专题20 圆锥曲线的通径及其应用 微点1 圆锥曲线的通径及其应用

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专题20  圆锥曲线的通径及其应用  微点1  圆锥曲线的通径及其应用专题20圆锥曲线的通径及其应用微点1圆锥曲线的通径及其应用【微点综述】“通径”是圆锥曲线中最基本的一条线段，是过焦点的弦（焦点弦）中最特殊的一条，虽然教材中没有提及这一概念，但一直是高考和竞赛中考查的热点问题之一，备受命题者青睐，发掘“通径”潜在的应用功能很有必要.一、通径的定义1.焦点弦过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦.2.通径与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.二、通径的性质【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为.【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为.性质1、性质2的证明：如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为.对于双曲线，证明过程同椭圆.对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径.【性质3】在椭圆和抛物线中，通径是最短的焦点弦.在双曲线中，当，即时，通径为最短的焦点弦；当，即时，实轴为最短的焦点弦. 证明：（1）先证椭圆结论.如图3，椭圆的方程为，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于两点.若直线的斜率不存在，则即为椭圆的通径，且.若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得，，.综上所述椭圆的焦点弦长以通径最短.（2）再证双曲线情形.如图4，双曲线的方程为，为椭圆的右焦点，过的直线与双曲线交于两点.若直线的斜率不存在，则即为双曲线的通径，且.若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得，，若与双曲线的两个交点在双曲线的双支上，如图4，此时易知焦点弦长最短为实轴长.若双曲线的两个交点在双曲线的右支上，则.当，即时，，通径为最短的焦点弦；当，即时，，实轴为最短的焦点弦.（3）最后证抛物线情形.抛物线方程为，为抛物线的焦点，如图5，过的直线与双曲线交于两点.若直线的斜率不存在，则即为抛物线的通径，且.若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得，.显然，抛物线的焦点弦长以通径最短.综上所述，椭圆、抛物线的焦点弦以通径最短.双曲线的焦点弦，当时，以通径最短；当时，实轴为最短的焦点弦.【性质4】过圆锥曲线的焦点，作直线交曲线于两点，则半通径长的倒数是的倒数与的倒数的等差中项，即，其中为半通径长.证明：先证抛物线情形.抛物线方程为，为抛物线的焦点，过的直线与双曲线交于两点，不妨设在第一象限.若直线的斜率不存在，则.若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得，又，再证椭圆情形.椭圆的方程为，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于两点，不妨设在第一象限.若直线的斜率不存在，则.若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得，，又，.同理可证双曲线的情形.三、应用举例例11．已知椭圆C：的右顶点为A（1，0），过C的焦点且垂直长轴的弦长为1.求椭圆C的方程.例22．椭圆＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（    ）A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍例33．已知椭圆的左、右焦点分别是、，点在椭圆上.若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（    ）A． B． C． D．或例4（2021·天津）4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．3例55．已知抛物线（）的焦点为双曲线（，）的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．例66．设双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线交双曲线右支于不同的两点、.若为正三角形，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．例77．直线过抛物线的焦点，并且与轴垂直.若被抛物线截得的线段长为4，则=_______.例88．设双曲线的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为.求双曲线的方程.【强化训练】9．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是（   ）A． B． C． D．10．已知，是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且，则C的方程为（    ）A． B．C． D．11．已知是双曲线的左焦点，为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．12．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，为的准线上一点，则的面积为（　　）A．18 B．24 C．36 D．4813．设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为A． B． C．2 D．314．过抛物线(>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于A．2 B． C． D．15．已知、是双曲线的两个焦点，过作垂直于轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为，则______.16．椭圆的右焦点为，右准线为，若过点且垂直于轴的弦的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是______．17．已知F1（－5，0），F2（5，0）是双曲线C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=，则C的方程为________.（2022广东·高三月考）18．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，椭圆上任意一点到焦点距离的最大值是最小值的倍，且通径长为（椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）.(1)求椭圆的标准方程；(2)过的直线与椭圆相交于不同的两点，，则的内切圆面积是否存在最大值?若存在，则求出最大值；若不存在，请说明理由.
