专题27 圆锥曲线与四心问题 微点4 圆锥曲线与垂心问题试题及答案

这是一份专题27 圆锥曲线与四心问题 微点4 圆锥曲线与垂心问题试题及答案，共31页。学案主要包含了微点综述，强化训练等内容，欢迎下载使用。
专题27 圆锥曲线与四心问题 微点4 圆锥曲线与垂心问题
专题27 圆锥曲线与四心问题
微点4 圆锥曲线与垂心问题
【微点综述】
从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征．而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新．因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．下面，笔者从全国部分省市高考模拟试卷中精选出一些与垂心有关的典型例题并予以分类导析，旨在探索解题规律，总结解题方法．
一、三角形垂心的定义
三角形的垂心：三角形三条边上的高交于一点，这一点就是三角形的垂心．
二、三角形垂心重要结论
设分别是的外心、重心、垂心，则
（1）；
（2）三点共线，且（欧拉线）；
（3）斜三角形垂心坐标：；
（4）H是△的垂心；
（5）垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得2倍；
（6）焦点三角形垂心轨迹方程：
①椭圆的焦点三角形的垂心的轨迹方程为；
②双曲线的焦点三角形的垂心的轨迹方程为．
三、典型例题精析
例1．
1．记椭圆：的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，，，处的切线交于点，设的垂心为，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【评注】本题主要考查椭圆中的最值问题，考查椭圆的切线方程，涉及基本不等式求最值，属于跨章节综合题．
例2．
2．已知是双曲线的左､右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，则坐标原点O可能为的（    ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【评注】本题考查双曲线中三角形的几种心的性质，考查逻辑推理能力，求解时注意三角形各种心的定义．
例3．
3．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________
【评注】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键．
例4．
4．已知：椭圆的右焦点为为上顶点，为坐标原点， 直线交椭圆于两点，当为的垂心时，则的面积为____________．
【评注】本题主要考查了根据的值求椭圆的方程以及利用弦长公式求三角形的面积，涉及了三角形垂心的性质、韦达定理、点到直线的距离公式，属于较难题．
例5．
5．已知点在椭圆C：上， 过点作直线交椭圆C于点的垂心为，若垂心在y轴上．则实数的取值范围是________________．

【评注】本题考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系等是解题的关键，属于中档题．
例6．
6．已知椭圆的上顶点为，直线与该椭圆交于两点，且点恰为的垂心，则直线的方程为______ .
【评注】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查垂心的几何性质，考查韦达定理的应用，属于中档题．
例7．
7．已知分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，若坐标原点恰为的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【评注】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
例8．
8．已知内接于抛物线，其中O为原点，若此内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，则的外接圆方程为_____.
【评注】本题考查抛物线的简单性质，考查了两直线垂直与斜率的关系，是中档题
例9．
9．已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为．则椭圆C的方程为________________；
例10．
10．若△OAB的垂心恰是抛物线y2=4x的焦点，其中O是原点，A、B在抛物线上，则△OAB的面积S=____________ .
例11．
11．如图所示，已知圆O：x2＋y2＝4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y＝2上运动，过点B作圆O的切线，切点为C，则△ABC的垂心H的轨迹方程为______．

【评注】本题主要考查轨迹的求解方法，考查学生的计算能力．
例12．
12．平面直角坐标系xOy中，双曲线：的两条渐近线与抛物线C：交于O，A，B三点，若的垂心为的焦点，则的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【评注】本题考查双曲线的性质，联立方程组，根据三角形垂心的性质，得是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
小结：
三角形的外心、重心、内心、垂心，在平面几何中有着广泛的应用．如果把三角形的四心与解析几何有关图形的性质有机地结合，可拓宽应用的范围，使很多解析几何问题，获得明快的解决．
【强化训练】
13．若曲线：上一点，是否存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为．则直线的方程为_____________．
14．双曲线的渐近线与抛物线相交于，，，若的垂心为的焦点，则（    ）
A． B． C． D．
15．已知双曲线：(，)的渐近线与抛物线：()交于点、、，若的垂心为抛物线的焦点，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．
16．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点、、，若的垂心为的焦点，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
17．已知点在抛物线上，点是抛物线的焦点，线段的中点为．若点的坐标为，且是的垂心，则直线的方程_________；

