专题24 圆锥曲线中的存在性、探索性问题 微点2 圆锥曲线中的探索性问题试题及答案

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专题24 圆锥曲线中的存在性、探索性问题 微点2 圆锥曲线中的探索性问题
专题24 圆锥曲线中的存在性、探索性问题
微点2 圆锥曲线中的探索性问题
【微点综述】
近年来，在圆锥曲线考查的题型中经常会出现探究性问题．探究性问题是一种开放性问题，是指命题中缺少一定条件或无明确结论，需要经过猜测、归纳并加以证明的题型．圆锥曲线的考题主要是结论探究的开放性问题，有探究位置关系的，有探究点是否存在直线是否存在圆是否存在的，有探究圆是否过定点直线是否过定点的，等等，有结论存在和结论不存在两种情形．这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几何性质的同时，能很好地考查学生的运算求解、推理论证等数学能力，对学生的综合能力要求较高．
1．圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略
（1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数、参数并建立有关未知数、参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；
（2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别．
2．常见题型及其解法
圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：
（1）探索常数的存在性；（2）探索点的存在性；（3）探索最值的存在性；（4）探索曲线的存在性；
（5）探索命题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系．下面分类说明．
类型一、探索常数的存在性问题
1．如图，椭圆经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4.

（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得 ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
类型二、探索点的存在性问题
2．如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
3．已知定点，，定直线：，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍．设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、．
(1)求的方程；
(2)试判断以线段为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
类型三、探索曲线的存在性问题
4．如图，椭圆的离心率为 ， 轴被曲线 截得的线段长等于 的长半轴长．

（1）求， 的方程；
（2）设与 轴的交点为 M，过坐标原点O的直线与 相交于点 A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.
①证明：；
②记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线 ,使得= ?请说明理由．
5．已知椭圆过点，其焦距为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；
（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为．当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

图（1）                               图（2）
（2022安徽·淮南一中高二月考）
6．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆C的焦距、双曲线E的实轴长、双曲线E的焦距依次构成等比数列.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若双曲线E的虚轴的上端点为，问是否存在过点的直线交椭圆C于两点，使得以为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.
类型四、探索最值的存在性问题
7．已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
类型五、探索命题是否成立问题
8．已知圆：（），设为圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）延长交曲线于点，曲线在点处的切线与直线交于点，试判断以点为圆心，线段长为半径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．
9．已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴．

(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否构成等差数列？请说明理由.
【总结】探索性问题的基本题型及其求解方法：
（1）给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性．通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律．
（2）只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述．此类问题也是最常考的探索性问题，解答这类问题时，一般要先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则探索性得到肯定；若导致矛盾，则假设不存在．本题就是“是否存在”型探索性问题．
解决探索性问题的注意事项：
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
（1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论；
（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
【强化训练】
（2022·福建省福州格致中学模拟预测）
10．圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，直线与交于点，试问：是否存在一个定点，当变化时，为等腰三角形
11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．
(1)求的方程；
(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
（2022·上海虹口·二模）
12．已知抛物线：的焦点为，准线为，记准线与轴的交点为，过作直线交抛物线于，（）两点.

(1)若，求的值；
(2)若是线段的中点，求直线的方程；
(3)若，是准线上关于轴对称的两点，问直线与的交点是否在一条定直线上？请说明理由.
13．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.
（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）
14．设A，B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点G满足．
(1)求点G运动的曲线C的方程；
(2)直线与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．
（2022·河南省杞县高中模拟预测）
15．已知抛物线C：的焦点为F，过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，的周长为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．
16．在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
17．如图，椭圆的顶点为，，，，焦点为，，，．

