专题21 抛物线的焦点弦 微点2 抛物线的焦点弦常用结论及其应用综合训练

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专题21 抛物线的焦点弦 微点2 抛物线的焦点弦常用结论及其应用综合训练
专题21  抛物线的焦点弦
微点2  抛物线的焦点弦常用结论及其应用综合训练
一、单选题
1．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（    ）
A． B．8 C．12 D．
2．抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（    ）
A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．无法确定
（2022·山西太原·二模）
3．过抛物线焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若，，则的值为（    ）
A． B． C．或3 D．或2
4．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为(    )
A．2 B． C．1 D．
（2022·江苏·高二）
5．己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（    ）
A．24 B．22 C．20 D．16
6．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（    ）
A． B．4 C． D．2
（2022全国·高二月考）
7．已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（    ）
A． B． C． D．
（2022辽宁·高二月考）
8．已知抛物线方程为，O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B的纵坐标之积为－8，且，则的面积是（    ）
A． B． C． D．
（2022·广西梧州·高二期末）
9．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（    ）
A．4 B．3 C． D．
10．阿基米德（公元前287年---212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）△为直角三角形，且;（3）.若经过抛物线焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（    ）
A．x-2y-1=0 B．2x+y-2=0
C．x+2y-1=0 D．2x-y-2=0
11．抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过，，作抛物线的准线的垂线，，，垂足分别是，，，其中交抛物线于点.下列说法不正确的是
A． B．
C．是线段的一个三等分点 D．
（2022·山西吕梁·模拟预测）
12．已知抛物线：的焦点为F，C的准线与对称轴交于点D，过D的直线l与C交于A，B两点，且，若FB为∠DFA的角平分线，则（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）
13．已知抛物线的焦点为F，准线l与y轴的交点为D，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，下列结论正确的是（    ）
A．存在点A，B，使 B．的最小值为4
C．平分 D．若点是弦的中点，则直线m的方程为
（2022·云南昆明·高二期末）
14．已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于、两点（点位于第一象限），与的准线交于点，为线段的中点，准线与轴的交点为，则（    ）
A．直的斜率为 B．
C． D．直线与的倾斜角互补
（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）
15．已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（    ）
A．
B．
C．若为抛物线上的动点，，则
D．若为抛物线上的点，则
（2022·辽宁朝阳·高二期末）
16．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，则下列结论正确的是（    ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．若，则直线的斜率为
C．若为坐标原点，则三点共线
D．
三、填空题
（2022·河北沧州·二模）
17．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与交于两点（点在轴上方），过分别作的垂线，垂足分别为，连接.若，则直线的斜率为__________.
（2022·浙江·温州中学高二期末）
18．抛物线的焦点为，准线为是抛物线上过焦点的一条直线，且倾斜角为.求线段的值是___________.
（2022·河南·封丘一中高二期末）
19．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过E上一点A作l的垂线，垂足为M，线段AF的中点为N，若，则___________.
（2022·山东潍坊·三模）
20．已知是抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于，两点，且的最小值是64，则抛物线的方程为______．
（2022·山东省实验中学模拟预测）
21．已知圆，定点，动点Q满足以为直径的圆与y轴相切．过点F的直线l与动点Q的轨迹E，圆C顺次交于A，M，N，B四点．则的最小值为________．
（2022·江苏省天一中学高二期中）
22．设抛物线的焦点为F，过焦点的弦为AB，若均为整数，则弦AB的长度为____________．
四、解答题
（2022·河南·模拟预测）
23．已知抛物线的焦点为F，过F且不垂直于x轴的直线l交C于A，B两点，且当l的倾斜角为时，．
(1)求C的方程；
(2)设P为x轴上一点，且，证明：的外接圆过定点．
（2022·河南·模拟预测）
24．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点．
(1)当l的倾斜角为时，若，求；
(2)设点，且，求l的方程．
（2022·全国·模拟预测）
25．直线l：kx－y－k＝0过抛物线C：的焦点F，且与C交于不同的两点A，B．
(1)若，，成等差数列，求实数k的值；
(2)试判断在x轴上存在多少个点，总在以AB为直径的圆上．







参考答案：
1．B
【分析】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.
【详解】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，可得，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为．
故选：B．
2．A
【分析】根据抛物线的定义可得焦点弦，，联立过焦点的直线方程和抛物线方程，根据韦达定理即可求解.
【详解】抛物线的焦点，准线x＝－1，
设，把它代入得，
设，，则，由抛物线定义可得，，
∴，，
∴m＋n＝mn．
故选:A
3．D
【分析】直接根据抛物线中切点弦的性质即可得结论.
【详解】在抛物线中，由焦点弦的性质可得，
解得或，
所以或，
故选：D.
4．B
【分析】求出M坐标及直线AM的方程，根据圆的弦长公式即可求解．
【详解】由题知，，，，
∵轴，∴，根据抛物线对称性，不妨取，
则，
原点O到直线AM的距离为：，
∴以为直径的圆截直线所得的弦长为：﹒
故选：B﹒
5．A
【分析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式计算可得.
【详解】设直线，的斜率分别为，
由抛物线的性质可得，，
所以，
又因为，所以，
所以，
故选：A.
6．A
【分析】利用抛物线的定义结合条件可得，，进而可得.
【详解】法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，

