还剩36页未读，
继续阅读
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点3 圆锥曲线中的定直线问题试题及答案
展开
这是一份专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点3 圆锥曲线中的定直线问题试题及答案，共39页。学案主要包含了微点综述，强化训练等内容，欢迎下载使用。
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点3 圆锥曲线中的定直线问题
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定值线问题
微点3 圆锥曲线中的定直线问题
【微点综述】
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.证明动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，解决这类问题，可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.
一、常见解题策略
1.联立方程消去参；
2.挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；
3.将横纵坐标分别用参数表示，再消参；
4.设点，对方程变形解得定直线.
二、常用解题方法
这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：
（1）设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；
（2）待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；
（3）验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.
三、典例精析
（一）椭圆中的定值线问题
例1
1．如图，椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，过点A与垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且恰是的中点，若过A，Q，三点的圆与直线相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N为椭圆C的长轴两端点，直线m过点交C于不同两点G，H，证明：四边形MNHG的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．
例2
2．如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的左､右顶点，，离心率.是右焦点，过点任作直线交椭圆于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.
例3
3．已知椭圆：（）的离心率为，，分别为的左、右焦点，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在与轴不垂直的直线与交于，两点，且弦的垂直平分线过的右焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
（二）双曲线中的定值线问题
例4
4．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明：
（i）点在定直线上；
（ii）若直线与交于点，则.
例5（2022江苏南通·高二开学考试）
5．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
例6
6．已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.
（三）抛物线中的定值线问题
例7
7．曲线C上任一点到定点的距离等于它到定直线的距离．
（1）求曲线C的方程；
（2）经过P（1,2）作两条不与坐标轴垂直的直线分别交曲线C于A、B两点，且，设是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等．若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程．若不存在，说明理由．
例8
8．如图，已知抛物线直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点.
（1）证明：；
（2）设抛物线C在点A处的切线为，在点B处的切线为，证明：与的交点M在一定直线上.
例9
9．已知抛物线，圆，直线与抛物线和圆同时相切.
（1）求和的值；
（2）若点的坐标为，过点且斜率为的直线与抛物线分别相交于、两点（点在点的右边），过点的直线与抛物线分别相交于、两点，直线与不重合，直线与直线相交于点，求证：点在定直线上.
【强化训练】
10．已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，已知，过且与轴垂直的直线与直线交于点，求证：点在一定直线上，并求出此直线的方程.
11．已知点是离心率为的椭圆：（）上位于第一象限内的点，过点引轴、轴的平行线，交轴、轴于，两点，交直线于，两点，记与的面积分别为，，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，证明：直线，的交点在一定直线上，并求出该直线方程．
12．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点的直线距离是
（1）求椭圆的方程
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程
13．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．如图所示，斜率为且过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，若在射线上，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：点在定直线上．
14．已知椭圆，点为椭圆外一点．
（1）过原点作直线交椭圆于、两点，求直线与直线的斜率之积的范围；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点、时，线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．
15．已知椭圆的离心率为分别是它的左、右顶点，是它的右焦点，过点作直线与交于(异于)两点，当轴时，的面积为.
（1）求的标准方程;
（2）设直线与直线交于点，求证:点在定直线上.
16．已知圆经过点与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过点做直线与曲线交于不同两点，三角形的垂心为点.
（1）求曲线的方程；
（2）求证：点在一条定直线上，并求出这条直线的方程.
17．已知抛物线L：（）的焦点为F，过点的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线交抛物线L于另一点C，直线的最小值为4.
（1）求抛物线L的方程；
（2）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点，使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.
18．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.
（1）求p的值；
（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上.
19．已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
（1）求抛物线C的方程.
（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.
20．如图，已知抛物线C：的焦点F，过x轴上一点作两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，设和所在直线交于点P．设M为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M点坐标可以为；②轴时，；③比M到y轴距离大1．
（1）抛物线C同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程；
（2）判断并证明点P是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由．
21． 设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
22．已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.
（1）求实数的值；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.
23．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
24．已知双曲线的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线的焦点重合，经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点是线段的中点，求点的坐标；
(3)设、是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点必在直线上．
25．已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为､，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：直线与直线的斜率之积是定值；
(3)若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明点恒在一条定直线上.
参考答案：
1．（1）；（2）证明见解析， .
【解析】（1）设椭圆C的半焦距为，由圆的定义可求得圆的半径，再由直线与圆的相切的条件可求得， ，，可求得椭圆方程．
（2）设其方程为，设，，直线与椭圆的方程联立整理得，得出根与系数的关系，表示直线MH的方程和直线GN的方程。求得两直线的交点的横坐标，代入，可得交点所过的定直线.
【详解】（1）设椭圆C的半焦距为，由为线段中点，，
所以A，Q，三点圆的圆心为，半径为，
又因为该圆与直线l相切，所以，∴，所以，，
故所求椭圆方程．
（2）由对称性可知，若存在，则必为垂直于x轴的直线．
依题意，直线l斜率必存在且不为0，设其方程为，
设，，联立，得，
所以，故，
不妨设，，
所以直线MH的方程为，直线GN的方程为
消去y，得
故四边形MNHG的对角线交点在定直线上．
【点睛】关键点点睛：解决直线与圆锥曲线相交的相关问题时，关键在于将目标条件转化为交点的坐标间的关系，交点坐标的韦达定理上去可得以解决.
2．（1）；（2）直线与直线的交点落在定直线上.
