专题27 圆锥曲线与四心问题 微点3 圆锥曲线与内心问题试题及答案

这是一份专题27 圆锥曲线与四心问题 微点3 圆锥曲线与内心问题试题及答案，共39页。学案主要包含了微点综述，强化训练，技巧点晴，思路点睛等内容，欢迎下载使用。
专题27 圆锥曲线与四心问题 微点3 圆锥曲线与内心问题
专题27 圆锥曲线与四心问题
微点3 圆锥曲线与内心问题
【微点综述】
三角形的“四心”指重心、外心、内心、垂心，它们是三角形的重要几何点，与之相关的数学问题是数学竞赛的热点问题，也是解析几何的难点问题，这类问题涉及的知识面较广，富有挑战性，是考查学生能力的“好”点，在高考中常充当“把关题”的重要角色．本文对三角形的“内心”的几何性质加以归纳，旨在探索解题规律，总结解题方法．
一、三角形内心的定义
三角形的内心：三角形内切圆的圆心，称为内心，三角形三条内角平分线的交点，就是内心．
二、三角形内心常见结论
设的内切圆为圆，切边于，则有如下重要结论：
（1）是的内心 （其中a、b、c为的三条边）；
（2）；
（3）；
（4）内心点的坐标为；
（5）三角形内切圆的半径求法：
①任意三角形：（其中为的周长，为的面积）；
②直角三角形：（其中a，b为直角边，c为斜边）；
（6）焦点三角形内心轨迹方程：
①设点为椭圆的焦点三角形的内心，则点的轨迹方程为：，其中．
证明：如图1，设，连结交直线于点，由三角形内角平分线定性质知，又．
又由，得．

图1 图2
②设点为双曲线的焦点三角形的内心，则有：
（1）当在双曲线右支上时，点的轨迹方程为；
（2）当在双曲线左支上时，点的轨迹方程为．
证明：（1）当在双曲线右支上时，如图2，设圆与分别相切于点，则有．∵在双曲线右支上，，即，又，设，则有，化简，有．从而知总圆与轴相切于点，又轴，故点的轨迹方程为．
设的纵坐标为，则有且．
综上所述，点的轨迹为．
（2）仿照（1）的证明可证得：当在双曲线左支上时，圆总与轴相切于点，点的轨迹为．
三、典型例题精析
（一）内心的性质问题
利用椭圆（双曲线）的焦点三角形的内心的基本性质，可以用来破解涉及内心的半径、线段的距离、夹角、离心率等相关的问题．破解的关键就是充分利用内心的基本性质，合理建立相应的关系式来分析与求解．
1．已知是椭圆上一点，，是椭圆的左，右焦点，点是的内心，延长交线段于，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于A，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的内切圆半径为（    ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，是的内心，当时（其中，分别为点与内心的纵坐标），椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
4．过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．或2
5．已知为双曲线的左右焦点，过点作一条渐近线的垂线交双曲线右支于点P，直线与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接，如图，若内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则________；双曲线的离心率________．

二、内心的轨迹问题
利用椭圆的焦点三角形的内心的基本性质，可以用来破解涉及内心的轨迹方程、参数的取值范围等相关的问题．破解的关键就是充分利用内心的基本性质，合理引人参数并能巧妙代换与应用．
6．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为__________．
7．点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（　　）
A．（1，） B．（1，2）
C．（1，2] D．（1，]
三、内心的应用问题
利用椭圆（双曲线）的焦点三角形的内心的基本性质，可以用来破解涉及内心的一些基本应用问题，包括直线的斜率、三角形的面积等相关问题．破解的关键就是充分利用内心的基本性质，交汇直线的基本概念、三角形的基本元素等，综合起来破解相应的综合应用问题．
9．已知点是双曲线上除顶点外的任意一点，分别为左、右焦点，为半焦距，的内切圆与切于点，则_________.
10．已知双曲线的左，右焦点F1，F2，点P在双曲线上左支上动点，则三角形PF1F2的内切圆的圆心为G，若与的面积分别为，则取值范围是____________
11．已知F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1=2r2，则直线l的斜率为（　　）
A．1 B． C．2 D．
小结：
涉及椭圆的焦点三角形的内心问题，可以通过多种形式加以变化与应用，多姿多彩，创新新颖，极富美感．破解涉及焦点三角形的内心问题的关键就是充分利用焦点三角形的内心的基本性质，有效利用解析几何、平面几何、三角函数等相关知识加以综合，值得我们不断深人学习，探究分析，拓展思维，提升应用，从而不断开拓学生的解题境界，提升学生的解题能力，养成良好的数学品质，培养数学核心素养．
【强化训练】
12．椭圆的两焦点是、，为椭圆上与、不共线的任意一点，为的内心，延长交线段于点，则的值等于（     ）
A． B． C． D．
13．如图所示，点P为椭圆上任一点，，为其左右两焦点，的内心为I，则（    ）

