专题27 圆锥曲线与四心问题 微点5 圆锥曲线与四心问题综合训练试题及答案

这是一份专题27 圆锥曲线与四心问题 微点5 圆锥曲线与四心问题综合训练试题及答案，共43页。学案主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题27 圆锥曲线与四心问题 微点5 圆锥曲线与四心问题综合训练
专题27 圆锥曲线与四心问题
微点5 圆锥曲线与四心问题综合训练
一、单选题
1．已知椭圆：，过其左焦点作直线l交椭圆于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B.若G点为的外心，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．以上都不对
（2022·河南·高三期末）
2．已知双曲线M：的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（    ）
A． B． C． D．
3．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（    ）
A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x
4．双曲线的渐近线与抛物线交于点，若抛物线的焦点恰为的内心，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
5．已知A、B是抛物线的两点，为坐标原点，若且的内心恰是此抛物线的焦点，则直线的方程是（    ）
A． B．
C． D．
6．已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为(    )
A．4 B． C． D．
（2022·甘肃酒泉·模拟预测）
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为右支上一点，若的重心为，则的离心率为（    ）
A． B．2 C． D．3
（2022·江西南昌·三模）
8．已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（    ）
A． B．2 C．3 D．4
9．已知点是双曲线的左焦点，直线与该双曲线交于两点，，则的重心到轴的距离为（    ）
A．1 B．4 C．3 D．2
（2022·湖南·永州市第一中学高三期末）
10．若双曲线的实轴的一个端点是由双曲线的一个焦点和虚轴的两个端点所构成的三角形的重心，则该双曲线的离心率为（    ）
A．3 B．2 C． D．
11．记椭圆：的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，，，处的切线交于点，设的垂心为，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
（2022·山东临沂·模拟预测）
12．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2022·福建三明·三模）
13．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（    ）
A． B． C． D．
14．已知的三个顶点均在抛物线上，则下列命题正确的有（    ）
A．若直线BC过点，则存在点A使为直角三角形；
B．若直线BC过点，则存在使抛物线的焦点恰为的重心；
C．存在，使抛物线的焦点恰为的外心；
D．若边AC的中线轴，，则的面积为
（2022·湖北·武汉二中模拟预测）
15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，点双曲线C右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（    ）
A．若，则S＝
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为
（2022·福建·模拟预测）
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为
17．双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（    ）
A．外心的轨迹是一条直线
B．当变化时，外心的轨迹方程为
C．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上
D．若分别是中点，则的外接圆过定点
三、填空题
18．已知椭圆的下顶点为，若直线与椭圆交于不同的两点、，则当_____时，外心的横坐标最大．
19．已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A，椭圆的左右焦点分别为B、C，T为△ABC的外心，则的值为_____.
20．若椭圆的一个焦点是其三个顶点构成的三角形的垂心，则椭圆的离心率e=__________．
（2022·甘肃·张掖市第二中学高三月考）
21．已知椭圆的上顶点为，直线与该椭圆交于两点，且点恰为的垂心，则直线的方程为______ .
（2022·四川雅安·三模）
22．已知椭圆的左右焦点分别为，P为C上异于左右顶点的一点，M为内心，若，则该椭圆的离心率是________．
（2017·四川·绵阳南山中学实验学校高二期中）
23．给出下列命题：
①直线的倾斜角是；
②已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则有；
③已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则的内心始终在一条直线上．
其中所有正确命题的序号为___________．
24．已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为__________．
（2022·上海·同济大学第一附属中学高三月考）
25．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若线段长为，为坐标原点，则的重心横坐标为______．
（2022·辽宁沈阳·三模）
26．已知三点在抛物线上，且的重心恰好为抛物线的焦点，则的三条中线的长度的和为_______．
（2022·浙江·高三月考）
27．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则___________，若“黄金椭圆”两个焦点分别为、，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则___________．
（2022·安徽黄山·一模）
28．在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足，当 且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线， 分别为双曲线的左､右焦点，A，B为双曲线虚轴的上､下端点，动点P满足， 面积的最大值为4.点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足 ，则双曲线方程是 ______________ ；过的直线与双曲线右支交于C，D两点(其中C点在第一象限)，设点､分别为 ､的内心，则的范围是 ____________ .
四、解答题
（2022·山东师范大学附中高三期中）
29．已知椭圆的左焦点为F，过F的直线与椭圆在第一象限交于M点，O为坐标原点，三角形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若的三个顶点A，B，C都在椭圆上，且O为的重心，判断的面积是否为定值，并说明理由．
30．如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上.