(1)求椭圆C的方程；
(2)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A，B两点的直线，．是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，直线与直线的斜率分别记为，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设，的面积分别为，，判断是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由．
19．已知椭圆的离心率为，以椭圆的上焦点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线截得的弦长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线，，且分别交椭圆于，两点（，不是椭圆的顶点），探究直线是否过定点，若过定点则求出定点坐标，否则说明理由.
20．已知椭圆：的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线过点且与椭圆相交于不同的两点，，直线与x轴交于点，是直线上异于的任意一点，当时，直线是否恒过轴上的定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．
21．已知椭圆的左右焦点分别为，且离心率为 ，点M为椭圆上一动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆．若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由．
22．已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知不经过点P（0，2）的直线l：交椭圆C于A，B两点，M在AB上满足且，问直线是否过定点，若过求定点坐标；若不过，请说明理由．
23．如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.
(1)求的值；
(2)若直线过点，求证：；
(3)设直线与轴的交点为(为常数且)，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

24．已知是椭圆上的一点，是该椭圆的左右焦点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上与坐标原点不共线的两点，直线的斜率分别为，且.试探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.
25．已知椭圆C：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线相切．
1求椭圆C的标准方程；
2设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．
26．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，点满足．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线 与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
27．已知椭圆，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，请说明理由．
28．已知离心率为的椭圆，与直线交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为.
(1)求椭圆方程;
(2)若，则三角形的面积是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，请说明理由.
29．已知椭圆的右焦点为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是椭圆上不同的三点，若直线的斜率之积为，试问从两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．


参考答案：
1．（1）（2）存在
【详解】 ① ②
②代入①得

考点：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力.
2．(1)
(2)存在，定点

【分析】（1）根据椭圆的定义及其离心率即可求出椭圆的方程；
（2）直线与椭圆联立即可求出点的坐标,将与直线联立即可求出点的坐标，
假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M，即可知，对等式变形可得，可得.
【详解】（1）由椭圆的定义可知△，的周长为，即，
∵，∴，
又∵，∴，
故椭圆C的方程为：，
（2）将联立，消元可得，
∵动直线：与椭圆E有且只有一个公共点P，
∴，
∴，
此时，，
∴
由得，
假设在x轴上存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M，
设，则，
，，

整理得，
对任意实数m，k恒成立，则，
故在x轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.
3．(1)（）．
(2)以线段为直径的圆过定点和．

【分析】（1）设，根据题意列出方程，然后化简即可得到结果.
（2）解法1，先假设以线段为直径的圆过定点，联立直线的方程与双曲线方程，结合韦达定理得到点的坐标，从而得到的坐标，再由，计算即可得到结果.
解法2，先假设以线段为直径的圆过定点，根据对称性可知该定点必在轴上，得到直线方程，从而得到点坐标，即可得到以为直径的圆的方程，然后再加以验证即可.
（1）
设，依题意有，化简可得（）．
（2）
解法1：假设以线段为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在轴上，设．设直线的方程为，由，消去可得，由题意知．设，，则，．因为直线的方程为，所以点的坐标为，同理，于是，．由可得，即，即，即，解得或，所以以线段为直径的圆过定点和．
解法2：假设以线段为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在轴上．若垂直于轴，则，直线方程为，所以点坐标为，此时以为直径的圆的方程为，该圆与轴交于点和．下面进行验证．
设直线的方程为，由，消去可得，由题意知．设，，则，．因为直线的方程为，所以点的坐标为，同理．
因为，，所以
．同理．所以以线段为直径的圆过定点和．
4．（1）
（2）①见解析 ②满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和
【分析】(1)根据离心率和曲线被轴所截的长度，计算出的值，即可求解出方程；
(2)①将垂直问题转换为斜率的乘积为：联立直线与曲线，得到韦达定理形式，计算出对于对应的斜率乘积为即可证明；
②先根据已知条件表示出，然后根据面积比值计算出斜率的值，即可求解出对应的直线方程.
【详解】（1）由题意知，从而，又，解得．
故，的方程分别为．
（2）①由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.
由得，
设，则是上述方程的两个实根，于是．
又点的坐标为，所以

故，即．
②设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为
又直线的斜率为，同理可得点的坐标为.
于是
由得，
解得或，则点的坐标为；
又直线的斜率为，同理可得点的坐标
于是
因此
由题意知，解得或．
又由点的坐标可知，，所以
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和．
【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，难度较难.(1)圆锥曲线中垂直问题的证明，转化为证明斜率的乘积为或者向量的数量积为；(2)弦长公式的几种形式：.