【解析】（1）根据题中条件，求出，即可得出椭圆方程；
（2）设直线方程为，设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得到，，表示出直线和的方程，联立两直线方程，计算为定值，即可得出结果.
【详解】（1），，则，
设焦距为，离心率，，，
因此所求的椭圆方程为
（2）设直线方程为，设，，
由得，
，，
直线方程是，直线方程是，
由，
可得
，解得：
此直线与直线的交点落在定直线上.
【点睛】关键点点睛：
求解本题第二问的关键在于根据点为两直线交点，联立两直线方程，结合直线与椭圆联立后的结果，利用韦达定理，通过计算，确定点横坐标为定值，即可求解.
3．（1），（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据离心率得，根据的面积为．得，从而解得，可得椭圆的方程；
（2）假设存在与轴不垂直的直线满足题意，设，代入，设，，根据判别式可得，根据韦达定理得弦的中点坐标，可求得弦的垂直平分线方程，将代入可得，将其代入，得无解，故不存在符合题意的直线.
【详解】（1）依题意，，所以，即，
所以，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）假设存在与轴不垂直的直线满足题意，设，将其代入，整理得，
所以，所以，
设，，则，
则，
所以的中点为，
所以弦的垂直平分线方程为，
因为弦的垂直平分线过的右焦点，
所以，
所以，将其代入，得，
化简得，此不等式不成立，
所以不存在符合题意的直线.
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.
4．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据复数模的计算公式，由题中条件，得到，再由双曲线的定义，即可得出结果；
（2）（i）设直线的方程为，，，其中，，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，得到，，表示出直线与的方程，两直线方程联立，求出交点横坐标为定值，即可证明结论成立；
（ii）先同理得到点也在定直线上，设，， 代入（i）中直线与的方程，得出，再计算，即证结论成立.
【详解】（1）由题意可知：，
所以点到点与到点的距离之差为2，且，
所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设其方程为，其中，，
所以，，
所以，所以曲线的方程为.
（2）（i）设直线的方程为，，，其中，.
联立，消去，可得，
由题意知且，
所以，.
直线：，直线：①，
由于点在曲线上，可知，所以，
所以直线：②.
联立①②，消去可得，
即，
所以，
所以，所以，
所以点在定直线上.
（ii）由题意，与（i）同理可证点也在定直线上.
设，，
由于在直线：上，在直线：上，
所以，，
所以
，
又因为，，
所以，所以.
【点睛】思路点睛：
求解圆锥曲线中动点在定直线上的问题时，一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系时，从而可确定结果（一般得到动点横坐标或纵坐标为定值）.
5．(1)
(2)在定直线方程上
【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
（1）
设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）
当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
6．（1）或；（2）证明见解析.
【解析】（1）设直线的方程为并联立双曲线根据韦达定理可得与关系，结合可得，从而求得值得直线方程；
（2）列出直线与方程，并求点坐标得，故得证.
【详解】解：设直线的方程为，设，，把直线与双曲线
联立方程组，，可得，
则，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直线的方程为或．
（2）直线的方程为，直线的方程为，
直线与的交点为，故，即，
进而得到，又，
故，解得
故点在定直线上．
【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.
7．（1） ；（2）所求的定点为，定直线方程为．
【分析】（1）由抛物线的定义，即可求解；
（2）利用消参得到M点轨迹为y=4x2+4x+，根据抛物线图象的平移变换得到结论：定点为，定直线方程为.
【详解】（1）因为到定点的距离等于它到定直线的距离，利用抛物线的定义，设方程为，而，
故曲线C的方程为即；
（2）设：y-2=k(x-1)(k≠0) ： y-2=(x-1)
由得2x2-kx+k-2=0，设，则，
同理得B点坐标为，故M点坐标为，
整理得，
消去k得：y=4x2+4x+ ，
M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离．将抛物线方程化为，
此抛物线可看成是由抛物线左移个单位，上移个单位得到的，而抛物线的焦点为，准线为.
∴所求的定点为，定直线方程为.
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而得证；
（2）对函数求导，利用导数的几何意义求出过点、的切线、的方程，即可得到，即可得证；
【详解】解：（1）设，，
把代入，得.
由韦达定理得，.
.
所以
（2），，
故经过点的切线的方程为：，
即，①
同理，经过点的切线的方程为：，②
，得.
即点M在直线上.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
9．（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径可得，联立直线与抛物线方程，根据判别式等于零可得；
（2）联立直线与抛物线，解得点的坐标为，点的坐标为，设直线的方程为，点的坐标为，点的坐标为，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理可得，利用直线和直线的方程联立，消去可得，所以点在定直线上
【详解】（1）圆的标准方程为，可知圆的圆心为，半径为，
由直线与圆相切，可得，解得或（舍去），
联立方程，消去后整理为，
因为直线与抛物线相切，所以，得，
故，.
（2）证明：直线的方程为，
联立方程，解得或，
则点的坐标为，点的坐标为，
设直线的方程为，
点的坐标为，点的坐标为
联立方程，消去整理为，
有，，
，
由得或，
直线的斜率为，
直线的斜率为，
直线的方程为，化为，
直线的方程为，化为，
联立直线、的方程消去后得，
得，因为直线与不重合，所以，所以，
故点在定直线上.
【点睛】本题考查了直线与圆、直线与抛物线相切的位置关系，考查了韦达定理、斜率公式、直线的交点问题，考查了运算求解能力，属于中档题.