（1）求的值及抛物线的准线方程 ；
（2）若点为三角形的重心，求线段的长度.
31．已知椭圆，经过拋物线的焦点的直线与交于两点，在点处的切线交于两点，如图.

(1)当直线垂直轴时，，求的准线方程；
(2)若三角形的重心在轴上，且，求的取值范围.
（2022·浙江·宁波市北仑中学高一期中）
32．已知抛物线上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大.

(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线上，求三角形ABP面积的最大值.
（2022·浙江·高三开学考试）
33．已知椭圆C：的右焦点为，离心率为为椭圆的任意内接三角形，点为的外心.

(1)求的方程；
(2)记直线的斜率分别为，且斜率均存在.求证：.
34．如图，椭圆：的离心率为，，分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于点，，是椭圆上不与，重合的动点，是坐标原点．

(1)若是△的外心，，求的值；
(2)若是△的重心，求的取值范围．
35．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是右支上一点，若I为的内心，且.
(1)求的方程；
(2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，且轴，在点P处的切线l与直线相交于点M，与直线相交于点N.证明：无论点P怎么变动，总有.





参考答案：
1．C
【分析】设出直线方程，联立椭圆方程得到韦达定理，结合外心的性质，求得点的坐标，再用弦长公式求得，再求结果即可.
【详解】根据题意可得，显然直线的斜率存在，故可设其方程为，
联立椭圆方程可得：，设，
故，，，
故，
设的中点为，则其坐标为，
显然轴垂直平分，故可设，又直线方程为：，
令，解得，故，
故.
故选：C.
2．C
【分析】根据双曲线的离心率可得双曲线的两条渐近线是互相垂直的，然后利用双曲线经过的外心，同时结合双曲线的对称性和直角三角形的外心特点，通过的面积建立方程，然后解出方程即可
【详解】离心率为，则有：
又有：可得：，此时两条渐近线垂直，即，且直线和直线均与轴的夹角均为
则的外心为在线段的中点
若双曲线M经过点，根据双曲线的对称性可知：当且仅当轴时，且点为双曲线的顶点
此时有：，
的面积为12，则有：
解得：
故双曲线的实轴长为：
故选：C
3．D
【分析】由M是三角形外心可得，根据圆周角与圆心角关系得∠F1PF2＝，根据余弦定理、双曲线的定义得，由三角形面积公式，即可确定的数量关系，写出渐近线方程即可.
【详解】由△PF1F2的外心M，知：，
∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，
在△中，，而，
∴，即，
∴，而，
∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：利用外接圆的性质求∠F1PF2，由余弦定理、双曲线的定义及三角形面积公式求焦点三角形的面积，进而确定双曲线参数的数量关系.
4．D
【解析】作出圆锥曲线的大致图像，利用抛物线的焦点到渐近线的距离等于到的距离，列方程即可求解.
【详解】作出双曲线与抛物线的大致图像，
如图：

双曲线的渐近线方程为：，即，
联立，解得或，
当时，则，
所以焦点到的距离为，
焦点到渐近线的距离为，
所以，整理可得，
即，整理可得，
两边同除以可得，
，
又，即，解得.
故选：D
【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查了考生的计算能力，属于中档题.
5．C
【分析】由题意可知A、B两点关于轴对称，若令点A在轴上方，坐标为（），则，由于的内心恰是此抛物线的焦点，所以由三角形角平分线的性质得,即,从而可求得答案
【详解】因为A、B是抛物线的两点，为坐标原点， ，
所以A、B两点关于轴对称，
设点A在轴上方，坐标为（），则，
所以,
设交轴于点,则,
因为,所以,
因为的内心恰是此抛物线的焦点，
所以平分，
所以由三角形角平分线的性质得,即，
化简得, ,
解得,
因为,所以,
所以直线的方程为
故选：C.
6．A
【分析】首先根据点是的外心,外心是三角形各边垂直平分线的交点,再结合向量运算的几何意义可以判断出点恰好就是椭圆上顶点.
【详解】由于外心在的垂直平分线上,故外心在轴上,
而方向朝着轴的负半轴,
故点位于椭圆的上顶点,
此时三角形面积为.
所以,
故选:.
7．B
【分析】依据题意列方程分别求得a、c的值，即可求得的离心率
【详解】双曲线的左、右焦点，，
设P点坐标为，则由的重心为，可得，
把P点坐标代入双曲线C的方程，解之得．又，则．
所以可得双曲线C的离心率为
故选：B．
8．B
【分析】由重心坐标求得I的坐标，再利用圆的切线长定理和双曲线的定义得到G的坐标，再根据与轴平行，由求解.
【详解】解：如图所示：

