专题20 圆锥曲线的通径及其应用 微点2 圆锥曲线的通径综合训练

专题20  圆锥曲线的通径及其应用  微点2  圆锥曲线的通径综合训练

专题20  圆锥曲线的通径及其应用

微点2  圆锥曲线的通径综合训练

一、单选题

（2022河南南阳·高二期末）

1．抛物线的通径长为（    ）

A．2 B．1 C． D．

2．抛物线的焦点的纵坐标与它的通径的比是

A．4 B． C． D．

3．椭圆的通径长为   

A． B． C． D．

（2022·湖南省临湘市教研室高二期末）

4．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（    ）

A． B．

C．或 D．或

5．过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于两点，当轴时，称线段为双曲线的通径．若的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（    ）

A． B． C． D．

6．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其通径的两端与顶点连成的三角形的面积为4，则此抛物线的方程是(　　)

A．y2＝8x B．y2＝±4x

C．y2＝±4x D．y2＝±8x

7．若抛物线通径为（其中M是第一象限点），当点是上的点时，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

（2022全国·高二专题练习）

8．以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

9．椭圆的通径长为________．

10．在平面直角坐标系中，以点，为焦点的动椭圆与双曲线的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______.

（2022重庆八中高二期末）

11．过抛物线的焦点的直线与交于两点，且，的准线与轴交于，的面积为，则的通径长为___________.

（2022新疆·乌市八中高二期末）

12．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，则它的通径长为________．

（2022江苏扬州·高二期中）

13．抛物线的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为_____．

14．已知椭圆：的一条通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线：的通径重合，则椭圆的离心率为__________.

15．已知椭圆的左、右焦点分别为过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为____________.

16．已知抛物线C过点，且通径长为4，则抛物线C的标准方程为________.

17．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于(、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为__________.

18．如图，已知抛物线，直线圆的圆心且依次交抛物线于点，，，四点，则抛物线的通径长是_____________；的最小值为__________．

四、解答题

19．已知焦点在x轴上的抛物线，其通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）的长为8，求此抛物线的标准方程，并写出它的焦点坐标和准线方程.

（2022·全国·高三专题练习）

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1．

（1）求E的方程；

（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值．

（2022·四川凉山·高二期末）

21．已知抛物线，其通径为4．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过抛物线焦点F作直线l，使得直线l与抛物线交于P、Q两点，且满足弦长，求直线l的斜率．

22．已知椭圆的离心率为，且，抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上.

（1）求椭圆与抛物线的标准方程；

（2）过抛物线焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，为椭圆的左焦点，求.

（2022·河南南阳·高二期末）

23．已知抛物线的通径长为，若抛物线上有一动弦的中点为，且弦的长度为.

(1)求抛物线的方程；

(2)求点的纵坐标的最小值.

（2022·河南郑州·高二期末）

24．在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一､质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.

(1)请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；

(2)以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.

（2022·河北·高三月考）

25．已知椭圆的左、右焦点分别为，通径长为3，且椭圆的离心率为．

(1)求椭圆T的方程；

(2)设椭圆T与直线交于点M，且M在第二象限，直线l与T交于异于点M的P，Q两点，E是线段的中点，若，求证直线l过定点，并求出定点的坐标．

参考答案：

1．C

【分析】抛物线，即，利用通经长公式即可求得通经长．

【详解】解：抛物线，即，可得，因此通径长为：．

故选：C．

2．D

【分析】本题首先可根据抛物线的解析式得出抛物线的焦点坐标以及的值，然后求出焦点的纵坐标以及通径的大小，即可得出结果．

【详解】由抛物线的性质可知，抛物线的焦点为，，

所以焦点的纵坐标为，通径为，

焦点的纵坐标与它的通径的比为，故选D．

【点睛】本题考查了抛物线的相关性质，主要考查了根据抛物线的解析式确定焦点坐标以及通径，体现了基础性，加深了学生对抛物线的理解，是简单题．

3．D

【分析】椭圆的通径即过焦点并且和焦点所在的轴垂直的直线截得的线段长，根据表达式得到焦点坐标进而求得结果.

【详解】椭圆的通径即过焦点并且和焦点所在的轴垂直的直线截得的线段长，右焦点为：，直线为，联立此直线和椭圆解得交点的纵坐标为，线段长度为1.

故答案为D.

【点睛】这个题目考查了椭圆的几何意义，和基本概念，是基础题型.

4．C

【分析】由分焦点在轴的正半轴上和焦点在轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据，即可求解.

【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，且通经长为8，

当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为，

可得，解得，所以抛物线方程为；

当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为，

可得，解得，所以抛物线方程为，

所以所求抛物线的方程为.

故选：C.

5．A

【分析】分别求出直线与双曲线交在一支的最小值和交在两支的最小值，建立关于的齐次不等式，即可求出离心率的范围.