10．（1）；（2）证明见解析，直线.
【分析】（1）由椭圆过定点，结合离心率求椭圆参数，写出椭圆方程.
（2）由题设知的斜率不可能为0，可设直线的方程为，，，联立椭圆方程，应用韦达定理可得，再由点斜式表示直线：，则即可判断是否为定直线.
【详解】（1）由题意，且，又，解得，.
椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，，联立方程
整理得，，
由，，即.
直线的方程为.①
过且与轴垂直的直线的方程为.②
联立①②可得.
点在定直线上.
【点睛】关键点点睛：第二问，设直线的方程联立椭圆方程，由韦达定理确定的关系，进而由的位置用表示出其横坐标.
11．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，直线.
【分析】（Ⅰ）设，利用，可得，又，，可得椭圆的方程；
（Ⅱ）分类讨论：当直线斜率存在时，设方程为：，联立，得，利用根的系数关系得，直线的方程为，直线的方程为，联立消去得，当直线的斜率不存在时，直线，与轴重合，过点，即可得到结论.
【详解】（Ⅰ）设，轴，轴，，，，，
，，
，
，又，，
解得：，，故椭圆的方程为．
（Ⅱ）①当直线斜率存在时，设其方程为：，设，，
联立，得，，
由韦达定理得，，．
因为，，
所以直线的方程为，直线的方程为．
联立消去得，整理得
，
所以直线，的交点一定在直线上；
②当直线的斜率不存在时，直线，与轴重合，过点，
由①②知直线，的交点在直线上．
【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
12．（1）；（2）证明见解析，.
【分析】（1）根据抛物线焦点的坐标公式，结合直线方程的截距式方程、点到直线距离公式、椭圆中之间的关系进行求解即可；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，根据直线与椭圆的位置关系，结合一元二次方程的判断别式、斜率公式、以及互相垂直两直线的关系进行求解即可.
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为 ，
直线的方程为：，设原点到直线的距离为，
，
椭圆方程为；
（2）因为直线与椭圆相切，
联立直线与椭圆方程：
即
切点坐标
即，
，点的坐标为：，
的方程为
联立直线方程：
解得
在这条定直线上.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过直线与椭圆的位置关系，借助方程组消，运用一元二次方程根的判别式得到等式，再通过求出横坐标，进行证明即可.
13．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）过点，可得，再结合离心率即可求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立用表示两点，即可算出点的横坐标为定值，从而获解.
【详解】（1）已知椭圆的离心率为，且过点，
所以，
又，则，所以，
故椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，，，
联立得，
由题意知恒成立，
由韦达定理得，所以，
由于为线段的中点，因此，，
此时．
所以所在直线方程为，
将其代入椭圆的方程，并由，
解得，
又，
由得，
因此，点在定直线上．
【点睛】方法点睛：求定线问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关.
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线.
14．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设点，可得，椭圆的有界性可得出，利用斜率公式结合椭圆方程可得出，利用不等式的基本性质可求得的取值范围；
（2）设、、，分析得出直线的斜率存在，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，再由可得出，即可得出结论.
【详解】（1）设，，
则，
所以，
因为，所以，所以，
所以；
（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆无公共点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设，即，
联立，得，
由得，
设、，则，，
设，由，得（考虑线段在轴的射影），
所以，
于是，整理得，
又，代入上式，得，所以点总在定直线上．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
15．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据椭圆离心率和椭圆的性质可知，再根据轴时，的面积为 ，由面积公式可知，由此即可求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，设，由韦达定理，可知 ，将直线的方程与直线 的方程联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果.
【详解】解:（1）由题意知，所以，又，
所以
当轴时，的面积为，
所以
解得
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，设直线的方程为 ，
与椭圆联立，得 .
显然恒成立.
设，
所以有
直线的方程为，直线 的方程为，
联立两方程可得，所以
由式可得，
代入上式可得，
解得
故点在定直线上.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于设直线的方程为，避免了斜率存在和不存在的分类讨论，使得运算简化.
16．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据抛物线的定义，得到圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，即可求得圆心的轨迹方程；
（2）设，由三点共线，求得的值，再求得过点与直线垂直和点与直线垂直的直线方程，联立方程组，求得，即可得到结论.
【详解】（1）圆经过点与直线相切，
则圆心满足到点与到直线的距离相等，
根据抛物线的定义，可得圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，
其中，所以圆心的轨迹方程为.
（2）设，，
由三点共线，则，整理得，
过点与直线垂直的直线为，
同理过点与直线垂直的直线为，
两条垂线联立方程组 ，解得，
所以垂心在直线.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
17．（1）；（2）存在，，.
【分析】（1）显然当轴时，取得最小值，可得，即可得到所求抛物线方程；
（2）假设轴上存在一点，，使得直线与直线的交点恒在一条定直线上．设，，，，直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，由的方程和直线的方程，联立求得交点，化简可得所求定点和定直线．
【详解】（1）设直线的倾斜角为，
所以由抛物线（）的焦点弦公式得，
所以当，即当轴时，取得最小值.
把代入可得，
故，，
可得抛物线的方程为：．
（2）假设轴上存在一点，，使得直线与直线的交点恒在一条定直线上．
设，，，，直线的方程为，
联立抛物线方程，可得，
，，
直线的方程为即，
联立直线，
可得，
由，，可得，，
即有，
由假设可得，
即，此时，
可得存在定点，定直线为．
【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
18．（1）p＝1（2）证明见解析
【分析】（1）根据AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），代入计算得到答案.