A． B． C． D．
14．已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为(   )
A． B．
C． D．
15．已知点在椭圆：上，、为左、右焦点，点是内心，连接并延长交线段于，则的值为
A． B． C． D．
16．双曲线的渐近线与抛物线交于点，若抛物线的焦点恰为的内心，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
17．双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（    ）
A． B． C． D．
18．点是椭圆上一点，分别是椭圆的左右焦点，是的内心．若，则该椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
19．设椭圆的左、右焦点分别为，M是椭圆上异于长轴端点的一点，，的内心为I，则（    ）
A． B． C． D．
20．已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点， 为的内心，若，则该椭圆的离心率是（    ）
A． B． C． D．
21．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为上一点，若为的内心，且，则的方程可能是
A． B．
C． D．
22．已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（    ）
A． B． C． D．与大小不确定
23．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则C的离心率为（     ）
A． B． C． D．
24．已知双曲线的左右焦点为为它的中心，为双曲线右支上的一点，的内切圆圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若双曲线的离心率为，则
A． B． C． D．与关系不确定
25．点P是双曲线的上支上的一点，F1，F2分别为双曲线的上、下焦点，则△PF1F2的内切圆圆心M的坐标一定适合的方程是（    ）
A．y=-3 B．y=3 C．x2+y2=5 D．y=3x2-2
26．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且为三角形的内心，若成立，则的值为
A． B． C． D．
27．如图，已知双曲线（，）的左右焦点分别为F1、F2，，P是双曲线右支上的一点，直线与y轴交于点A，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该双曲线的离心率为（   ）

A． B． C．2 D．3
28．已知点为双曲线 右支上一点，分别为左右焦点，若双曲线的离心率为，的内切圆圆心为，半径为2，若，则的值是
A．2 B． C． D．6
29．点是双曲线右支上一点，分别为左、右焦点.的内切圆与轴相切于点.若点为线段中点，则双曲线离心率为（   ）
A． B．2 C． D．3
30．如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，是轴正半轴上一点，交椭圆于A，若，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率为

A． B． C． D．
31．过双曲线右焦点的直线交两渐近线于、两点，若，为坐标原点，且内切圆半径为，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
32．已知椭圆的左、右焦点分别是，过点作圆的一条切线，切点为，延长交椭圆于点，且，双曲线的左、右焦点分别为是右支上一点，与轴交于点，的内切圆与的切点为，若，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
33．设，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上一点，若的重心和内心的连线与轴垂直，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
34．已知双曲线的左、右焦点为，，为双曲线右支上异于顶点的一点，的内切圆与轴切于点，且与点关于直线对称，则双曲线方程为_________．
35．点M为椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的内心轨迹方程为____________.
36．设为椭圆:的两个焦点．为上点，的内心I的纵坐标为，则的余弦值为_____.



参考答案：
1．A
【分析】如图，点是椭圆上一点，过点M作BM垂直直线于点，过点作垂直直线于点，设的内切圆半径为，则，由得：

又，故得：，所以，由椭圆方程得：，，，所以由与相似，可得：,令，则,可求得：，问题得解．
【详解】如图，点是椭圆上一点，过点M作BM垂直直线于点，过点I作垂直直线于点，设的内切圆半径为，则，由三角形面积相等即：得：

又，故得：，所以，由椭圆方程得：，，，所以由与相似，可得：,令，则,可求得：，故选A．
【点睛】本题主要是利用三角形相似将所求的比值转化成三角形相似比问题，即构造两个三角形相似来处理，对于内切圆问题通常利用等面积法列方程．即：即：=++（其中是的内切圆圆心），从而解决问题．
2．C
【分析】利用离心率求得，然后由抛物线准线方程和双曲线渐近线方程联立可得A、B坐标，结合三角形面积可得p，再由面积公式可得.
【详解】由，可得，
所以双曲线的渐近线方程为
由得，由得，
∴，解得，
∴，，则的三边长分别为，，．
设的内切圆半径为，由，解得.
故选：C．