则，，
因为，
所以，所以，所以，
所以，，
所以.
因为，
所以，
解得，所以，点F到AM的距离为，
所以.
法二：因为，
所以，所以，即.
连接FM，又，
所以为等边三角形.
易得，所以.
故选：A.
7．D
【分析】分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，求得，从而根据求得，，，进而求得.
【详解】如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，

由抛物线定义知，，又F为PB.中点，
则，，
则，，，
则
故选：D
8．D
【分析】不妨设A在第一象限，B在第四象限，设出AB的方程与抛物线方程联立由A，B的纵坐标之积为－8，解出，再结合，可以解出A，B的纵坐标，根据的面积为可得答案.
【详解】不妨令A在第一象限，B在第四象限，设AB的方程为，
由得，
则，所以.
又因为，所以，即，代入
可得，由B在第四象限，则，所以
所以.
故选：D
9．D
【分析】根据抛物线的定义，得到点到焦点的距离等于到准线的距离，得到，即可求解.
【详解】由题意，抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，
可得，解得
故选：D.
10．A
【分析】线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，由“阿基米德三角形”的特征可得P点坐标，从而得直线PF的斜率，又PF⊥AB，即得直线AB斜率，由点斜式可求直线AB的方程．
【详解】抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1，
线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，由△PAB为“阿基米德三角形”，
可得P点必在抛物线的准线上，则点P（﹣1，4），
直线PF的斜率为：＝﹣2，
又∵PF⊥AB，∴直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为：y﹣0＝，即x﹣2y﹣1＝0，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及抛物线的性质，考查直线方程的求解，考查学生分析问题的能力，是中档题．
11．C
【分析】利用抛物线的定义及平面几何性质逐一判断即可.
【详解】由抛物线的定义，得，.又，
则，正确.由，可知是直角三角形，是斜边上的中线，所以，而，所以.所以，可知，所以，正确.在中，，可知，所以，正确.由，可知，所以，即是的中点，故不正确.

故选C
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查平面几何的性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题.
12．B
【分析】根据抛物线的定义，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，然后利用，得到，进而利用，化简，可求出的值
【详解】
：，则，所以．过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，则，因为FB为∠DFA的平分线，则，又，所以，所以，
又，所以．
故选：B
13．BCD
【分析】设，直线m的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据判断A，根据焦半径公式判断B，通过计算即可判断C，利用点差法计算判断D；
【详解】解：抛物线C的焦点F的坐标为，由题意分析可知，直线的斜率一定存在．
设，直线m的方程为，
与抛物线联立，得，所以，，
所以，所以为钝角，故A错误；
（当且仅当时等号成立），故B正确；
因为点，因为，
即直线和直线的倾斜角互补，所以平分，故C正确；
由两式相减得，
因为点是弦的中点，所以，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即，故D正确．
故选：BCD．
14．ABD
【分析】分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，求出点的坐标，可得出点的坐标，分析可得，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可判断A选项；再将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，利用平面向量与解析几何的相关知识可判断BCD选项的正误.
【详解】易知抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
若轴，则直线与抛物线的准线平行，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，即点，
因为点为线段的中点，则，则，可得，
因为点在抛物线上，则，可得，
所以，直线的方程为，即，
故直线的斜率为，A对；
联立，解得或，即点、，
易知点，所以，，，则，B对；
易知点，，，
故，C错；
，，则，
所以，直线与的倾斜角互补，D对.
故选：ABD.
15．ABC
【分析】圆锥曲线问题，要结合图形进行分析，利用直线与抛物线方程联立，进行求解，利用抛物线的焦半径的相关结论求解.
【详解】设直线PQ的方程为：y（x﹣2），与联立整理可得：
3x2﹣20x+12=0，解得：x或6，则P（6，4），Q（，）；
所以|PQ|=64，选项A正确；
因为F(2,0),所以PF，QF的中点分别为：（4，2），（，），
所以A（0，），B（0，），所以|AB|=2，
选项B正确；

如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|=|ME|，
所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，当N，M，E三点共线时，
|MF|+|MN|最小，且最小值为4，选项C正确；
对于选项D，若为抛物线上的点，则，又，
所以，选项D错误.
故选：ABC.
16．ACD
【分析】对于A，求出直线的方程，代入抛物线方程中，整理后利用根与系数的关系，然后利用弦长公式可求出，对于B，设1，代入抛物线方程，整理后利用根与系数的关系，再由，得，从而可求出的坐标，进而可求出直线的斜率，对于C，同选项B，利用根与系数关系后，计算即可，对于D，同选项B，利用根与系数关系后，计算即可
【详解】若直线的倾斜角为，则，
令，由消可得，
所以，故正确；
设1，令，由，
消可得
，，所以，
所以，
所以或
所以.即，故错误；
设，令，，
消可得
，
所以，即三点共线，故C正确；
设，令，由
消可得
，，
所以，
即，故正确.
故选：ACD.
17．
【分析】根据题意得，再得到，，分析即可得，，从而得到直线的倾斜角，即可求解.
【详解】如图，由题意得，所以，
，因为，
所以，所以，又，所以，
所以，故，所以直线的斜率为.
故答案为：.