（2）由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程得到y1+y2，y1y2＝﹣4，根据直线方程得到P（1，），得到答案.
【详解】（1）当直线l过点M（2，0），且垂直于x轴时，
由AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），
代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1；
（2）证明：由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，
点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x，化简得ky2﹣2y﹣4k＝0，
由根与系数的关系得y1+y2，y1y2＝﹣4；
又点C在直线AB上，则yC，所以直线l1的方程为y；
又直线l2过点M且与直线l垂直，则直线l2的方程为y（x﹣2）；
联立，解得，所以点P（1，），
所以点P在定直线x＝1上.
【点睛】本题考查了抛物线的值，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）易得点A的坐标为，然后利用待定系数法即可求得抛物线的方程；
（2）抛物线，则，设,，可分别求得切线PM的方程和切线PN的方程，联立解得点，设直线MN的方程为，代入抛物线的方程得，所以，进而可得点的纵坐标为，命题得证.
【详解】（1）点A的横坐标为，所以点A的坐标为，
代入解得，所以抛物线的方程为；
（2）抛物线，则，设,，
所以切线PM的方程为 ，即,
同理切线PN的方程为，
联立解得点，
设直线MN的方程为，代入，
得，所以，
所以点P在上，结论得证.
【点睛】方法点睛：直线过定点的解题策略一般有以下几种：
（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据 特殊情况先找到这个定点，再进行证明；
（2）直接找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式或者斜截式方程，从而得到定点；
（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
20．（1）①③，；（2）点P在定直线上；证明见解析；定直线．
【分析】（1）根据抛物线的标准方程确定可以满足哪两个条件；
（2）设，，，，，，直线方程代入抛物线方程整理应用应用韦达定理得，同理得，然后由抛物线上两点坐标写出直线和方程，两方程消去后并代入韦达定理的结论可得为定值．这样得定直线．
【详解】（1）若有①，则，，此时②不能满足，，③能满足，
若有②，则，①③都不能满足．
故能同时满足①③，抛物线方程为；
（2），，
，，，；
，
由韦达定理得，
同理，；
因为
即，
同理，；
消去y得，
，
，
，．
所以点P在定直线上．
【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线的标准方程，直线与抛物线相交中的定直线问题．解题方法是设而不求的思想方法：设直线方程，设交点坐标，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理得两交点的纵坐标（或横坐标）的和与积．对定直线问题，需求出动点的坐标，代入上述韦达定理的结论可得坐标满足的性质，从而确定定直线，
21．9
【分析】由消去化简整理得
设，，则
①
由消去化简整理得
设，，则
②
因为，所以，此时．
由得．
所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．
【详解】请在此输入详解！
22．（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.
【详解】试题分析：（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到
，进而证明点恒在定直线上.
试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得，
故双曲线的方程为；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点，
则，，
，因此点的坐标为，
故直线的斜率，直线的斜率为，
因此直线与直线的斜率之积为，
由于点在双曲线上，所以，所以，
于是有
（定值）；
（3）证法一：设点 且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，，
设，则，即，
整理得，
由①③，②④得，，
将，，代入⑥得，⑦，
将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上；
证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，
消去得，
因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、，
则有，
设点，由，得，
整理得，
将②③代入上式得，
整理得，④
因为点在直线上，所以，⑤
联立④⑤消去得，所以点恒在定直线.
考点：1.双曲线的离心率；2.向量的坐标运算；3.斜率公式；4.韦达定理
23．(1)
(2)在定直线方程上
【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
（1）
设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）
当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
24．(1)
(2)点的坐标为或
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意得，解得，即可求解；（2）设，，因为是线段的中点，所以，代入双曲线方程即可求解；
（3）由题意可设直线的方程为，与双曲线方程联立后整理即可得证．
【详解】（1）由题意得，解得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）设，，因为是线段的中点，所以，
则得，
解得，，
所以所求点的坐标为或；
（3）证明：由题意可设直线的方程为，
联立方程组，消去，并整理得
，
设，，，，
由一元二次方程根与系数的关系，得，
又设，，，则得直线的方程为，
直线的方程为，两个方程相减得
①，
因为，
把它代入①得，
所以，
因此直线与的交点在直线上．
25．(1)1
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由离心率公式和点满足双曲线的方程，结合双曲线的，，的关系，即可求得，，进而得到双曲线的方程；
（2）设出，，代入双曲线的方程，再由，再由直线的斜率公式，得到直线与直线的斜率之积，化简整理，运用代入，即可得到定值；
（3）设点，且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，设，代入可得求出坐标之间的关系，化简可得点恒在定直线上.
（1）
双曲线，，
由于离心率为，即，
代入双曲线的方程可得，
解得，，，
即有双曲线的方程为；
（2）
由于点是直线上任意一点，
可设，
再由为双曲线上一点，可设，
则，即.
由，
则，
即有，即有，
则，
则直线与直线的斜率之积是定值；
（3）
设点，
且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，
则，
即，，
设，
则.
即
由，得，
将，，代入，
得，
将代入，得，
所以点恒在定直线上.
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点3 圆锥曲线中的定直线问题
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定值线问题
微点3 圆锥曲线中的定直线问题
【微点综述】
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.证明动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，解决这类问题，可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.
