．
又．所以．
故，结合，得，．
由此得到，．因此．
所以的外接圆半径．
28．4
【分析】设出直线方程，与椭圆方程联立后由弦长公式得，再由几何关系得点坐标，得出后化简计算
【详解】由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，
代入椭圆方程得．
设，则，
∴的中点坐标为，
∴．
∵是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，
的垂直平分线方程为，
令，得，即，∴
∴．
故答案为：4