18．如图，已知直线与抛物线相交于两点，，且．设动点P满足的垂心恰好是，记点C到直线AB距离为d，若，求实数的值．

19．已知点是抛物线上的一点，过点作两条直线与，分别与抛物线相交于异于点的两点．若直线的斜率为1且的垂心在轴上，则直线的方程___________．
.
20．在平面直角坐标系中，椭圆经过点，且点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为．若椭圆上存在两点，使得的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐标原点，则直线的方程________________．

21．已知抛物线：．若直线是经过定点的一条直线，且与抛物线交于，两点，过定点作的垂线与抛物线交于，两点，则四边形面积的最小值_________________．
22．已知分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限.记直线的斜率分别为，当取得最小值时，的垂心到轴的距离为______．
23．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，，．若的垂心为的焦点，且点在双曲线上，则双曲线的方程为________．
24．双曲线的渐近线与抛物线相交于，，，若的垂心为的焦点，则（    ）
A． B． C． D．
25．已知椭圆：的上顶点为B，右焦点为F，直线与椭圆交于两点，若椭圆的右焦点恰好为的垂心，则直线的方程为____________．
26．已知分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限.记直线的斜率分别为，当取得最小值时，的垂心到轴的距离为______．
27．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标_____________.
28．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________
29．设抛物线C：（）的焦点为F，已知P，Q，T为抛物线C上三个动点，且满足F为的重心，三边，，的中点分别为，，，分别过，，作抛物线C准线的垂线，垂足分别为，，，若，则（    ）
A．2 B．3
C．4 D．6
30．已知椭圆：的上顶点为B，右焦点为F，直线与椭圆交于两点，若椭圆的右焦点恰好为的垂心，则直线的方程为____________．

参考答案：
1．D
【解析】先根据题意，得到，，设直线的方程为，，，求出在点，处的切线方程，联立切线方程，得出点，根据题意，得到轴，得出的横坐标为，再由求出的纵坐标为，得出，结合基本不等式，即可得出结果.
【详解】椭圆的左右焦点为，，
由题意，易知直线的斜率存在，（若斜率不存在，则三点共线，不能构成三角形），设直线的方程为，，，
对两边同时求关于的导数，得，则，
则椭圆在点处的切线斜率为，
则椭圆在点处的切线方程为，
即，即；
同理，椭圆在点处的切线方程为，
由得，
则，
所以，即；
又的垂心为，则，，
即轴，则的横坐标也为，记的纵坐标为，
由得，所以，则，
因此，
因为过点，所以直线与椭圆必有两个交点，故且，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题，考查椭圆的切线方程，涉及基本不等式求最值，属于跨章节综合题.
2．A
【解析】根据三角形四种心的性质，即可得答案；
【详解】对B，若O为的内心，则到直线的距离等于，显然不可能，到直线的距离恒小于，故B错误；
对C，若O为的外心，则，，和已知矛盾，故B错误；
对D，若O为的重心，则，这也显然错误，故C错误；
根据排除法，O可能为的垂心，
故选：A.

【点睛】本题考查双曲线中三角形的几种心的性质，考查逻辑推理能力，求解时注意三角形各种心的定义.
3．
【详解】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,
解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,
抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,
所以， .
所以， .
考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.

4．
【分析】设直线方程为并代入椭圆方程，由，根据韦达定理求出参数，再结合三角形面积公式即可求出结果．
【详解】∵为的垂心，∴
又因为，∴，
设直线方程为，联立
得，
可得，即，且可得，
∵，∴，
即

