专题18 圆锥曲线中的张角问题 微点3 圆锥曲线中的张角问题综合训练

专题18  圆锥曲线中的张角问题  微点3  圆锥曲线中的张角问题综合训练

专题18  圆锥曲线中的张角问题

微点3  圆锥曲线中的张角问题综合训练

（2022湖南常德·一模）

1．定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为___________.

（2022·辽宁朝阳·高二期末）

2．设分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上异于顶点的两点，，则___________，若点还满足，则的面积为___________.

（2022·浙江大学附属中学高三阶段练习）

3．已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，过点且斜率为k的直线与圆交于A，B两点（点B在x轴上方），线段与椭圆交于点M，延长线与椭圆交于点N，且，则椭圆的离心率为___________，直线的斜率为___________．

（2023·福建漳州·三模）

4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，直线PF2与y轴交于点Q，点P在线段上，的内切圆的圆心为，若为正三角形，则=___________，C的离心率的取值范围是___________．

（2022江苏南通·高三开学考试）

5．在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－2，0)，F2(2，0)，点M满足|MF1|＋|MF2|＝，记M的轨迹为C．

（1）求C的方程；

（2）设l为圆x2＋y2＝4上动点T(横坐标不为0)处的切线，P是l与直线的交点，Q是l与轨迹C的一个交点，且点T在线段PQ上，求证：以PQ为直径的圆过定点．

（2022云南·昆明市官渡区第一中学高二期中）

6．已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足.记的轨迹为曲线.

(1)请建立适当的平面直角坐标系，求的方程；

(2)过做直线交曲线E于A，B两点，为坐标原点，求面积的最大值.

（2022甘肃·兰州市第二中学高三阶段练习（文））

7．已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足．记的轨迹为曲线．

（1）请建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹方程；

（2）过做直线交于，两点，若点是线段的中点，点满足，请利用（1）所建立的坐标系及结论求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程．

（2022全国·高二课时练习）

8．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)过点作两条互相垂直的直线，.交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．

（2022北京·高三专题练习）

9．已知椭圆，过点，且该椭圆的短轴端点与两焦点，的张角为直角.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点且斜率大于0的直线与椭圆E相交于点P，Q，直线AP，AQ与y轴相交于M，N两点，求的取值范围.

（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））

10．已知椭圆：的左、右顶点分别，，上顶点为，的面积为3，的短轴长为2.

(1)求的方程；

(2)斜率不为0的直线交于，两点（异于点），为的中点，且，证明：直线恒过定点.

（2022·重庆·三模）

11．平面直角坐标系xOy中，点（－，0），（，0），点M满足，点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点.

（2022·河南安阳·高二期末（理））

12．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限内的任意一点，且的周长为．

(1)求的方程；

(2)已知点，若不过点的直线与交于、两点，且，证明：直线过定点．

参考答案：

1．

【分析】先根据新定义，利用二倍角公式判断最小时最小，再设，利用距离公式，结合二次函数最值的求法求得最小值，即得结果.

【详解】解：如图，，

要使最小，则最大，即需最小.

设，则，

∴当，即时，，，

此时或，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：

本题的解题关键在于理解新定义，将的最小值问题转化为线段最小问题，结合二次函数求最值即突破难点.

2．          1

【分析】由已知向量相等得到，由椭圆的对称性得关于原点对称得到的值，

由得到四边形为矩形，计算的面积即可.

【详解】由知，由椭圆的对称性得关于原点对称，所以-1.若，则四边形为矩形，所以

故答案为： ，1.

3．         

【分析】根据几何关系及椭圆的定义即可求解.

【详解】过原点作于点,则为的中点，

又∵,  ∴,  即的中点，

∴∥,  ∴,

连接, 设，则，，，

在△中，，解得，

在△中，，整理得，

解得，

.

故答案为：；.

4．         

【分析】设为上顶点，点位于第一象限，作交椭圆于点如图所示，则，即可求解，又因为点位于点与之间，所以，利用正切值即可求解离心率范围．

【详解】设为上顶点，点位于第一象限，作交椭圆于点，则如图所示：

依题意得

依题意得点位于点与之间，故

所以，则

化为，解得

故答案为：，

5．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据椭圆的定义即可求出结果；

（2）特值检验求出以PQ为直径的圆过点，然后设出直线的方程，与椭圆联立，进而证得，即可得出结论.

【详解】（1）由题意可知M的轨迹是以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点，为长轴的椭圆，所以，解得，故C的方程为；

（2）当动点时，则切线为，所以，所以圆的方程为，

当动点时，则切线为，所以，所以圆的方程为，

当动点时，则切线为，所以，所以圆的方程为，

，解得，

所以以PQ为直径的圆过定点；

接下来证明以PQ为直径的圆过定点.

显然切线斜率不为0，故设切线的方程为，则，所以，

到切线的距离，因此，设，

，所以，

，

因此，因此，

所以，

因此以PQ为直径的圆过定点.

【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

6．(1)

(2)

【分析】（1）设，的垂直平分线为轴，所在直线为轴.由定义判断出轨迹为椭圆，即可写出标准方程

（2）设，，用“设而不求法”表示出弦长，进而表示出面积，利用基本不等式求出最大值.