一、常见解题策略
1.联立方程消去参；
2.挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；
3.将横纵坐标分别用参数表示，再消参；
4.设点，对方程变形解得定直线.
二、常用解题方法
这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：
（1）设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；
（2）待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；
（3）验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.
三、典例精析
（一）椭圆中的定值线问题
例1
1．如图，椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，过点A与垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且恰是的中点，若过A，Q，三点的圆与直线相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N为椭圆C的长轴两端点，直线m过点交C于不同两点G，H，证明：四边形MNHG的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．
例2
2．如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的左､右顶点，，离心率.是右焦点，过点任作直线交椭圆于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.
例3
3．已知椭圆：（）的离心率为，，分别为的左、右焦点，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在与轴不垂直的直线与交于，两点，且弦的垂直平分线过的右焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
（二）双曲线中的定值线问题
例4
4．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明：
（i）点在定直线上；
（ii）若直线与交于点，则.
例5（2022江苏南通·高二开学考试）
5．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
例6
6．已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.
（三）抛物线中的定值线问题
例7
7．曲线C上任一点到定点的距离等于它到定直线的距离．
（1）求曲线C的方程；
（2）经过P（1,2）作两条不与坐标轴垂直的直线分别交曲线C于A、B两点，且，设是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等．若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程．若不存在，说明理由．
例8
8．如图，已知抛物线直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点.
（1）证明：；
（2）设抛物线C在点A处的切线为，在点B处的切线为，证明：与的交点M在一定直线上.
例9
9．已知抛物线，圆，直线与抛物线和圆同时相切.
（1）求和的值；
（2）若点的坐标为，过点且斜率为的直线与抛物线分别相交于、两点（点在点的右边），过点的直线与抛物线分别相交于、两点，直线与不重合，直线与直线相交于点，求证：点在定直线上.
【强化训练】
10．已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，已知，过且与轴垂直的直线与直线交于点，求证：点在一定直线上，并求出此直线的方程.
11．已知点是离心率为的椭圆：（）上位于第一象限内的点，过点引轴、轴的平行线，交轴、轴于，两点，交直线于，两点，记与的面积分别为，，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，证明：直线，的交点在一定直线上，并求出该直线方程．
12．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点的直线距离是
（1）求椭圆的方程
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程
13．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．如图所示，斜率为且过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，若在射线上，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：点在定直线上．
14．已知椭圆，点为椭圆外一点．
（1）过原点作直线交椭圆于、两点，求直线与直线的斜率之积的范围；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点、时，线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．
15．已知椭圆的离心率为分别是它的左、右顶点，是它的右焦点，过点作直线与交于(异于)两点，当轴时，的面积为.
（1）求的标准方程;
（2）设直线与直线交于点，求证:点在定直线上.
16．已知圆经过点与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过点做直线与曲线交于不同两点，三角形的垂心为点.
（1）求曲线的方程；
（2）求证：点在一条定直线上，并求出这条直线的方程.
17．已知抛物线L：（）的焦点为F，过点的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线交抛物线L于另一点C，直线的最小值为4.
（1）求抛物线L的方程；
（2）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点，使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.
18．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.
（1）求p的值；
（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上.
19．已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
（1）求抛物线C的方程.
（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.
20．如图，已知抛物线C：的焦点F，过x轴上一点作两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，设和所在直线交于点P．设M为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M点坐标可以为；②轴时，；③比M到y轴距离大1．
（1）抛物线C同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程；
（2）判断并证明点P是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由．
21． 设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
22．已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.
（1）求实数的值；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.
23．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
24．已知双曲线的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线的焦点重合，经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点是线段的中点，求点的坐标；
(3)设、是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点必在直线上．
25．已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为､，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：直线与直线的斜率之积是定值；
(3)若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明点恒在一条定直线上.
参考答案：
1．（1）；（2）证明见解析， .
【解析】（1）设椭圆C的半焦距为，由圆的定义可求得圆的半径，再由直线与圆的相切的条件可求得， ，，可求得椭圆方程．
（2）设其方程为，设，，直线与椭圆的方程联立整理得，得出根与系数的关系，表示直线MH的方程和直线GN的方程。求得两直线的交点的横坐标，代入，可得交点所过的定直线.
【详解】（1）设椭圆C的半焦距为，由为线段中点，，
所以A，Q，三点圆的圆心为，半径为，
又因为该圆与直线l相切，所以，∴，所以，，
故所求椭圆方程．
（2）由对称性可知，若存在，则必为垂直于x轴的直线．
依题意，直线l斜率必存在且不为0，设其方程为，
设，，联立，得，
所以，故，
不妨设，，
所以直线MH的方程为，直线GN的方程为
消去y，得
故四边形MNHG的对角线交点在定直线上．
【点睛】关键点点睛：解决直线与圆锥曲线相交的相关问题时，关键在于将目标条件转化为交点的坐标间的关系，交点坐标的韦达定理上去可得以解决.
2．（1）；（2）直线与直线的交点落在定直线上.
【解析】（1）根据题中条件，求出，即可得出椭圆方程；
（2）设直线方程为，设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得到，，表示出直线和的方程，联立两直线方程，计算为定值，即可得出结果.
【详解】（1），，则，
设焦距为，离心率，，，
因此所求的椭圆方程为
（2）设直线方程为，设，，
由得，
，，
直线方程是，直线方程是，
由，
可得
，解得：
此直线与直线的交点落在定直线上.