3．C
【解析】根据内切圆的性质利用等面积法求出内切圆的半径，即可得内切圆圆心的纵坐标，利用条件化简方程，即可求出离心率.
【详解】设，不妨设，如图，

设三角形内切圆的半径为r，由三角形内切圆的性质可得:
，
解得：，
,
因为，
所以，解得，
所以，
故选：C
【点睛】关键点点睛，利用内切圆的性质得到是解题的关键，根据及，建立方程求出离心率，属于中档题.
4．D
【解析】分在轴同侧和在轴异侧两种情况进行求解：不妨设在第一象限，根据题意作出图形，利用图形中的几何关系求出的值，再由离心率求解即可.
【详解】有两种情况：
（1）若在轴同侧，不妨设在第一象限.如图，

设内切圆的圆心为，则在的平分线上，
过点分别作于，于，
由得四边形为正方形，利用点到直线的距离公式可得，
焦点到渐近线的距离为，
又，所以，
又，
所以，
所以，
从而可得离心率；
（2）若在轴异侧，不妨设在第一象限如图，

易知，，，
因为的内切圆半径为，
所以，
又因为，
所以，，
所以，，
则，
从而可得离心率.
综上，双曲线的离心率为或2.
故选：D
【点睛】本题考查利用双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系求离心率；考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力；利用数形结合思想，正确求解图形中的几何关系和线段长度是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
5．         
【分析】写出直线，求得内切圆圆心到直线的距离，该距离与圆心到直线的距离相等，从而设出直线，联立解得斜率k，进而求得；分别求得的长，结合双曲线定义求得离心率.
【详解】由题知，，则直线，即，
由题知，内切圆圆心为，
则圆心到直线的距离为，
设直线，则内切圆圆心到直线的距离为，
由内切圆性质知，，两边同时平方，化简得：
，即或，
当时，与渐近线平行，满足图像条件；根据点到直线的距离相等的两条直线位置情况知，这两条线关于点对称，当时，出现在图示内切圆的左上侧，不符合题意，故舍去；
则，从而有，即，
由知，，，
由双曲线定义知，，即，
从而有，离心率
故答案为：；；
6．
【详解】考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为△PF1F2的内心，求点I的轨迹方程．
解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，则.

直线IF1与IF2的斜率之积：，
而根据海伦公式，有△PF1F2的面积为
因此有.
再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴，
离心率e满足的椭圆，
其标准方程为.
解法二：令，则．三角形PF1F2的面积：
，
其中r为内切圆的半径，解得.
另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：

从而有．消去θ得到点I的轨迹方程为：
.
本题中：，代入上式可得轨迹方程为：.
7．A
【详解】如图所示，设的内切圆圆心为，内切圆与三边分别相切于点，根据圆的切线可知：，，，又根据双曲线定义 ，即，所以，即，又因为，所以，，所以点为右顶点，即圆心，
考虑点在无穷远时，直线的斜率趋近于，此时方程为，此时圆心到直线的距离为，解得，因此内切圆半径，所以选择A.

8．D
【分析】根据条件和三角形的面积公式，求得的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案．
【详解】设的内切圆的半径为，则，
因为，所以,
由双曲线的定义可知，
所以，即，
又由，所以双曲线的离心率的取值范围是，
故选D．
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
9．
【分析】由题意结合双曲线的定义分类讨论求解的值即可.
【详解】设圆与的切点为点S，与的切点为点T，
根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等可知：
①当P在双曲线图象的右支时，而根据双曲线的定义可知
①；
而②，
联立①②解得：,所以=b2；
②当P在双曲线图象的左支时，而根据双曲线的定义可知
③；
而④，
联立③④解得：，

综上,可得.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义及其应用，外切圆的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．
【分析】由圆的切线性质结合双曲线的定义可求圆心G的坐标，再利用三角形面积公式及其比值，由此可得取值范围.
【详解】如图设切点分别为M，N，Q，由切线的性质可得，所以的内切圆的圆心G的横坐标与Q横坐标相同．
由双曲线的定义，．由圆的切线性质，，，所以，
因为，所以，，Q横坐标为．
因为双曲线的a＝1，b＝，c＝2，可设，设（m＞1），因为，，
可得，所以取值范围是，
故答案为：.