【详解】当经过焦点F的直线与双曲线的交点在同一支上，易知为双曲线的通径时取值最小，

令，得，则，故，即有最小值为；

当直线与双曲线的交点在两支上，易知直线的斜率为0时，即为实轴时最小，最小为2a；

由题意可得，即为，即有，则离心率,

又双曲线的离心率，故．

故选：A．

6．B

【分析】首先根据题意，将三角形的面积表示为关于p的关系式，令其等于4，得到关于p的等量关系式，之后结合抛物线的焦点所在轴以及开口方向有两种情况，从而求得结果.

【详解】根据抛物线的性质，可知该三角形的底为抛物线的通径为，

高为顶点到焦点的距离为，

根据三角形的面积公式可知其面积为，

所以，所以抛物线的标准方程为，即，

故选B.

【点睛】该题考查的是有关抛物线方程的求解问题，在解题的过程中，注意根据题中所给的条件，明确题中所给的三角形的特征，建立相应的等量关系式，确定出参数的值，最后求得椭圆的方程.

7．B

【分析】通过三角函数的定义，得出角的三角函数值，进而求出结果.

【详解】抛物线的焦点为，可得，

因为点在OM上，由三角函数的定义可得：

 ，

所以

故选：B

【点睛】本题主要考查抛物线通径的定义，三角函数和简单的三角恒等变换，考查理解辨析能力和数学运算能力，转化的数学思想，属于一般题.

8．CD

【分析】依题可设抛物线方程为或（），通径所在直线方程为，将通径方程代入抛物线的方程中即可得到p的值，最后写出抛物线方程即可得到答案.

【详解】设抛物线方程为或（），

依题意得，代入或得，

∴，，

∴抛物线方程为或.

故选：CD.

9．3

【解析】根据椭圆方程，求得a，b，c，令与椭圆联立求解.

【详解】因为椭圆，

所以，

令与椭圆联立解得，

所以通径长，

故答案为：3

10．

【解析】设双曲线的左焦点为，则，设点为两曲线的交点，根据椭圆和双曲线的定义列方程，可得，，两式相加可得，，根据椭圆的通径公式和函数的单调性可得结果.

【详解】依题意知，为双曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为，则，

设点为两曲线的交点，则由双曲线及椭圆的定义可知，

，，

则，所以有.

所以椭圆的通径为，这里，

所以由函数的单调性可知，当时，椭圆的通径最小，最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的定义，考查了椭圆的通径公式，考查了利用函数的单调性求最值，属于基础题.

11．

【解析】设直线方程为，与抛物线方程联立，根据，即，结合韦达定理求得，再根据的面积为，由求解.

【详解】设过抛物线的焦点的直线方程为，

与抛物线方程联立得：，

设，

由根与系数的关系得：，

又因为，

所以，

解得，

所以，

即，

解得，

所以，

所以的通径长为8

故答案为：8

12．4

【分析】假设抛物线的方程，然后根据通径为计算即可.

【详解】由题可知：抛物线开口向右，设抛物线的方程为

又抛物线过点，所以

所以通径为4

故答案为：4

13．

【分析】先求出抛物线的焦点坐标，然后求解过焦点且与对称轴垂直的弦长得到答案.

【详解】抛物线的焦点(1,0)，

当时，可得：，解得．

所以过焦点且与对称轴垂直的弦的两个端点坐标为

所以过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦长为4．

故答案为：4．

14．

【分析】由题意，知,又∵，∴.∵，可以化齐次式，进而得到离心率.

【详解】由题意，知.又∵，∴.∵，

∴，即，∴.

又∵，∴.

故答案为.

【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).

15．

【解析】先求出，，，求出，，进而可以求出的周长和面积，设的内切圆半径为，由即可求出，利用坐标和半径即可以求出圆心坐标，从而得出圆的方程.

【详解】

设的内切圆半径为，由椭圆的方程知：，，

则，因为垂直于轴，

所以 ，，

解得：，，

的周长为，

其面积为：，

由内切圆的性质得：，即，解得：，

圆心横坐标为：，所以圆心坐标为，

所以所求圆的方程为：，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质以及圆的方程，属于中档题.

16．

【分析】当焦点在轴上时，设抛物线的方程为，求得，不符合题意；当焦点在轴上时，设抛物线的方程为，求得，符合题意，即可求解.

【详解】由题意，抛物线过点，且通径长为4，

当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线的方程为，

将点代入抛物线的方程，可得，解得，即，

此时抛物线的通经为，不符合题意；

当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线的方程为，

将点代入抛物线的方程，可得，解得，即，

此时抛物线的通经为，符合题意，

综上可得抛物线C的标准方程为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，其中解答中熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.

17．

【分析】根据共线可判断取最小值时的点位置，进而求得，由通径公式即可求解.

【详解】

如图所示，连接，由双曲线的定义知，当且仅当三点共线时取得最小值，此时，由到直线的距离，，由定义知通径等于，

故答案为：.