5．(1)；
(2)（i）；（ii）存在，圆方程为．

【分析】（1）根据给定条件，写出焦点坐标，利用椭圆定义计算作答.
（2）（i）设出点B的坐标，求出切线的方程，建立面积的关系式，借助均值不等式求解作答.
（ii）设出点P，M，N的坐标，根据给定信息求出直线MN的方程即可推理作答.
（1）
依题意，椭圆的焦点为，由椭圆定义知：，
即，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）
（ⅰ）设，，则椭圆在点B处的切线方程为，
因点B在椭圆的第一象限上，，当且仅当，即取等号，
依题意，，，则，
所以当时，的面积的最小值为.
（ii）设，则，椭圆在点处的切线为：，
又过点，所以，同理点也满足，
所以都在直线上，即：直线MN的方程为，
所以原点O到直线MN的距离，所以直线MN始终与圆相切，
所以存在定圆恒与直线相切，定圆方程为．
【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解.
6．（1）；（2）存在，或.
【分析】（1）将已知双曲线的方程化为标准形式求得离心率，结合椭圆中的基本量关系和已知条件，求得椭圆的半长轴和半短轴，得到椭圆的标准方程；
（2）先排除直线l斜率不存在的情形，然后设出直线的斜率，写出方程，联立直线与椭圆方程，利用判别式求得k的取值范围，利用韦达定理和向量的垂直的条件得到关于k的方程，求解并验证是否满足上面求出的范围即可.
【详解】解：（1）双曲线，即为，其离心率为，
则椭圆的离心率为.
因为双曲线E的实轴长为、焦距为4，
设椭圆C的焦距为，则成等比数列，
所以，解得.
又，及，解得.
所以椭圆C的标准方程为；
（2）双曲线E的虚轴上端点为.
当直线的斜率不存在时，，点为椭圆的上、下两顶点，显然不符合题意；
故直线的斜率存在，设斜率为k，则直线的方程为，
联立方程组消去y，得.
显然，解得或.
设点，则，
所以
，
若以为直径的圆过原点，则，所以，所以，
即，
所以，解得，符合式，
所以直线的方程为或.
7．（I）.（II）（ⅰ）直线AE过定点.（ⅱ）的面积的最小值为16.
【详解】试题分析：（I）由抛物线的定义知，
解得或（舍去）.得.抛物线C的方程为.
（II）（ⅰ）由（I）知，
设，
可得，即，直线AB的斜率为，
根据直线和直线AB平行，可设直线的方程为，
代入抛物线方程得，
整理可得，
直线AE恒过点.
注意当时，直线AE的方程为，过点，
得到结论：直线AE过定点.
（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点，
得到，
设直线AE的方程为，
根据点在直线AE上，
得到，再设，直线AB的方程为，
可得，
代入抛物线方程得，
可求得，，
应用点B到直线AE的距离为.
从而得到三角形面积表达式，应用基本不等式得到其最小值.
试题解析：（I）由题意知
设，则FD的中点为，
因为，
由抛物线的定义知：，
解得或（舍去）.
由，解得.
所以抛物线C的方程为.
（II）（ⅰ）由（I）知，
设，
因为，则，
由得，故，
故直线AB的斜率为，
因为直线和直线AB平行，
设直线的方程为，
代入抛物线方程得，
由题意，得.
设，则，.
当时，，
可得直线AE的方程为，
由，
整理可得，
直线AE恒过点.
当时，直线AE的方程为，过点，
所以直线AE过定点.
（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点，
所以，
设直线AE的方程为，
因为点在直线AE上，
故，
设，
直线AB的方程为，
由于，
可得，
代入抛物线方程得，
所以，
可求得，，
所以点B到直线AE的距离为


.
则的面积，
当且仅当即时等号成立.
所以的面积的最小值为16.
考点：抛物线的定义及其几何性质，直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式，基本不等式的应用.