由题意得：，
则，
由圆的切线长定理和双曲线的定义得，
所以，则，
因为与轴平行，
所以，即，
则，即，
解得，
故选：B
9．C
【分析】联立直线和双曲线方程，结合韦达定理和三角形的重心公式，转化为解的重心到轴的距离即可.
【详解】解：由题意得：
不妨设，
联立双曲线方程与直线方程
消去得: ，故
因为，所以点到轴的距离为．
故选：C
10．A
【分析】由平面几何知识及重心的性质可得出 ，根据双曲线的离心率公式计算可得选项.
【详解】解：由题意可知三角形的三个顶点为虚轴的两个端点和双曲线的一个焦点，实轴的一个端点是该三角形的重心，则，所以.
故选：A.
11．D
【解析】先根据题意，得到，，设直线的方程为，，，求出在点，处的切线方程，联立切线方程，得出点，根据题意，得到轴，得出的横坐标为，再由求出的纵坐标为，得出，结合基本不等式，即可得出结果.
【详解】椭圆的左右焦点为，，
由题意，易知直线的斜率存在，（若斜率不存在，则三点共线，不能构成三角形），设直线的方程为，，，
对两边同时求关于的导数，得，则，
则椭圆在点处的切线斜率为，
则椭圆在点处的切线方程为，
即，即；
同理，椭圆在点处的切线方程为，
由得，
则，
所以，即；
又的垂心为，则，，
即轴，则的横坐标也为，记的纵坐标为，
由得，所以，则，
因此，
因为过点，所以直线与椭圆必有两个交点，故且，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题，考查椭圆的切线方程，涉及基本不等式求最值，属于跨章节综合题.
12．A
【分析】由双曲线的渐近线方程与抛物联立，求得A的坐标，然后根据的垂心为的焦点，由求解
【详解】解：如图所示：

双曲线的渐近线方程为，与抛物线联立，解得或，
所以，，
因为的垂心为的焦点，
所以，
即，即，
所以，
故选：A
13．ABD
【分析】设，分别与两条渐近线和轴联立求出的坐标，求出、、，再分类讨论重心、垂心和外心，并根据重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半列式求出的关系，再根据离心率公式可求出结果.
【详解】设，
由，得，得，
由，得，得，
由，得，得，
，
，
，
若为重心、为外心、为垂心，则，
所以，化简得，此时双曲线的离心率，
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得不成立；
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得，此时双曲线的离心率，
若为重心，为垂心、为外心，则，
，化简得，此时双曲线的离心率；
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得或，
此时双曲线的离心率或，
若为重心，为垂心、为外心，则，
所以，化简得或都不成立.
综上所述：或或或.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的关键是得到的等量关系，求出三个交点坐标后，分类讨论重心、垂心和外心，根据重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半可得所要的等量关系..
14．AB
【分析】对于A，当直线BC过点，可证，即可得出结论为正确；对于B，设出直线BC方程，与抛物线联立，利用韦达定理，求出坐标和，再利用重心坐标公式，求出A点坐标，代入抛物线方程，即可得出结论；对于C，判断以焦点为圆心的圆与抛物线是否有三个交点；对于D，设AC方程与抛物线联立，利用韦达定理，求出AC中点坐标，然后转化为B点坐标，将B点坐标代入抛物线方程，求出的面积，即可判断结论是否正确.
【详解】设三点坐标分别为，
A选项，直线BC过点，设BC方程为，
联立，消去x得，，
，
，
，
所以，而点O在抛物线上，故A正确；
B选项，直线BC过点，设BC方程为，
联立，消去x，得，，
抛物线的焦点恰为的重心，
，，
将A点坐标代入抛物线方程，则，所以，
当时，，故B正确；
C选项，设以抛物线焦点为圆心的圆半径为r，
其方程为，与抛物线方程联立得：，，
方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点，
不存在，使抛物线的焦点恰为的外心，故C不正确；
D选项，AC的方程为，代入抛物线方程得，
，
，
设AC中点轴，，
，代入抛物线方程得，
，
，
故D不正确.
故选：AB.
【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
15．ACD
【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式求解，对于B，由焦点三角形的面积公式求出，再由以双曲线的定义和勾股定理列方程组可求得结果，对于C，当为直角三角形时，求出临界值进行判断，对于D，利用相关点法结合重心坐标公式求解
【详解】由，得，则
焦点三角形的面积公式，将代入可知，故A正确．
当S＝4时，，由，可得，故 B错误．
当时，S＝4，当时，，因为为锐角三角形，所以，故C正确．
设，则，由题设知，则，所以，故D正确．
故选：ACD
16．ACD
【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式求解，对于B，由焦点三角形的面积公式求出，再由以双曲线的定义和勾股定理列方程组可求得结果，对于C，当为直角三角形时，求出临界值进行判断，对于D，利用相关点法结合重心坐标公式求解
【详解】解：对A，根据焦点三角形的面积公式：，
将代入可得：，故A正确；
对 B，当时，即，
即，
又，
故，
由，
即
解得：，故B错误；
对 C，当时，，
当时，，
，故C正确；
对 D，设，，
则，
由题设知，
则，
，故D正确.
故选：ACD.
17．AD
【分析】根据圆的性质，结合双曲线的渐近线方程、直线斜率的公式，通过解方程（组）、运用夹角公式逐一判断即可.
【详解】因为已知的内心到轴的距离为1，双曲线的虚轴长为2，
所以的内心横坐标，双曲线方程：，，渐近线.
设.
当点在双曲线上时：
设直线与双曲线交两点
  