11．D
【分析】记△AF1F2的内切圆圆心为C，△BF1F2的内心D，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，则C、E横坐标相等，根据外接圆的性质及双曲线的定义求得的横坐标，可得CD⊥x轴，设直线的倾斜角为θ，∠OF2D=，∠CF2O=90°﹣，结合r1=2r2，分析运算即可得出答案.
【详解】解：记△AF1F2的内切圆圆心为C，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，
则C、E横坐标相等，则|AM|=|AN|，|F1M|=|F1E|，|F2N|=|F2E|，
由|AF1|﹣|AF2|=2a，即|AM|+|MF1|﹣（|AN|+|NF2|）=2a，
得|MF1|﹣|NF2|=2a，即|F1E|﹣|F2E|=2a，
记C的横坐标为x0，则E（x0，0），
于是，得x0=a，
同理△BF1F2的内心D的横坐标也为a，则有CD⊥x轴，
设直线的倾斜角为θ，则∠OF2D=，∠CF2O=90°﹣，
在△CEF2中，tan∠CF2O=tan（90°﹣）=，
在△DEF2中，tan∠DF2O=tan，
由r1=2r2，可得2tan=tan（90°﹣）= ，解得tan，
则直线的斜率为tanθ==2.
故选：D.

12．B
【分析】连接，根据三角形内角平分线性质定理可得，结合椭圆的定义与基本量的关系求解即可.
【详解】连接.在△MF1I中,F1I是∠MF1N的角平分线,根据三角形内角平分线性质定理,，
同理可得,故有，
根据等比定理.

故选：B
13．A
【分析】首先连PI延长x轴于D，连，，利用角平分线定理得到，再利用和比定理和椭圆的性质，得到，从而得到面积比值.
【详解】解：连PI延长x轴于D，连，．
在中有，在中有，
故，
故．

故选：A
【点睛】本题考查椭圆的性质和角平分线定理解决三角形面积比值，意在考查转化与化归的思想，数形结合分析问题，属于中档题型，本题的难点是角平分线定理的应用.
14．A
【分析】根据内心及重心的性质，可知点距轴的距离为，再利用等面积法建立关于与的等式，再利用点在椭圆C上可求解.
【详解】设点距轴的距离为，因为，则点距轴的距离为，连接，则，
，
所以，所以，
所以椭圆方程为．
故选：A

15．C
【详解】试题分析：连接，在中，是的角平分线，根据三角形角平分线的性质定理得；同理可得，故有，根据等比定理得，所以答案为C．
考点：1、椭圆的定义；2、角平分线的性质．
【技巧点晴】本题考查的是椭圆的定义、角平分线的性质定理、等比定理等的综合知识，属于难题；在解决涉及圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口；由于三角形的内心是三个内角的平分线的交点，根据三角形内角平分线的性质定理，把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系来求解．
16．D
【解析】作出圆锥曲线的大致图像，利用抛物线的焦点到渐近线的距离等于到的距离，列方程即可求解.
【详解】作出双曲线与抛物线的大致图像，
如图：

双曲线的渐近线方程为：，即，
联立，解得或，
当时，则，
所以焦点到的距离为，
焦点到渐近线的距离为，
所以，整理可得，
即，整理可得，
两边同除以可得，
，
又，即，解得.
故选：D
【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查了考生的计算能力，属于中档题.
17．C
【解析】由已知可得，结合双曲线的定义和标准方程，即可求解.
【详解】如图，设内切圆的半径为r，
由，得，
整理得.因为P为双曲线右支上一点，
所以，，所以.
故选:C.

【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线定义和性质的应用，属于基础题.
18．B
【分析】求椭圆的离心率，关键在于找到关于基本量之间的等量关系式，由椭圆的定义与椭圆的标准方程可得：，，在中是内心且可得：，从而即可求出离心率.
【详解】设的内切圆的半径为，
则由，得：

即：

所以椭圆的离心率．
故选：B．
19．A
【分析】利用切线长定理进行求解.
【详解】由题意，|MF1|+|MF2|=4，而，
设圆与MF1、MF2分别切于点A，B，连接IA，IB，
根据切线长定理就有，
∴.