8．（Ⅰ）（）．（Ⅱ）见解析
【分析】（Ⅰ）由题意得 ，设中点为 则 得到关于 的方程就是点 的轨迹的方程.
（Ⅱ）设直线的方程为求出直线的方程并联立得到点坐标，由两点距离公式求出，再由点到直线的距离公式求出距离则线段长为半径的圆与直线相切.
【详解】（Ⅰ）设，由题意可知，，的中点，，
因为，，．
在⊙C中，因为，∴，
所以，即（），
所以点的轨迹的方程为：（）．
（Ⅱ） 设直线MN的方程为，则，
所以直线AM的方程为，又，所以，
又过点N的切线方程为，
由可得，
整理得到：即，
故即，所以，
即直线BN的方程为，
联立得，
联立得，所以，
所以，
所以点，，，
∴与直线MN相切．
9．(1)；
(2)直线的斜率成等差数列，详见解析.

【分析】（1）由题可得，进而可得，即得；
（2）由题意可设直线的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理法及直线的斜率公式，结合等差数列的中项性质，即得．
【详解】（1）因为点在上，且轴，
所以，令，代入，可得，
所以，
解得或(舍去)，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）由题可知，可设直线的方程为，
令得，的坐标为，
由得，，
设，，则，，
记直线的斜率分别为，
从而，，，
因为直线的方程为，所以，，
所以


，
又，
所以，
故直线的斜率成等差数列.
10．(1)
(2)存在，证明见解析

【分析】（1）设点在圆上，故有，设，根据题意得，，再代入圆即可求解；（2）先判断斜率不存在的情况；再在斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆联立得：，，，再根据题意求解判断即可.
（1）
设点在圆上，
故有，设，又，可得，，
即，
代入可得，
化简得：，故点的轨迹方程为：.
（2）
根据题意，可设直线的方程为，
取，可得，，
可得直线的方程为，直线的方程为
联立方程组，可得交点为；
若，，由对称性可知交点，
若点在同一直线上，则直线只能为：上，
以下证明：对任意的，直线与直线的交点均在直线：上.
由，整理得
设，，则，
设与交于点，由，可得
设与交于点，由，可得，
因为
，
因为，即与重合，
所以当变化时，点均在直线：上，
因为，，所以要使恒为等腰三角形，只需要为线段的垂直平分线即可，根据对称性知，点.
故存在定点满足条件.
【点睛】求定点问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．
11．(1)；
(2).

【分析】（1）由求出b，再结合离心率列式计算a即可作答.
（2）设出直线的方程，与椭圆E的方程联立，再求出点P，Q的坐标，利用斜率坐标公式计算作答.
（1）
设椭圆E的半焦距为c，点，而，则，
即有，解得，又离心率，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
由（1）知，显然直线不垂直于坐标轴，设直线：，，
由消去x并整理得：，解得点，则点，
直线，则直线方程为：，点，直线的斜率，
直线的斜率，因此，，
所以是定值.
【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
12．(1)；
(2)；
(3)在定直线上，理由见解析．

【分析】（1）根据焦半径公式即可求出；
（2）设直线的方程，与抛物线联立即可利用是线段的中点求出，从而解出；
（3）设，，即可求出直线与的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上．
（1）
因为准线为，所以．
（2）
设直线的方程，联立可得，，所以，，，而是线段的中点，所以，解得：，即，解得：，所以直线的方程为，即．
（3）
直线的方程，设，，，则，，
联立可得：，由，，代入解得：
，
所以直线与的交点在定直线上．
13．(1)
(2)能，定点为（0，）

【分析】（1）由条件列方程求可得椭圆方程；
（2）联立方程组，利用设而不求法结论完成证明.
【详解】（1）由已知可设椭圆方程为，
则，，
又
所以，
故椭圆C的标准方程为
（2）设AB方程为，由，得，

设，则..
由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN交于y轴上的定点，
由得，则直线BM方程为，
令，则