（1）

设，的垂直平分线为轴，所在直线为轴.

∵.∴的轨迹曲线为椭圆.

∴设曲线：，

∴，，，，

∴.

的轨迹方程：.

（2）

当直线斜率存在时，设其为.则直线：，设到距离为，则.

设，，∴.

，∴.

∴，.∴.

∴.

又∵，∴.∴，.

当且仅当时，时，.

【点睛】（1）待定系数法、代入法、定义法可以求二次曲线的标准方程；

（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.

7．（1）；（2） ；

【分析】（1）根据椭圆的定义，判断M的轨迹为椭圆，并求出相关量及椭圆方程；

（2）联立直线与椭圆方程得方程组，其中 ，利用弦长公式求出 ，点到直线距离公式求出点O到AB的距离为三角形的高，表示出三角形ABO的面积，利用基本不等式求出最大值，以及得三角形ABC面积的最大值.

【详解】（1）以，的中点为坐标原点，，所在的直线为x轴，

线段的垂直平分线为y轴建立坐标系，

由题意知，的轨迹为曲线是椭圆， ，

即，

所以 ，故轨迹方程为 .

（2），设直线 ， ，

得， ，

恒成立，

则有 ，

，

点O到直线l的距离为 ，

，

当且仅当： ，即 时，等号成立，

由于 ,知 ,

此时 .

【点睛】熟练掌握圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线的定义，弦长公式，点到直线距离公式，基本不等式等相关知识点，并能准确计算.

8．(1)

(2)证明见解析，直线过定点

【分析】（1）根据题意可得，化简求解即可；

（2）设，，分两种情况：①若直线，都存且不为零，

设直线的方程为，联立双曲线方程结合韦达定理可得，

进而可得线段的中点为的坐标，同理可得线段的中点为的坐标，

写出当时，当时，直线的方程，

②若直线，中其中一条的斜率为，另一条的斜率不存在，写出，的方程，即可得出答案.

（1）

设，根据题意可得，

化简得曲线的方程为.

（2）

证明：设，，

①若直线，都存且不为零，

设直线的方程为，则直线的方程为，

由，得，

当时，这个方程变为只有一解，

直线与曲线只有一个交点，不合题意，

当时，，

直线与曲线恒有两个交点，

由韦达定理， ，

故线段的中点为，

同理，线段的中点为，

若，则，

直线的方程为，

即，

此时，直线恒过点．

若，则，或，，直线的方程为，

此时直线也过点，

②若直线，中其中一条的斜率为，另一条的斜率不存在，

不妨设的斜率为，则直线：，：x＝2，

此时，直线的方程为，

此时，直线也过点，

综上，直线恒过点．

【点睛】求定点问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个点与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．

9．（1）；（2）.

【解析】（1）根据已知条件，求得的值，由此求得椭圆的方程.

（2）设出直线的方程、两点的坐标，根据直线和直线的方程求得两点的坐标，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出判别式和根与系数关系，求得的表达式，由此求得的取值范围.

【详解】（1）由于椭圆的短轴端点与两焦点，的张角为直角，所以，所以

，，

（2）设直线l的方程为，，，

直线AP的方程为，可得，

直线AQ的方程为，可得.

联立，消去y，整理得.

可得，由于，所以.

，

由于，所以，

也即的取值范围是.

【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于难题.

10．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标与基本量的关系求解即可；

（2）由题意设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，结合可得，再代入韦达定理化简求解即可

（1）

由题意得，解得，，故的方程为.

（2）

证明：由题意设直线的方程为，，，

联立，得，    

所以，即，

，，

因为，所以，所以，    

即，则，

整理得，    

所以，即

整理得，解得或，    

当时，直线的方程为，恒过点，舍去；

当时，直线的方程为，恒过点，符合题意，

即直线恒过定点.

11．(1)

(2)过定点，证明见详解

【分析】（1）根据定义法判断曲线类型，然后由题意可得；

（2）设直线方程联立双曲线方程消元，利用韦达定理将AP⊥AQ坐标化，得到参数之间的关系代回直线方程可证.

（1）

因为，所以

由双曲线定义可知，M的轨迹为双曲线，其中

所以

所以曲线C的方程为：

（2）

若直线PQ垂直于x轴，易知此时直线AP的方程为，

联立求解可得，直线PQ过点.

当直线PQ斜率存在时，设直线PQ方程为，

代入，整理得：

则

因为AP⊥AQ，所以

整理得

解得或

因为点P和Q都异于点A，所以不满足题意

故，代入，得，过定点.

综上，直线PQ过定点.

12．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；

（2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，根据平面向量数量积的坐标运算可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线所过定点的坐标.

（1）

解：的周长为，

由已知可得，解得，

因此，椭圆的方程为.

（2）

解：由可得.

若直线的斜率不存在，设点、，则，其中，

则，，

所以，，不合乎题意.

所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立，得，

，即，

，

因为，，

由，得，

即，

则，

整理得，解得.

所以，直线的方程为，过定点．

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.