故选：A．
20．A
【详解】分析：首先根据三角形面积的关系，确定出三角形的三边的关系，结合椭圆的定义，得到，再根据椭圆的离心率的公式求得结果.
详解：设的内切圆的半径为，根据题意可得，，根据三角形的面积公式，可以求得，整理得，即，故选A.
点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题的条件，结合焦点三角形的特征，求得对应的离心率的大小.
21．D
【分析】先根据为的内心，且得，即，再依次讨论选项即可得答案.
【详解】解：因为为的内心，设内切圆的半径为，
所以，
因为，
所以，
所以，
根据椭圆的定义得：，即.
对于A选项，，不满足，故错误；
对于B选项，，不满足，故错误；
对于C选项，，不满足，故错误；
对于D选项，，满足，故正确.
故选：D.

【点睛】本题考查利用椭圆的性质求解椭圆的方程，解题的核心是通过面积关系和椭圆的定义得到，考查分析解决问题的能力，是中档题.
22．B
【分析】作出图示，根据的特点分别表示出，，即可判断出的大小关系.
【详解】因为，所以的轨迹是椭圆在第一象限内的部分，如图所示：

因为是的内心，设内切圆的半径为，
所以，所以，所以，
又因为是的重心，所以，
所以，
所以，
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的定义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求较高，难度一般.
23．C
【分析】首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关系得到关于的方程，解出即可.
【详解】∵F到渐近线的距离为，∴，
则△FOH的内切圆的半径为，

设△FOH的内切圆与FH切于点M，则
由，得
，
即
即
即，
由，得，由于 解得，
故选：C
【点睛】对于直角三角形内切圆半径要记住，根据向量之间关系得到关系式，再将其转化为关于的二次式，再利用，转化为关于的方程，这是求解关于离心率问题的常用方法.
24．A
【详解】
F1（﹣c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A
∵|PF1|﹣|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，
|AF1|﹣|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，
则|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a
∴x=a；
|OA|=a，
在△PCF2中，由题意得，F2B⊥PI于B，延长交F1F2于点C，利用△PCB≌△PF2B，可知PC=PF2，
∴在三角形F1CF2中，有：
OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）=×2a=a．
∴|OB|=|OA|．
故选A．
点睛：这个题目考查了双曲线的几何意义和双曲线的第一定义；用到了焦三角形的的内切圆的性质和结论．一般无论双曲线还是椭圆，和焦三角形的有关的可以想到，焦三角形的的周长，余弦定理，定义的应用，面积公式等．
25．B
【分析】利用圆的切线性质和双曲线定义，结合图形可解.
【详解】∵双曲线方程为 ，∴
设△PF1F2的内切圆分别与PF1、 PF2切于点A、B，与F1F2切于点C

则|PA|=|PB| ，，，
又∵点P在双曲线上支上， ∴|PF2|-|PF1|=2a=6，
即（|F2A|+|PA|）-(|F1B|+|PB|) =6 ，
化简得|F2A|-|F1B|=6 ，即|F2C|-|F1C|=6 ，
而|F1C|+|F2C|=2c=10 ，
设C点坐标为（0，λ） ，由|F2C|-|F1C|=6可得(λ+5)-(5-λ)=6，解之得λ=3 ，得C的坐标为（0，3）
∵圆M与F1F2切于点C ，∴CM⊥y轴，可得CM所在直线方程为y=3
故选：B
26．D
【详解】试题分析：设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，由题意得，，故，
，故选D．
考点：1．双曲线的简单性质；2．圆锥曲线的定义、性质与方程．
【思路点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，设的内切圆半径为，由，用的边长和表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出．
27．C
【分析】利用双曲线的定义及几何性质求出，即可求出离心率.
【详解】因为，所以，如图：