又，
则，
所以，直线BM过定点（0，），同理直线AN也过定点.
则点（0，）即为所求点.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
14．(1)
(2)，1

【分析】（1）设三点坐标，利用平面向量的坐标表示及向量模的坐标表示即可求解曲线的方程；
（2）设交点坐标，，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理得出，的表达式，求解的表达式，为定值即与参数无关，可求得的值，然后利用弦长公式及点到直线的距离公式即可求解面积的最大值.
（1）
解：设，，，则有，，，
整理可得.
（2）
（2）设，，联立，消元得，
当，即时，
则，，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得，
此时，
又点O到直线l的距离，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，所以面积的最大值为1．
15．(1)
(2)直线PQ过定点

【分析】（1）将代入抛物线中，得出的长度，再由勾股定理得出，结合条件建立关于的方程，得出答案.
（2）由题意设直线AB的方程为，，，联立直线AB的方程与抛物线的方程，由韦达定理得出点坐标，同理得出点坐标，从而得出直线方程，得出答案.
（1）
由题意，在中代入，得，解得，
所以．
由勾股定理得|，
则的周长为，解得，
故抛物线C的方程为．

（2）
由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为0．
设直线AB的方程为，，．
联立消去x，得，，
则，从而．
因为P是弦AB的中点，所以，同理可得．
当，即时，直线PQ的斜率，
则直线PQ的方程为，即．
故直线PQ过定点；
当，即时，直线PQ的方程为，也过点．
综上所述，直线PQ过定点．
16．（Ⅰ）或（Ⅱ）存在
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.
试题解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，.
∵，故在=处的导数值为，C在处的切线方程为
，即.
故在=-处的导数值为-，C在处的切线方程为
，即.
故所求切线方程为或.
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.
将代入C得方程整理得.
∴.
∴==.
当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力

17．(1)；
(2)不存在，理由见解析.

【分析】（1）根据椭圆的几何性质知，由已知条件得知，求出，即可得方程．
（2）当与轴不垂直，设A、B，直线为，结合已知得，再根据向量数量积的运算律可得，联立直线和椭圆求与的第二个关系式即可判断存在性，再考虑与轴垂直结合已知判断存在性.
（1）
由知：①，由知：②，又③
由上述三式，解得，，故椭圆C的方程为.
（2）
设A，B分别为，，假设使，成立的直线l存在，
(i)当l不垂直于x轴时，设l为，
由ln于P且得：，即，
由，.
，即.
将代入椭圆，得：，
所以④，⑤，
，
将④、⑤代入化简得：⑥，
将代入⑥化简得：，故不成立，即此时直线l不存在.
(ii)当l垂直于x轴时，满足的直线l为或，
当时，A，B，P分别为，，，故，，所以.
当时，同理有，即此时直线l也不存在.
综上，使成立的直线l不存在.
18．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）为定值4，详见解析
【分析】（Ⅰ）设，由题得，又因为，所以有，因为，所以，进而得出结论．
（Ⅱ）设直线的方程为：，联立得：得，再由韦达定理和可得，即或，进而表示出与，再判断是否为定值．
【详解】（Ⅰ）设，∵，
则，
又，则，代入上式，得,
由已知：，则，
从而，即．
（Ⅱ）设直线的方程为：，
联立得：，
由，
由韦达定理：，，
由（1），则，
则，
即：，
所以：，
得：或，
当时，直线，不合题意，
当时，直线，过定点，
又，，
则，为定值．
【点睛】圆锥曲线是近几年高考的热点与难点，本题考查由斜率关系证明直线垂直，韦达定理，设而不求法，属于偏难题目．
19．(1) (2) 恒过定点，见解析
【分析】（1）由题得，，解方程组即得椭圆的方程；（2）设的方程为，的方程为，当斜率存在时，的方程为，过定点，当MN的斜率不存在时，也过定点. 即得解.
【详解】（1）∵，∴，
设圆的方程为，圆心为，半径为，
设为圆心到直线的距离，
则，
∵，
∴，即，
，∵，∴.
所以椭圆的方程为.
（2）设的方程为，的方程为，
联立，可得，
整理，设，
∵不是椭圆的顶点，
∴，
代入，得，
，
联立 ，设，
∴，
带入，得，
，
①若斜率存在，