【点睛】关键点点睛：
求解本题第二问的关键在于根据点为两直线交点，联立两直线方程，结合直线与椭圆联立后的结果，利用韦达定理，通过计算，确定点横坐标为定值，即可求解.
3．（1），（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据离心率得，根据的面积为．得，从而解得，可得椭圆的方程；
（2）假设存在与轴不垂直的直线满足题意，设，代入，设，，根据判别式可得，根据韦达定理得弦的中点坐标，可求得弦的垂直平分线方程，将代入可得，将其代入，得无解，故不存在符合题意的直线.
【详解】（1）依题意，，所以，即，
所以，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）假设存在与轴不垂直的直线满足题意，设，将其代入，整理得，
所以，所以，
设，，则，
则，
所以的中点为，
所以弦的垂直平分线方程为，
因为弦的垂直平分线过的右焦点，
所以，
所以，将其代入，得，
化简得，此不等式不成立，
所以不存在符合题意的直线.
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.
4．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据复数模的计算公式，由题中条件，得到，再由双曲线的定义，即可得出结果；
（2）（i）设直线的方程为，，，其中，，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，得到，，表示出直线与的方程，两直线方程联立，求出交点横坐标为定值，即可证明结论成立；
（ii）先同理得到点也在定直线上，设，， 代入（i）中直线与的方程，得出，再计算，即证结论成立.
【详解】（1）由题意可知：，
所以点到点与到点的距离之差为2，且，
所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设其方程为，其中，，
所以，，
所以，所以曲线的方程为.
（2）（i）设直线的方程为，，，其中，.
联立，消去，可得，
由题意知且，
所以，.
直线：，直线：①，
由于点在曲线上，可知，所以，
所以直线：②.
联立①②，消去可得，
即，
所以，
所以，所以，
所以点在定直线上.
（ii）由题意，与（i）同理可证点也在定直线上.
设，，
由于在直线：上，在直线：上，
所以，，
所以
，
又因为，，
所以，所以.
【点睛】思路点睛：
求解圆锥曲线中动点在定直线上的问题时，一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系时，从而可确定结果（一般得到动点横坐标或纵坐标为定值）.
5．(1)
(2)在定直线方程上
【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
（1）
设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）
当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
6．（1）或；（2）证明见解析.
【解析】（1）设直线的方程为并联立双曲线根据韦达定理可得与关系，结合可得，从而求得值得直线方程；
（2）列出直线与方程，并求点坐标得，故得证.
【详解】解：设直线的方程为，设，，把直线与双曲线
联立方程组，，可得，
则，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直线的方程为或．
（2）直线的方程为，直线的方程为，
直线与的交点为，故，即，
进而得到，又，
故，解得
故点在定直线上．
【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.
7．（1） ；（2）所求的定点为，定直线方程为．
【分析】（1）由抛物线的定义，即可求解；
（2）利用消参得到M点轨迹为y=4x2+4x+，根据抛物线图象的平移变换得到结论：定点为，定直线方程为.
【详解】（1）因为到定点的距离等于它到定直线的距离，利用抛物线的定义，设方程为，而，
故曲线C的方程为即；
（2）设：y-2=k(x-1)(k≠0) ： y-2=(x-1)
由得2x2-kx+k-2=0，设，则，
同理得B点坐标为，故M点坐标为，
整理得，
消去k得：y=4x2+4x+ ，
M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离．将抛物线方程化为，
此抛物线可看成是由抛物线左移个单位，上移个单位得到的，而抛物线的焦点为，准线为.
∴所求的定点为，定直线方程为.
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而得证；
（2）对函数求导，利用导数的几何意义求出过点、的切线、的方程，即可得到，即可得证；
【详解】解：（1）设，，
把代入，得.
由韦达定理得，.
.
所以
（2），，
故经过点的切线的方程为：，
即，①
同理，经过点的切线的方程为：，②
，得.
即点M在直线上.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
9．（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径可得，联立直线与抛物线方程，根据判别式等于零可得；
（2）联立直线与抛物线，解得点的坐标为，点的坐标为，设直线的方程为，点的坐标为，点的坐标为，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理可得，利用直线和直线的方程联立，消去可得，所以点在定直线上
【详解】（1）圆的标准方程为，可知圆的圆心为，半径为，
由直线与圆相切，可得，解得或（舍去），
联立方程，消去后整理为，
因为直线与抛物线相切，所以，得，
故，.
（2）证明：直线的方程为，
联立方程，解得或，
则点的坐标为，点的坐标为，
设直线的方程为，
点的坐标为，点的坐标为
联立方程，消去整理为，
有，，
，
由得或，
直线的斜率为，
直线的斜率为，
直线的方程为，化为，
直线的方程为，化为，
联立直线、的方程消去后得，
得，因为直线与不重合，所以，所以，
故点在定直线上.
【点睛】本题考查了直线与圆、直线与抛物线相切的位置关系，考查了韦达定理、斜率公式、直线的交点问题，考查了运算求解能力，属于中档题.
10．（1）；（2）证明见解析，直线.
【分析】（1）由椭圆过定点，结合离心率求椭圆参数，写出椭圆方程.
（2）由题设知的斜率不可能为0，可设直线的方程为，，，联立椭圆方程，应用韦达定理可得，再由点斜式表示直线：，则即可判断是否为定直线.
【详解】（1）由题意，且，又，解得，.
椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，，联立方程
整理得，，
由，，即.