解得或，
当时，三点共线（舍去），∴，此时，
，点到直线的距离．
∴．
故答案为：

5．
【分析】（1）当直线斜率不存在时，设，此时，由联立求解即可；
（2）当直线斜率存在时，设，，设直线方程为：，由AB⊥QT可得，
由BT⊥AQ可得，化简得（*），联立直线与椭圆，结合韦达定理可得，
即可代入（*）得，又，最后求解上述不等式即可.
【详解】（1）当直线斜率不存在时，设，
此时，则，∴，
又，联立解得或（舍去），∴.
（2）当直线斜率存在时，设，，设直线方程为：，
直线QT的斜率为，∵AB⊥QT，∴，即，
又∵BT⊥AQ，∴，即，（*）
联立化为，则，，
，∴，
，
代入（*）可得．
∴，解得，
综上可知：实数m的取值范围为．
故答案为：
【点睛】（1）直线需讨论斜率存在与否；
（2）三角形垂心成立，相当于满足两组高和底垂直即可，即可结合向量来表示；当使用到坐标时，可以联立直线与圆锥曲线，结合韦达定理来表示，最后还需满足
6．
【分析】设PQ直线y＝x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），，3x2+4mx+2m2﹣2＝0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．
【详解】上顶点，右焦点F为垂心
因为＝﹣1，且FM⊥l，
所以k1＝1，
所以设PQ直线y＝x+m，
且设P（x1，y1），Q（x2，y2）
由
消y，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0
△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，m2＜3．
y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2．
又F为△MPQ的垂心，
∴PF⊥MQ，∴
又
∴
∴，
∴
经检验满足m2＜3
∴存在满足条件直线l方程为：x﹣y+1＝0，3x﹣3y﹣4＝0
∵x﹣y+1＝0过M点 即MP重合 不构成三角形，
∴3x﹣3y﹣4＝0满足题意．
故答案为
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查垂心的几何性质，考查韦达定理的应用，属于中档题.
7．C
【分析】由题可得，利用向量垂直的坐标表示结合条件可得，进而即得.
【详解】由题可知，则双曲线的渐近线为，
则当时，，
设，
∵坐标原点恰为的垂心，
∴，即，
即，
则，即，
∵，
∴，即，
则离心率.
故选：C．
8．
【分析】由抛物线的对称性知A、B关于x轴对称，设出它们的坐标，利用三角形的垂心的性质，结合斜率之积等于﹣1即可求得直线MN的方程，即可求出点C的坐标，问题得以解决．
【详解】∵抛物线关于x轴对称，内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，三边上的高过焦点，
∴另两个顶点A，B关于x轴对称，即△ABO是等腰三角形，
作AO的中垂线MN，交x轴与C点，而Ox是AB的中垂线，
故C点即为△ABO的外接圆的圆心，OC是外接圆的半径，
设A（x1，2），B（x1，﹣2），连接BF，则BF⊥AO，
∵kBF，kAO，
∴kBF•kAO＝•1，
整理，得x1（x1﹣5）＝0，
则x1＝5，（x1＝0不合题意，舍去），
∵AO的中点为（，），且MN∥BF，
∴直线MN的方程为y（x），
当x1＝5代入得2x+4y﹣90，
∵C是MN与x轴的交点，
∴C（，0），
而△ABO的外接圆的半径OC，
于是得到三角形外接圆方程为（x）2+y2＝（）2，
△OAB的外接圆方程为：x2﹣9x+y2＝0，
故答案为x2﹣9x+y2＝0．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查了两直线垂直与斜率的关系，是中档题
9．
【分析】设，，由的垂心为，可得，则有，将坐标代入化简可求出，再由在椭圆上，代入椭圆方程结合，可可求出，从而可得椭圆方程.
【详解】设，．
由的垂心为，得．
所以，
化简得，解得．
由点在椭圆上，得，
结合，解得，．
所以椭圆的方程为．
故答案为：.
10．
【详解】抛物线的焦点为F(1，0).因F为△OAB的垂心，则OF⊥AB，
故可设A、B的坐标为.
于是OA的方程为ay=2x，.
BF的斜率，据，得，
因此，h=a2=5，所以.
故答案为：．
11．，
【分析】设垂心的坐标，根据条件，建立方程关系，即可求出的轨迹方程．
【详解】设，，连结，，
则，，是切线，
，，，
四边形是菱形．
，得，
又，满足，
所以，即是所求轨迹方程．