，
：




           
恒过.
②若斜率不存在，
的方程为，的方程为，
，，此时：，亦过，
综上，直线恒过.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆中的直线过定点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
20．（1）；（2）直线恒过轴上的定点.
【分析】（1）由椭圆离心率为，短轴长为4，根据各个基本量之间的关系，列式即可得解；
（2）当直线的斜率不存在时过定点，再证明当直线的斜率存在且不为零时也过即可.
【详解】（1）由题意得，
解得，，所以椭圆的标准方程为．
（2）直线恒过轴上的定点，证明如下：因为
所以，因为直线过点．
①当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，
不妨设，，则，
此时，直线的方程为，所以直线过定点；
②直线的斜率存在且不为零（显然）时，设直线的方程为，，，所以，直线：，
令，得，即，
又，所以，
即证，即证，（*），
联立消得，
因为点在内，所以直线与恒有两个交点，
由韦达定理得，，
代入（*）中得，
所以直线过定点，
综上所述，直线恒过轴上的定点．
【点睛】本题考查了椭圆基本量的运算，考查了椭圆中过定点问题，主要方法是利用韦达定理搭桥，建立各个量之间的关系进行化简求值，要求计算量比较大，属于难题.
21．(1)；
(2)是，理由见解析.

【分析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可得椭圆的方程.
（2）由题设可得，设点， 的方程设为，利用相切条件可得，联立直线方程可求的坐标，从而可判断在椭圆上，从而可证为定值.
（1）
由题意可知，解得
所以椭圆的方程为.
（2）

由（1）可知，
因为过与圆相切的直线分别切于两点，所以，
所以，
设点，则，圆的半径为，
则直线的方程为，
的方程设为，则，化简得
由，得，所以点，
，所以点在椭圆上，
∴，即．
22．（1）（2）直线恒过定点，详见解析
【分析】（1）根据题意可得，解出方程可得椭圆的标准方程；（2）设，，根据向量的关系以及三角形的性质可得为外接圆的直径，即，根据点A，B在直线上可得，联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理代入可得，解出方程或，代入直线中即可得定点.
【详解】解：（1）由题意得解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，
又，所以，，
因为在上满足，所以为的中点．
又，即，
所以线段为外接圆的直径，
即，
所以．
又在直线上，
所以，
即，
联立消得，
因为直线与椭圆交于不同的两点，
所以，
即，
由韦达定理得代入（*）中，得，
解得或，
所以直线：或，
所以直线过定点或（舍去），
综上所述：直线恒过定点．
【点睛】本题主要考查了根据求椭圆的方程，直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，得出的关系是解题的关键，属于难题.
23．（1）（2）见解析（3）落在定直线上
【详解】试题分析：（1）由椭圆方程可知点两点的坐标，可设点的坐标（设而不求），根据斜率的计算公式列出的表达式，又点在椭圆上，联立椭圆方程，从而可问题可得解；（2）由题意可联立直线与椭圆方程，消去，根据韦达定理，求得点的纵坐标与参数的关系式，再分别算出斜率，进行运算化简，从而问题可得证.
（3）同（2）法，由点的纵坐标，求出直线的方程，联立两直线方程，求出其交点的横坐标与点的坐标无关，从而可判断交点落在定直线上，从而问题可得解.
试题解析：(1)设，由于，
所以，
因为在椭圆上，于是，即，
所以.
(2)设直线，，由
得，
于是，

．
(3)由于直线与轴的交点为，于是，
联立直线与椭圆的方程，可得
，
于是
因为直线，直线，
两式相除，可知


，
于是，所以，即直线与直线的交点落在定直线上．
24．(1) 椭圆;(2)见解析.
【详解】分析：(1)由，可得，根据椭圆定义，可得，从而可得，进而可得椭圆的方程；(2) 设直线，，由消去y得，由，可得，结合韦达定理可得 .
详解：（1）由题意，，根据椭圆定义，
所以
所以，
因此，椭圆 .
（用待定系数法，列方程组求解同样给分）
（2）设直线，，由
消去y得