参考答案：1．【分析】由弦垂直于长轴且过焦点，可设出弦两端点坐标（纵坐标等于半焦距），由顶点得出，从而点的坐标代入椭圆方程求得横坐标表达式，由弦长得，从而得椭圆方程．【详解】由题意椭圆焦点在轴上，，，设弦的两端点为，由得，所以，，所以椭圆方程为.2．A【解析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.【详解】由＝1可知，，所以，所以F1(－3，0)，F2(3，0)，∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，所以，所以轴，∴可设P(3，b)，把P(3，b)代入椭圆＝1，得.∴|PF1|＝，|PF2|＝.∴.故选：A.【点睛】关键点点睛：根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，进而可设P(3，b)是解题关键.3．C【分析】分析可知必为锐角，则或是直角顶点，将代入椭圆方程，即可得解.【详解】在椭圆中，，，，将代入椭圆方程可得，可得，所以，当或是直角顶点时，点到轴的距离为；设，，则，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，故必为锐角.综上所述，点到轴的距离为.故选：C.4．A【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.5．B【分析】结合抛物线和双曲线的性质，得到交点坐标，将坐标代入到双曲线中，得到关于的一元二次方程，即可解出离心率.【详解】由题意，，因为两曲线交点的连线过点，所以连线垂直于轴，则其中一个交点坐标为，即为，代入到双曲线方程中，得，则，，，，解得，所以B正确.故选：B6．B【分析】分析可知、关于轴对称，求出、，根据题意可得出，可得出关于、的齐次等式，即可求得该双曲线的离心率.【详解】不妨设点、，则、，所以，，同理可得，由题意可得，即，所以，，因此，双曲线关于轴对称，故点、关于轴对称，将代入双曲线方程可得，解得，则，由双曲线的定义可得因为为等边三角形，则，即，则，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.7．4【详解】因抛物线与抛物线具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长，故可用标准方程替换一般方程求解，而值不变.由通径长公式得.8．【分析】由离心率和双曲线的通径长列方程组求得后得双曲线方程．【详解】解：由题意，得从而，因此，所求的双曲线方程为.9．B【分析】根据双曲线的通径长公式计算．【详解】由已知，双曲线的通径长，故选：B.10．C【分析】设椭圆方程为，将点代入椭圆求出，利用建立方程，即可求出.【详解】由题意，设椭圆方程为，将代入椭圆方程得，由此求得，所以，又，，可解得，，所以椭圆C的方程为.故选：C.【椭圆】本题考查椭圆标准方程的求法，属于基础题.11．C【分析】根据条件可得与，进而可得，，的关系，可得解.【详解】由已知得，设点，由轴，则，代入双曲线方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故选：C.12．C【详解】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=-∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（ +|- |）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）= ×6×12=36故选:C．13．B【详解】通径|AB|=得，选B14．C【分析】设PQ直线方程是则x1，x2是方程的两根，借助韦达定理即可得到的值．【详解】抛物线转化成标准方程：，焦点坐标，准线方程为，设过的直线方程为，，整理得．设，，，由韦达定理可知：，，，，根据抛物线性质可知，，，，的值为， 故选：C．【点睛】涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．15．【详解】求出，利用双曲线的定义可求得.【分析】在双曲线中，，，则，不妨设点为该双曲线的左焦点，将代入双曲线的方程可得，解得，所以，，由双曲线的定义可得.故答案为：.16．【详解】.17．【分析】由题意， 设双曲线，然后根据题意列出关于的方程组，求出，从而可求出C的方程.【详解】由题意， 设双曲线，根据题意得，解得因此，所求的双曲线方程为.故答案为：18．(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆中距离的最值关系以及通径长度可得椭圆方程；（2）由已知得当取最大值时，圆面积最大，又，设直线方程，联立方程求最值.（1）解： 由已知得，得，所以，又椭圆通径长为，所以，解得，，，椭圆方程为；（2）解：由已知可得内切圆半径，当取最大值时，圆面积最大，故当取最大值时，圆面积最大，由已知可得直线斜率一定存在，设直线方程为，联立，得，恒成立，，，所以，设，则，当且仅当时取等，此时，，即内切圆面积的最大值为【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．