故答案为：，
12．B
【分析】由三角形垂心的性质，得，即，由此可得的离心率．
【详解】解：联立渐近线与抛物线方程得，，抛物线焦点为，
由三角形垂心的性质，得，即，
所以，所以，
所以，所以的离心率为．
故选B．
【点睛】本题考查双曲线的性质，联立方程组，根据三角形垂心的性质，得是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
13．
【分析】利用代入法，根据三角形垂心的性质，结合平面向量数量积的性质和坐标表示公式进行求解即可.
【详解】把代入中，得，即，
假设存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为，
设，显然直线的斜率为，
则直线的斜率为，设直线的方程是，
由，消去化简得：
，即∵的垂心为，
∴即
，或
当时，直线的方程是，过点，不合题意，舍去，
∴存在这样的直线，其方程是，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据三角形垂心的性质，结合平面向量数量积的性质是解题的关键.
14．C
【解析】设，解得，根据计算得到答案.
【详解】设，则 解得：，同理
，根据得到 解得
故选：
【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力.
15．A
【解析】设所在的直线方程为，则所在的直线方程为，联立，求得点的坐标，再根据是的垂心，由求解.
【详解】设所在的直线方程为，则所在的直线方程为，
解方程组得：，
则点的坐标为，
抛物线的焦点的坐标为，
∵是的垂心，
∴，
∴，即，
∴，
解得，
故选：A.
16．C
【分析】设点，则，其中，分析可知，求出、的值，可求得的值，再利用双曲线的离心率公式可求得双曲线的离心率的值.
【详解】易知点、关于轴对称，设点，则，其中，
抛物线的焦点为，则，，
由题意可知，解得，则，
所以，，
所以，双曲线的离心率为.
故选：C.
17．
【分析】根据给定条件，求出直线AB的斜率，并设出方程，再与的方程联立，借助韦达定理及向量垂直的坐标表示计算作答.
【详解】抛物线的焦点，则直线MF的斜率，而为的垂心，即有，直线AB的斜率为，
设的方程为，由消去y并整理得：，
于是得，，，，，
由得，
，解得，而，则有，
所以直线的方程为.
故答案为：
18．或
【分析】先求，由是的垂心，得，且，即，设,，得，同理由可得：，则,，,是方程的两组解，故此方程表示直线，再计算，由，解得，即可得出答案．
【详解】解：设,，,，