因为，所以
即，解得

所以，
点睛：本题主要考查待定待定系数法求抛物线及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
25．（1）；（2）定点为.
【详解】分析：（1）根据一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切，结合性质  ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得结果；(2) 设直线联立，得. 假设轴上存在定点，由韦达定理，利用平面向量数量积公式可得，要使为定值，则的值与无关，所以，从而可得结果.
详解：（1）由题意知，，解得
则椭圆的方程是
（2）①当直线的斜率存在时，设直线
联立，得
所以
假设轴上存在定点，使得为定值。
所以



要使为定值，则的值与无关，
所以
解得，
此时为定值，定点为
②当直线的斜率不存在时，，也成立
所以，综上所述，在轴上存在定点，使得为定值
点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
26．（1） （2） ，定值为1.
【详解】试题分析：
（Ⅰ）由可得，再根据离心率求得，由此可得，故可得椭圆的方程．（Ⅱ）由题意可得直线的斜率存在，设出直线方程后与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，求出直线 与直线的斜率，结合根与系数的关系可得
，根据此式的特点可得当时，为定值．
试题解析：
（Ⅰ）依题意得、，，
∴，
解得．
∵，
∴，
∴，
故椭圆的方程为．      
（Ⅱ）假设存在满足条件的点.
当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意.    
因此直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去整理得
，
设、，
则，，
∵
，
∴要使对任意实数，为定值，则只有，
此时．
故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．
点睛：解决解析几何中定值问题的常用方法
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量得到常数，从而证明得到定值，这是解答类似问题的常用方法．
27．(1)证明见解析
(2)当l的斜率为或时，四边形OAPB能为平行四边形．

【分析】（1）设直线，，，，通过直线与椭圆联立，利用根与系数的关系以及斜率公式即可证得结论；
（2）由（1）得OM的方程为．通过方程联立解得，，根据题意有，解方程即可得解.
（1）
设直线，，，，
将代入，得，
则，
，，，
∴，即，
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
（2）
四边形OAPB能为平行四边形．
∵直线过点，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
又，
∴，即，则，
∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是，且．
由（1）知直线OM的方程为，由得，
则点P的横坐标．
∵，
∴l的方程为，
将代入，得，
可得点M的横坐标．
当线段AB与线段OP互相平分，即时，四边形OAPB为平行四边形，
此时，解得，，均符合题意，
∴当l的斜率为或时，四边形OAPB能为平行四边形．
28．（1）；
（2）是定值且为，详见解析.
【分析】（1）根据题设可得关于的方程组，解出后可得椭圆的标准方程.
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为,联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简可得可得，再利用韦达定理把面积表示成关于的代数式，利用前者化简可得面积为定值.注意斜率不存在时的讨论.
【详解】(1)由题意可知，解得，
所以椭圆方程为.
(2)设，
当直线的斜率存在时，设其方程为,
联立椭圆方程得，
则，
点到直线的距离，
所以，
由，
化简得，
整理得到，入上式得.
若直线斜率不存在易算得.
综上得，三角形的面积是定值.
【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
29．（1）（2）两点的横坐标之和为0，详见解析
【分析】（1）先由题中条件，得到，再由离心率求出，得到，进而可得椭圆方程；
（2）设三点坐标分别为，直线的斜率分别为，得到直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理表示出与，再结合，即可得到结果.
【详解】（1）由椭圆的右焦点得，
又离心率得，
所以椭圆的标准方程为：
（2）两点的横坐标之和为0，理由如下
设三点坐标分别为，直线的斜率分别为，
则直线的方程为：，
由方程组，消去得：
，
，
故，同理可得：，
又，即，

从而，
即两点的横坐标之和为常数零
【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆中的定值问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.