18．16
【分析】首先求出抛物线的焦点坐标，即可求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再根据焦半径公式计算可得；
【详解】解：抛物线的焦点坐标为，因为直线过点，且倾斜角为，
所以直线的方程为，设、，
由，消去整理得，
所以，所以；
故答案为：
19．4
【分析】根据抛物线的定义可得△AMF为等边三角形，进而求得即可
【详解】如图，由抛物线定义可知，又因为是AF的中垂线，所以△AMF为等边三角形，所以.因为，所以，即.

故答案为：4
20．
【分析】依题意设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角，根据焦点弦公式得到，，再根据二倍角公式及正弦函数的性质求出的最小值，即可求出，从而得解；
【详解】解：设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角，

根据焦点弦长公式可得，，
所以，
因为，所以当时取得最小值，
所以，所以，所以抛物线方程为
故答案为：
21．23
【分析】设，即可得到的中点坐标，再根据距离公式求出动点的轨迹方程，由抛物线的焦点弦性质，求得，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．
【详解】解：设，则的中点为，所以，整理得，
即动点的轨迹为抛物线，焦点为，

由直线过抛物线的焦点，则，
其中的证明过程如下：
当不垂直于轴时，可设直线的方程为，，，显然．
由得:，∴，．
当轴时，直线方程为，则，，∴，同上也有．
由抛物线的定义知：，，又，所以，且．
所以

圆圆心为，半径1，


，
当且仅当，即，时取等号；
的最小值为23，
故答案为：．
22．4或##或4
【分析】分的斜率存在、不存在，分别求弦AB的长度，当斜率不存在时，由通径求解即可，当斜率存在时，联立抛物线方程，根据根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式求解即可.
【详解】由可知焦点，
当斜率不存在时，过的方程为，可知，
为整数，此时；
当斜率存在时，设AB方程为，设，不妨设，
由可得，
，
由，
可设，则为不等正整数（相等时，直线斜率不存在），
两式相乘可得，所以或，
不妨取，此时，
则 .
所以弦的长度为4或.
故答案为：4或
23．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）联立直线与抛物线方程可得，设，，根据抛物线的几何性质可知，，代入已知关系求解即可.
（2）由可知，，则直线AQ的斜率与直线BQ的斜率满足，联立方程即可求证.
（1）
当l的倾斜角为时，l的斜率为1，，则：，代入C的方程，得，即，
设，，则，，
根据抛物线的几何性质可知，，，
由，可知，，
因为，
可知，
，
所以，
所以，C的方程为．
（2）
设的外接圆与x轴的另一个交点为，
由可知，，
则直线AQ的斜率与直线BQ的斜率满足．
设l的斜率为k，由（1）可知，，代入，
则，即，．
设，，则，，，，
所以，
即，，
所以，为定点，则的外接圆过定点，得证.
24．(1)
(2)或

【分析】（1）由题意，求得直线l的方程，代入，设，，根据韦达定理，可得，表达式，根据抛物线的几何性质可得，表达式，代入所求，化简整理，即可得答案.
（2）当轴时，经检验不符合题意，当l不垂直于x轴时，设斜率为k，可得直线l，又抛物线联立，结合韦达定理，可得，表达式，进而可得，坐标，根据，化简计算，即可得答案.
（1）
当l的倾斜角为时，l的斜率为1，
又，所以直线，
将代入，得，即，
设，，则，，
根据抛物线的几何性质可知，，，
因为，
可知，
，
所以．
（2）
当轴时，，，，此时PA不垂直于PB．
当l不垂直于x轴时，设l的斜率为k，则直线，
将代入，得，即，．
设，，则，，
又，，，
所以，
即，
所以，化简有，解得，
所以l的方程为或．
25．(1)
(2)1个

【分析】（1）由直线l的方程判断出抛物线C的焦点，求出.设，．用“设而不求法”得到，由，，成等差数列，得到，解出斜率k；
（2）把整理得：，利用得到，求出满足条件的点只有一个.
（1）
直线l的方程可写为，可知直线l恒过定点，即抛物线C的焦点，所以，p＝2，因此．
设，．
联立整理得，恒成立，所以，．
因为，，成等差数列，所以．
又因为，，，
所以，整理得．又，
即，即，解得或（舍去），则．
所以，
解得k．故实数k的值为．
（2）
若存在点总在以AB为直径的圆上，即AT⊥TB，则，
即，整理得．
又，所以，则，
恒成立，且，故满足条件的点只有一个．