则，．
点C到直线AB距离为，
因为是的垂心，
所以，且．
由得，即①．
设,，则②，
又，，
所以③，
由①②③得：，
即，
同理：由可得：．
所以,，,是方程的两组解，
故此方程表示直线．
又因为直线，
所以，，
解得：，．
所以．
所以．
①当时，，
解得．
②当时，，
解得．
综上所述：或．
19．
【分析】先联立直线与抛物线方程后结合韦达定理得到，，同时由得，再由条件求得直线的方程，进而求出的坐标，接着根据及斜率公式，代入整理得，从而求得直线的方程．
【详解】据题题意，如图，设，直线的方程为，
联立，消去，得，
所以，，且，即，
又因为，，所以由得，
所以直线PH的方程是，令，得，故，
再由得，即，
将，代入，得，
再将，代入，整理可得：，
解得：或（舍去），故直线AB的方程为，即．
故答案为：.
.
20．
【分析】根据题意列式求出，即可得出椭圆方程，再设，，根据题意，得到，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据判别式，以及根与系数关系，由题意，得到，求出，即可得出结果．
【详解】由题意，得，解得，∴椭圆的方程为．
设，．∵，而，∴，
故可设直线的方程为．
联立，得，
首先，由得，解得．（*）且，．
又，∴，得，
即，整理得，，
∴，
即，解得或（均适合（*）式）．
当时，直线恰好经过点，不能构成三角形，不合题意，故舍去．
∴直线的方程为．
21．20
【分析】设直线的方程为（），设，，将直线方程与抛物线方程联立，化简利用根与系数的关系结弦长公式表示出，同理表示出，从而可求出四边形面积的，再换元求函数的最小值．
【详解】设直线的方程为（），设，，
联立，得，则，，
所以，
设，，同理得，
则四边形的面积 ，
令，则，
因为，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
因为在上为增函数，
所以当，即，时，取得最小值，
即四边形面积的最小值为20，
故答案为：20
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，解答本题的关键有二，其一是求出四边形面积的表达式，其二利用换元法求的最小值，考查数学计算能力，属于较难题．
22．
【分析】易证，利用基本不等式求解取最小值时，进而得的方程为，与双曲线联立解得的坐标为由，得=0，向量坐标化解得y即可
【详解】易证，则，当且仅当，即时，等号成立，此时直线的方程为，与联立，得，解得或（舍去），则的坐标为，设的垂心的坐标为，由，得，解得，则到轴的距离为.
故答案为2
【点睛】本题考查双曲线的综合，考察抽象概括能力与运算求解能力，掌握双曲线的常见二级结论，转化垂心为垂直关系是关键，是中档题
23．
【分析】首先求出、的坐标，依题意可得，即可得到，再根据点在双曲线上，求出、，即可求出双曲线方程；
【详解】解：双曲线的渐近线为，
由，解得或，所以，
由，解得或，所以．
∵为的垂心，，即，解得，
∵点双曲线上，即，∴，即双曲线方程为；
故答案为：
24．C
【解析】设，解得，根据计算得到答案.
【详解】设，则 解得：，同理
，根据得到 解得
故选：
【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力.
25．．
【分析】求出直线的斜率为，设出直线的方程为，与椭圆方程联立得到两根之和，两根之积，根据恰好为的垂心，故，列出方程，求出：或，经检验满足要求.
【详解】易知，，直线的斜率为，从而直线的斜率为．
设直线的方程为，，，
由得．
根据韦达定理，，，
由于右焦点恰好为的垂心，故，
于是

，解之得：或．
当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意；
当时，经检验知和椭圆相交，符合题意．
∴当且仅当直线的方程为时，点是的垂心．
故答案为：
26．
【分析】易证，利用基本不等式求解取最小值时，进而得的方程为，与双曲线联立解得的坐标为由，得=0，向量坐标化解得y即可
【详解】易证，则，当且仅当，即时，等号成立，此时直线的方程为，与联立，得，解得或（舍去），则的坐标为，设的垂心的坐标为，由，得，解得，则到轴的距离为.
故答案为2
【点睛】本题考查双曲线的综合，考察抽象概括能力与运算求解能力，掌握双曲线的常见二级结论，转化垂心为垂直关系是关键，是中档题
27．
【解析】设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标.
【详解】设，由重心坐标公式得，的重心为,
代入欧拉线方程得：,整理得：  ①
的中点为，，
的中垂线方程为，即．
联立，解得.．
的外心为．
则，
整理得：  ②
联立①②得：或．
当时重合，舍去．
∴顶点的坐标是．
【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.
28．
【详解】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,
解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,
抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,
所以， .
所以， .
考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.

29．C
【分析】设P，Q，T的横坐标分别为，，，过点P，Q作抛物线C准线的垂线，垂足分别为
，，运用梯形中位线定理，结合抛物线的定义求出的表达式，同理求出的表达式，最后利用已知进行求解即可.
【详解】设P，Q，T的横坐标分别为，，，过点P，Q作抛物线C准线的垂线，垂足分别为
，，在梯形中，，由抛物线定义知，，故.
同理可知，，
故.再由焦半径公式可得
，又，故，解得.
故选：C

【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了梯形中位线定理，考查了数学运算能力.
30．．
【分析】求出直线的斜率为，设出直线的方程为，与椭圆方程联立得到两根之和，两根之积，根据恰好为的垂心，故，列出方程，求出：或，经检验满足要求.
【详解】易知，，直线的斜率为，从而直线的斜率为．
设直线的方程为，，，
由得．
根据韦达定理，，，
由于右焦点恰好为的垂心，故，
于是

，解之得：或．
当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意；
当时，经检验知和椭圆相交，符合题意．
∴当且仅当直线的方程为时，点是的垂心．
故答案为：