当直线与双曲线相切时，此时切点满足：

切线
设直线与渐近线交两点
  

切点正是线段的中点，
∴；线段中垂线是.
中垂线与轴交于点，且.
可设
一方面，；另一方面，线段中点是


考虑到
∴
，点    确系之外心！其轨迹是直线.选项A正确！
依（1）设
线段中点是
线段中垂线是，即
线段中垂线是，即
∴
，即外心的轨迹方程为.故选项B错！
（3）对来讲，若垂心在渐近线上可设坐标是，进而
化简得



∴
把代入并化简得：

考虑到不在渐近线上得，故
∴，这不可能！垂心不能在上，同理不能在上，选项C错误；
（4）设



共圆！
的外接圆过定点原点，选项D对.
故选：AD
【点睛】关键点睛：正确地进行数学运算，应用夹角公式是解题的关键.
18．
【分析】由已知可得、的坐标，求得的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标，再由导数求最值．
【详解】如图，

由已知条件可知，不妨设，则外心在的垂直平分线上，
即在直线，也就是在直线上，
联立，得或，
的中点坐标为，
则的垂直平分线方程为，
把代入上式，得，
当的外心的横坐标取最大值时，必有，
令，则，
由，得（舍）或．
当时，，当时，.
当时，函数取极大值，亦为最大值．
故答案为：.
【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题．
19．16.
【分析】由已知可得两曲线焦点相同，设，利用椭圆和双曲线的定义求出，用利用两点间的距离公式求出点的横坐标，因为为中点，△ABC的外心在轴上，将，代入所求式，即可求解.
【详解】已知椭圆和双曲线
焦距相等所以焦点相同，设，
为两曲线在第二象限的交点，，
，，
设，，

，
，因为为中点，
△ABC的外心在轴上，，

【点睛】本题考查求椭圆与双曲线交点的坐标，考查向量数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.
20．
【详解】设F（C，0）是椭圆的一个焦点，它是椭圆三个顶点、、构成的三角形的垂心，如图.由，有
.

21．
【分析】设PQ直线y＝x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），，3x2+4mx+2m2﹣2＝0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．
【详解】上顶点，右焦点F为垂心
因为＝﹣1，且FM⊥l，
所以k1＝1，
所以设PQ直线y＝x+m，
且设P（x1，y1），Q（x2，y2）
由
消y，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0
△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，m2＜3．
y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2．
又F为△MPQ的垂心，
∴PF⊥MQ，∴
又
∴
∴，
∴
经检验满足m2＜3
∴存在满足条件直线l方程为：x﹣y+1＝0，3x﹣3y﹣4＝0
∵x﹣y+1＝0过M点 即MP重合 不构成三角形，
∴3x﹣3y﹣4＝0满足题意．
故答案为
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查垂心的几何性质，考查韦达定理的应用，属于中档题.
22．
【分析】设，由已知可得，利用的面积建立关系即可求出.
【详解】设，可得，
则,
因为，
所以，
则可得，则内切圆半径为，
由椭圆定义可得，又，
所以，
即，则可得，所以离心率为.
故答案为：.
23．②③
【分析】对于①，其解题的关键是正确地理解直线的倾斜角与斜率之间的关系；对于②，其解题的难点是能推出的分析与应用；对于③，其解题的关键是正确地运用双曲线的简单几何性质和定义对其进行求解．
【详解】对于①，因为直线，所以其斜率为，所以，
所以，即①是错误的；
对于②，设过抛物线焦点的直线为，
于是联立直线与抛物线的方程并整理可得：，
所以由韦达定理可得进而得出，即②是正确的；
对于③，设的内切圆分别与切于点，与切于点，
则，，，
又因为点在双曲线的右支上，所以，
即，所以，
而，设点，因为，
所以，即，
又因为内切圆的圆心与点的连线垂直于轴，
所以的内心始终在一条直线上，
所以③是正确的．