直线的方程为.①
过且与轴垂直的直线的方程为.②
联立①②可得.
点在定直线上.
【点睛】关键点点睛：第二问，设直线的方程联立椭圆方程，由韦达定理确定的关系，进而由的位置用表示出其横坐标.
11．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，直线.
【分析】（Ⅰ）设，利用，可得，又，，可得椭圆的方程；
（Ⅱ）分类讨论：当直线斜率存在时，设方程为：，联立，得，利用根的系数关系得，直线的方程为，直线的方程为，联立消去得，当直线的斜率不存在时，直线，与轴重合，过点，即可得到结论.
【详解】（Ⅰ）设，轴，轴，，，，，
，，
，
，又，，
解得：，，故椭圆的方程为．
（Ⅱ）①当直线斜率存在时，设其方程为：，设，，
联立，得，，
由韦达定理得，，．
因为，，
所以直线的方程为，直线的方程为．
联立消去得，整理得
，
所以直线，的交点一定在直线上；
②当直线的斜率不存在时，直线，与轴重合，过点，
由①②知直线，的交点在直线上．
【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
12．（1）；（2）证明见解析，.
【分析】（1）根据抛物线焦点的坐标公式，结合直线方程的截距式方程、点到直线距离公式、椭圆中之间的关系进行求解即可；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，根据直线与椭圆的位置关系，结合一元二次方程的判断别式、斜率公式、以及互相垂直两直线的关系进行求解即可.
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为 ，
直线的方程为：，设原点到直线的距离为，
，
椭圆方程为；
（2）因为直线与椭圆相切，
联立直线与椭圆方程：
即
切点坐标
即，
，点的坐标为：，
的方程为
联立直线方程：
解得
在这条定直线上.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过直线与椭圆的位置关系，借助方程组消，运用一元二次方程根的判别式得到等式，再通过求出横坐标，进行证明即可.
13．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）过点，可得，再结合离心率即可求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立用表示两点，即可算出点的横坐标为定值，从而获解.
【详解】（1）已知椭圆的离心率为，且过点，
所以，
又，则，所以，
故椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，，，
联立得，
由题意知恒成立，
由韦达定理得，所以，
由于为线段的中点，因此，，
此时．
所以所在直线方程为，
将其代入椭圆的方程，并由，
解得，
又，
由得，
因此，点在定直线上．
【点睛】方法点睛：求定线问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关.
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线.
14．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设点，可得，椭圆的有界性可得出，利用斜率公式结合椭圆方程可得出，利用不等式的基本性质可求得的取值范围；
（2）设、、，分析得出直线的斜率存在，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，再由可得出，即可得出结论.
【详解】（1）设，，
则，
所以，
因为，所以，所以，
所以；
（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆无公共点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设，即，
联立，得，
由得，
设、，则，，
设，由，得（考虑线段在轴的射影），
所以，
于是，整理得，
又，代入上式，得，所以点总在定直线上．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
15．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据椭圆离心率和椭圆的性质可知，再根据轴时，的面积为 ，由面积公式可知，由此即可求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，设，由韦达定理，可知 ，将直线的方程与直线 的方程联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果.
【详解】解:（1）由题意知，所以，又，
所以
当轴时，的面积为，
所以
解得
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，设直线的方程为 ，
与椭圆联立，得 .
显然恒成立.
设，
所以有
直线的方程为，直线 的方程为，
联立两方程可得，所以
由式可得，
代入上式可得，
解得
故点在定直线上.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于设直线的方程为，避免了斜率存在和不存在的分类讨论，使得运算简化.
16．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据抛物线的定义，得到圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，即可求得圆心的轨迹方程；
（2）设，由三点共线，求得的值，再求得过点与直线垂直和点与直线垂直的直线方程，联立方程组，求得，即可得到结论.
【详解】（1）圆经过点与直线相切，
则圆心满足到点与到直线的距离相等，
根据抛物线的定义，可得圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，
其中，所以圆心的轨迹方程为.
（2）设，，
由三点共线，则，整理得，
过点与直线垂直的直线为，
同理过点与直线垂直的直线为，
两条垂线联立方程组 ，解得，
所以垂心在直线.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
17．（1）；（2）存在，，.
【分析】（1）显然当轴时，取得最小值，可得，即可得到所求抛物线方程；
（2）假设轴上存在一点，，使得直线与直线的交点恒在一条定直线上．设，，，，直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，由的方程和直线的方程，联立求得交点，化简可得所求定点和定直线．
【详解】（1）设直线的倾斜角为，
所以由抛物线（）的焦点弦公式得，
所以当，即当轴时，取得最小值.
把代入可得，
故，，
可得抛物线的方程为：．
（2）假设轴上存在一点，，使得直线与直线的交点恒在一条定直线上．
设，，，，直线的方程为，
联立抛物线方程，可得，
，，
直线的方程为即，
联立直线，
可得，
由，，可得，，
即有，
由假设可得，
即，此时，
可得存在定点，定直线为．
【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
18．（1）p＝1（2）证明见解析
【分析】（1）根据AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），代入计算得到答案.
（2）由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程得到y1+y2，y1y2＝﹣4，根据直线方程得到P（1，），得到答案.
【详解】（1）当直线l过点M（2，0），且垂直于x轴时，
由AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），
代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1；
（2）证明：由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，
点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x，化简得ky2﹣2y﹣4k＝0，
由根与系数的关系得y1+y2，y1y2＝﹣4；
又点C在直线AB上，则yC，所以直线l1的方程为y；
又直线l2过点M且与直线l垂直，则直线l2的方程为y（x﹣2）；
联立，解得，所以点P（1，），
所以点P在定直线x＝1上.