设另外两边上的切点为，则，.
由对称性知，所以，即，
所以，即，，
所以．
故选：C．
28．C
【分析】利用的内切圆圆心为，半径为2 ，由，结合双曲线的定义求出,通过离心率求出，然后求解即可.
【详解】点为双曲线右支上一点,
分别为左右焦点,的内切圆圆心为,半径为2 ,
因为，
所以，
可得，
即，
双曲线的离心率为，可得,
则，故选C.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率以及双曲线的几何性质，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
29．B
【分析】设的内切圆圆心为 ，边 上的切点分别为结合切线段长相等及双曲线的定义，可得，可得的横坐标为，由点为线段中点，可得，从而可得离心率.
【详解】设的内切圆圆心为 ，边 上的切点分别为
易见 横坐标相等，
则
由即
得 即，
记的横坐标为，则，
于是 ，得，
由点为线段中点，知.
故选:B.
30．B
【分析】由题意，直角三角形的内切圆半径r，结合|F1F2|，可得10，从而可求|AF1|+|AF2|＝2a，即可求得椭圆的离心率．
【详解】由题意，直角三角形的内切圆半径r，
∵|F1F2|，
∴10，
∴2|AF1||AF2|＝4，
∴14，
∴|AF1|+|AF2|＝2a，
∵|F1F2|，
∴椭圆的离心率是e．
故选B．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
31．A
【解析】设内切圆圆心为，则在平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形,则可得离心率.
【详解】因为，所以双曲线的渐近线如图所示，
设内切圆圆心为，则在平分线上，
过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，，所以，
所以，得.
故选：A.

【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质，属于中档题.
32．D
【解析】先利用椭圆的定义，中位线的性质和勾股定理求出，的关系，再在双曲线中，根据三角形内切圆的性质和双曲线的定义，求出的值，从而求解．
【详解】解:连接，在椭圆中，
∵是圆的切线，是切点，
∴，．
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
又，
∴    ①．
在双曲线中，，
由题意知，上式可变为，
由三角形内切圆的性质得，
∴，
则    ②．
联立①②并解得，
∴双曲线的方程为，
故选:D．

【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，三角形内切圆的知识，考查数形结合思想及运算求解能力．
33．A
【解析】设的重心和内心分别为，则．设，根据双曲线的定义和圆的切线的性质可得，于是，，所以．然后由点在双曲线上可得，于是可得离心率．
【详解】画出图形如图所示，

设的重心和内心分别为，且圆与的三边分别切于点，由切线的性质可得．
不妨设点在第一象限内，
∵是的重心，为的中点，
∴，
∴点坐标为．
由双曲线的定义可得，
又，
∴，
∴为双曲线的右顶点．
又是的内心，
∴．
设点的坐标为，则．
由题意得轴，
∴，故，
∴点坐标为．
∵点在双曲线上，
∴，整理得，
∴．
故选A．
【点睛】本题综合考查双曲线的性质和平面几何图形的性质，解题的关键是根据重心、内心的特征及几何图形的性质得到点的坐标，考查转化和计算能力，难度较大．
34．
【分析】设点是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，，设三角形的内切圆心在横轴上的投影为，、分别为内切圆与、的切点．由同一点向圆引得两条切线相等知，由此得到的内切圆的圆心横坐标．即为，运用对称思想，结合中点坐标公式和两直线垂直的条件，再由直线的斜率公式和点满足双曲线方程，化简整理，即可得到，进而得到双曲线方程．
【详解】解：点是双曲线右支上一点，
由双曲线的定义，可得，
若设三角形的内切圆心在横轴上的投影为，该点也是内切圆与横轴的切点．
设、分别为内切圆与、的切点．考虑到同一点向圆引的两条切线相等：
则有：


，即，
所以内切圆的圆心横坐标为．
由题意可得，
设，，
与点关于直线对称，可得，，
解得，．
即有，
代入双曲线的方程可得，
由，，
解得，，
即有双曲线的方程为．
故答案为：．
35．
【分析】设的内心为，连接交轴于点，由内角平分线性质定理得到，设，再由焦半径公式及内角平分线定理得到，则，然后利用向量关系把的坐标用的坐标表示出来，代入椭圆方程求解.
【详解】如图，设的内心为，连接交轴于点，连接
在中是的角平分线.
根据内角平分线性质定理得到.
同理可得.
所以，根据等比定理得：
在椭圆中，
所以
设，则

同理
又，则，可得
所有

由，得，
所以，代入椭圆方程.
得，由，则.
所以的内心轨迹方程为：
故答案为：

【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式，内角平分线定理的应用，属于难题.
36．0
【分析】因为的内心I的纵坐标为，所以可知道的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，可得到三角形的面积，接着根据焦点三角形的面积确定，进而求出答案.
【详解】如图，

由题意知的内切圆的半径为，又由三角形的内切圆半径，
即，
又由焦点三角形的面积，
所以，所以，所以.
【点睛】本题主要考查通过焦点三角形的面积公式，确定的余弦值，熟悉公式的运用是解决本题的关键.