故答案为:②③．
24．4
【分析】根据向量的共线定理即可求得则三点共线，则P位于上顶点，则，根据基本不等式的性质，即可求得的最小值．
【详解】由是的外心，则在轴的正半轴上，，
则，
则三点共线，即位于上顶点，
则的面积，
由，则，当且仅当时取等号，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
25．
【分析】由抛物线焦点弦长公式可求得，根据重心坐标公式可得结果.
【详解】由抛物线方程知：，设，，
直线过焦点，，解得：，
重心横坐标.
故答案为：.
26．9
【分析】利用抛物线的定义及三角形重心的性质，求解即可.
【详解】设，由抛物线方程为，所以焦点，
由的重心为知，
由抛物线定义可得，
由重心的性质可知，中线的长度和为
故答案为：9
27．     ##     ##
【分析】由离心率的定义可求得，利用结合椭圆定义可求解．
【详解】由题，，所以．

如图，连接，设内切圆半径为，
则，即，
，
∴，
∴
∴，
∴．
故答案为：；．
28．         
【解析】设，根据，求得，结合的最大面积得到，再根据，得出，设边上的切点分别为，根据内心的性质，得到轴，设直线的倾斜角为，在中，得到，进而求得的取值范围.
【详解】设，
由题意知，可得，即，
整理得，可得圆心为，半径，
所以的最大面积为，解得，即，
设，则，
则，可得，同理
则，则，
整理得，所以双曲线的方程为.
如图所示，设边上的切点分别为，
则横坐标相等，则，
由，即，即，
即，即点的横坐标为，则，
于是，可得，
同样内心的横坐标也为，则轴，
设直线的倾斜角为，则，
在中，
，
由双曲线的方程，可得，则，
可得，
又由直线为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为，倾斜角为，
可得，即，
可得的取值范围是.
故答案为：；.

【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
29．（1）；（2）是定值，理由见解析.
【分析】（1）由直线过左焦点写出左焦点坐标，得参数c、右焦点坐标，又由三角形面积，求M坐标，即可确定△为直角三角形，进而求，根据椭圆定义求参数a，写出椭圆方程即可.
（2）讨论直线的斜率：当不存在时，设直线：，，，由重心坐标的性质求A坐标，由A在椭圆上求，求；当存在时，设直线：，，，联立直线与抛物线方程结合韦达定理求，，即得，由重心坐标的性质确定A的坐标，由A在椭圆上得，结弦长公式、点线距离公式求、A到直线的距离d，求，即可判断是否为定值.
【详解】（1）直线过左焦点F，则有，所以且右焦点，
又，得，代入直线方程有，所以.
∴△为直角三角形且，
由椭圆定义，知：，即，
∴椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，若，则，
∵O为的重心，可知，代入椭圆方程，得，即有，A到BC的距离为，
∴，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，
由，得，显然，
∴，，则，
∵O为的重心，可知，由A在椭圆上，得，化简得，
∴，
由重心的性质知：A到直线的距离d等于O到直线距离的3倍，即，
∴，
综上得，的面积为定值．
【点睛】关键点点睛：第二问，若三角形顶点坐标分别为，则其重心坐标为求A点坐标，再根据A在椭圆上，求相关参数值或确定参数关系.
30．（1），；（2）6.
【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标求得p，从而可得抛物线方程和准线方程；
（2）设过的直线方程为，，，，，，，联立直线和抛物线可得，利用韦达定理可求得，从而求得k，再利用抛物线的弦长公式即可得解.
【详解】解：（1）点为抛物线的焦点，即，即，
抛物线的方程为，准线方程为；
（2）根据题意可知直线AB的斜率存在，