18．     12    

【分析】由抛物线的焦点弦公式：，可得同理：，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得的最小值．

【详解】解：，焦点，准线，通径为，由圆：圆心，半径为；

由抛物线的定义得：，

又，同理：，

当轴时，则，．

当的斜率存在且不为0，设时，代入抛物线方程，得：，

，，

．

当且仅当，即，时取等号，

综上所述的最小值为，

故答案为：；．

【点睛】本题考查圆与抛物线的综合，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力．

19．抛物线方程为或，焦点和准线分别为，和，.

【分析】设抛物线的方程为，依题意可得在抛物线上，即可求出抛物线方程，从而求出焦点坐标与准线方程；

【详解】解：设抛物线的方程为，则它的焦点为，

由通径长为8知点在抛物线上，

∴，∴，；

同理可得也符合题意，

故所求抛物线方程为或，它们的焦点和准线分别为，和，.

20．（1）；（2）2.

【分析】（1）结合离心率，通径的概念以及的关系可得方程；

（2）利用对称性可转化为，利用韦达定理和不等式求最值．

【详解】（1）依题意可知，解得

故椭圆的方程为．

（2）延长交E于点，由（1）可知，

设，设的方程为，

由得，

故．

设与的距离为d，则四边形的面积为S，

，

又因为

，

当且仅当，即时，等号成立，

故四边形面积的最大值为2．

21．(1)

(2)

【分析】（1）由于通径为4，则可得，求出的值，从而可求得抛物线的标准方程，

（2）由题意可得直线的斜率存在，则设直线l方程为，代入抛物线方程中，消去，利用根与系数的关系结合弦长公式列方程可求出直线的斜率，

（1）

由题意知：抛物线通径为，即，

所以，抛物线的标准方程为．

（2）

由（1）知：抛物线焦点，

①当时，显然不满足，

②当时，设直线l方程为，联立，

得，

，则，．

所以，，即，

22．（1）椭圆，抛物线；（2）.

【分析】（1）根据题意求出、的值，进而可求得的值，由此可求得椭圆的标准方程，设抛物线的标准方程为，根据抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上求出的值，由此可求得抛物线的标准方程；

（2）设点、，可知直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式结合韦达定理可求得的面积.

【详解】（1）由题意可得，可得，则，

所以，椭圆的标准方程为.

设抛物线的标准方程为，

由于抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上，则，，

因此，抛物线的标准方程为；

（2）设点、，可知直线的方程为，

将直线的方程与椭圆方程联立，

消去得，，

由韦达定理得，，

因此，.

【点睛】本题考查椭圆与抛物线标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.

23．(1)

(2)

【分析】（1）由抛物线的通径为，可得，即可求得值;

（2）由题意得直线的斜率一定存在，设出直线的方程，并和抛物线的方程联立消去得，利用弦长公式求得，再用中点坐标公式求得的纵坐标，消去，最后用基本不等式即可求解.

（1）

由题意可知：，所以抛物线的方程为：；

（2）

由题意可知：直线斜率必存在，设其方程为：.

设，，.则：，

联立方程：得：.

所以，.

又知：，

得,

∴

当且仅当，即时取等号，

则点的纵坐标的最小值为.

24．(1)抛物线的焦点或抛物面的焦点

(2)答案见解析

【分析】（1）结合通径的特点可猜想得到结果；

（2）将问题转化为当时，只要过点，则中点到的距离最小，根据，结合抛物线定义可得结论.

【详解】（1）根据通径的特征，知通径会经过抛物线的焦点达到静止状态，

则可猜想细棒交汇点位置为：抛物线的焦点或抛物面的焦点.

（2）解释上述现象，即证：当（为抛物线通径）时，只要过点，则中点到的距离最小；

如图所示，记点在抛物线准线上的射影分别是，

，

由抛物线定义知：，

当过抛物线焦点时，点到准线距离取得最小值，最小值为的一半，此时点到轴距离最小.

【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用问题，解题关键是能够将问题转化为抛物线焦点弦的中点到轴距离最小问题的证明，通过抛物线的定义可证得结论.

25．(1)

(2)证明见解析，

【分析】（1）根据椭圆基本性质可求得；

（2）且E是线段的中点，可得，利用设而不求进行运算求解，但要注意讨论直线l的斜率是否存在．

（1）

由题意可得解得

所以，椭圆T的方程为．

（2）

由题意可得点，

且由可知．

①当直线l斜率不存在时，设直线，即，不妨设P在Q的上方，

由解得，

∴，

即由可得，

解得或（舍）；

②若直线l斜率存在，设直线，

联可得，

且，

其中…①

则…②

∵则

整理的：

把①①代入得

整理得，即

解得或，

当时，直线方程为，过定点（舍）；

当，直线方程为，过定点，

综上所述，直线l过定点．