【点睛】本题考查了抛物线的值，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）易得点A的坐标为，然后利用待定系数法即可求得抛物线的方程；
（2）抛物线，则，设,，可分别求得切线PM的方程和切线PN的方程，联立解得点，设直线MN的方程为，代入抛物线的方程得，所以，进而可得点的纵坐标为，命题得证.
【详解】（1）点A的横坐标为，所以点A的坐标为，
代入解得，所以抛物线的方程为；
（2）抛物线，则，设,，
所以切线PM的方程为 ，即,
同理切线PN的方程为，
联立解得点，
设直线MN的方程为，代入，
得，所以，
所以点P在上，结论得证.
【点睛】方法点睛：直线过定点的解题策略一般有以下几种：
（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据 特殊情况先找到这个定点，再进行证明；
（2）直接找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式或者斜截式方程，从而得到定点；
（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
20．（1）①③，；（2）点P在定直线上；证明见解析；定直线．
【分析】（1）根据抛物线的标准方程确定可以满足哪两个条件；
（2）设，，，，，，直线方程代入抛物线方程整理应用应用韦达定理得，同理得，然后由抛物线上两点坐标写出直线和方程，两方程消去后并代入韦达定理的结论可得为定值．这样得定直线．
【详解】（1）若有①，则，，此时②不能满足，，③能满足，
若有②，则，①③都不能满足．
故能同时满足①③，抛物线方程为；
（2），，
，，，；
，
由韦达定理得，
同理，；
因为
即，
同理，；
消去y得，
，
，
，．
所以点P在定直线上．
【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线的标准方程，直线与抛物线相交中的定直线问题．解题方法是设而不求的思想方法：设直线方程，设交点坐标，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理得两交点的纵坐标（或横坐标）的和与积．对定直线问题，需求出动点的坐标，代入上述韦达定理的结论可得坐标满足的性质，从而确定定直线，
21．9
【分析】由消去化简整理得
设，，则
①
由消去化简整理得
设，，则
②
因为，所以，此时．
由得．
所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．
【详解】请在此输入详解！
22．（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.
【详解】试题分析：（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到
，进而证明点恒在定直线上.
试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得，
故双曲线的方程为；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点，
则，，
，因此点的坐标为，
故直线的斜率，直线的斜率为，
因此直线与直线的斜率之积为，
由于点在双曲线上，所以，所以，
于是有
（定值）；
（3）证法一：设点 且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，，
设，则，即，
整理得，
由①③，②④得，，
将，，代入⑥得，⑦，
将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上；
证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，
消去得，
因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、，
则有，
设点，由，得，
整理得，
将②③代入上式得，
整理得，④
因为点在直线上，所以，⑤
联立④⑤消去得，所以点恒在定直线.
考点：1.双曲线的离心率；2.向量的坐标运算；3.斜率公式；4.韦达定理
23．(1)
(2)在定直线方程上
【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
（1）
设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）
当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
24．(1)
(2)点的坐标为或
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意得，解得，即可求解；（2）设，，因为是线段的中点，所以，代入双曲线方程即可求解；
（3）由题意可设直线的方程为，与双曲线方程联立后整理即可得证．
【详解】（1）由题意得，解得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）设，，因为是线段的中点，所以，
则得，
解得，，
所以所求点的坐标为或；
（3）证明：由题意可设直线的方程为，
联立方程组，消去，并整理得
，
设，，，，
由一元二次方程根与系数的关系，得，
又设，，，则得直线的方程为，
直线的方程为，两个方程相减得
①，
因为，
把它代入①得，
所以，
因此直线与的交点在直线上．
25．(1)1
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由离心率公式和点满足双曲线的方程，结合双曲线的，，的关系，即可求得，，进而得到双曲线的方程；
（2）设出，，代入双曲线的方程，再由，再由直线的斜率公式，得到直线与直线的斜率之积，化简整理，运用代入，即可得到定值；
（3）设点，且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，设，代入可得求出坐标之间的关系，化简可得点恒在定直线上.
（1）
双曲线，，
由于离心率为，即，
代入双曲线的方程可得，
解得，，，
即有双曲线的方程为；
（2）
由于点是直线上任意一点，
可设，
再由为双曲线上一点，可设，
则，即.
由，
则，
即有，即有，
则，
则直线与直线的斜率之积是定值；
（3）
设点，
且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，
则，
即，，
设，
则.
即
由，得，
将，，代入，
得，
将代入，得，
所以点恒在定直线上.
相关学案
高考数学一轮复习第8章第9课时圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题学案： 这是一份高考数学一轮复习第8章第9课时圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题学案，共18页。
专题12 定比点差法及其应用 微点2 定比点差法综合应用（一）——解决定点、定值、定直线问题： 这是一份专题12 定比点差法及其应用 微点2 定比点差法综合应用（一）——解决定点、定值、定直线问题，共36页。学案主要包含了微点综述，针对训练，整体点评等内容，欢迎下载使用。
专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点1 圆锥曲线中的定点问题试题及答案： 这是一份专题22 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 微点1 圆锥曲线中的定点问题试题及答案，共37页。学案主要包含了微点综述，强化训练等内容，欢迎下载使用。