设过的直线方程为，，，，，，，
即有，，，
联立直线和抛物线可得，
可得，，
因为，,即，
所以
即,
则.
31．(1)x=-1；
(2)


【分析】(1)根据抛物线的性质可得，根据题意可得，将点P的坐标代入抛物线方程求出p的值即可；
(2)根据题意设，，由导数的几何意义求出直线PB的斜率进而表示出方程，联立椭圆方程并消去x，利用韦达定理求出，根据三角形的重心可得，列出方程并解之得出，利用抛物线的定义表示，结合换元法化简计算即可.
（1）
由知，，
当直线PF垂直于x轴时，由，得，
有，
所以的准线方程为：，即；
（2）
由题意知，，设直线，，
则，，
，
由，即直线PB的斜率为，
所以直线PB的方程为：，即，
，
，又G为的重心，且G在x轴上，故，
所以，又，所以，
整理，得，解得，

①，令，则，
所以①式②，
令，则，
所以②式，
故的取值范围为.
【点睛】解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、曲线的条件；
(2)强化有关直线与 联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积和取值范围等问题．
32．(1)；
(2).

【分析】（1）根据题意，抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等，然后根据抛物线的定义即可求得答案.
（2）设动点，切点，，进而设出切线方程并代入抛物线方程，结合判别式法和点G在直线上得到的关系，然后取线段AB的中点Q，求出点Q的坐标，最后根据求得答案.
（1）
根据题意，抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义可知：，，抛物线C的方程为.
（2）
设动点，切点，.
设过A的切线PA方程为，与抛物线方程联立，
消去x整理得，，所以，
所以切线PA方程为，同理可得切线PB方程为，
联立解得两切线的交点，所以有.
因为，
又G在定直线，所以有，即P的轨迹为，
因为P在抛物线外，所以.

如图，取AB中点Q，则，
所以，因为，
所以，所以，所以当时，.
【点睛】本题第（2）问运算量大，一定要注意对根与系数的关系的应用，另外本题为什么要取点Q，一方面是受点G为三角形的重心的影响，另一方面是为了处理三角形的面积，即有，平常一定要多加训练，培养自己做题的感觉.
33．(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）利用右焦点、离心率求出即得解；
（2）设A，求出即得证.
【详解】（1）解：由椭圆的右焦点为，离心率为得. 所以.
所以椭圆的方程为.
（2）证明：设A，则.
设的外接圆方程为，
得，
两式相减得，
因为，所以，
同理：.
两式相减得：，于是：
所以
将代入得：
因为
所以
所以得证.
34．(1)
(2)

【分析】（1）由椭圆和圆的对称性得轴，再由得出的关系式，得离心率．
（2）设，直线方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得，由直线方程得，利用重心坐标公式得，此坐标代入椭圆方程，设换元，注意利用转换，得关于的二次方程需有正数解．从而得的范围．
（1）
由椭圆与圆的对称性知，轴，是椭圆内接矩形的三个顶点，
则，，或．
又，所以，，（舍去负值），
所以；
（2）
设，直线方程为，
由得，
，，
，
是的重心，，，
所以，，
在椭圆上，则，
设，则
，由得
，该方程在上有解，
若，方程为，无正数解；
，，
所以或，
解得．
综上，．
【点睛】本题考查求椭圆离心率及其取值范围．考查直线与椭圆的位置关系，第（2）小题解题方法是设交点坐标，设直线方程代入椭圆方程应用韦达定理，从而可得第三点的坐标，再回代入椭圆方程得出一个等式，解题难点是换元，，转换为关于的方程有正数解，利用二次方程根的分布知识可得（注意讨论最高次项系数）．考查了转化与化归思想，运算求解能力．属于难题．
35．(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）根据三角形面积公式及双曲线定义化简可得，求出即可得出方程；
（2）利用导数的几何意义求出切线斜率并化简可得，求出切线及切线与直线的交点，利用两点间距离公式并结合双曲线方程化简可得.
（1）
设的内切圆半径为r，
则，
因为，
所以，
即，可得，
所以，
由双曲线的定义和几何性质，得，
又，解得，
所以的方程为.
（2）
由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为.
由可得
由题意知.
若点P在双曲线右支的上半支上，则
所以，故
因为, 所以,
若点P在双曲线右支的下半支上，则
同理可得
综上，，代入直线l的方程得,
即，
由，可得，
所以直线l的方程为, 即
因为直线的方程为x=2，
所以直线l与直线的交点,
直线l与直线的交点
所以,

，
即得证.