专题19 角平分线定理在圆锥曲线中的应用 微点2 角平分线定理在圆锥曲线中的应用综合训练

专题19  角平分线定理在圆锥曲线中的应用  微点2  角平分线定理在圆锥曲线中的应用综合训练

专题19  角平分线定理在圆锥曲线中的应用

微点2  角平分线定理在圆锥曲线中的应用综合训练

一、单选题

（2018年高考新课标Ⅰ理11）

1．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=

A． B．3 C． D．4

（2022·浙江·高三月考）

2．已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

3．双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为（       ）

A． B． C． D．

4．已知椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，是上除长轴端点外的任意一点，的平分线交的长轴于点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

5．双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为__________．

（2022安徽·芜湖一中高二期中）

6．已知点、是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且，，则该椭圆的离心率取值范围为_____________．

（2022江苏·姜堰中学高二阶段练习）

7．从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是__________.

8．设椭圆的离心率，其通径（过焦点且垂直于长轴的焦直径），、为两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，的平分线PM与长轴交于点．则m的取值范围是________．

三、解答题

（2022上海市七宝中学高三阶段练习）

9．已知椭圆的左、右焦点分别是、，其长轴长是短轴长的2倍，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线、的斜率分别为、，若，证明：为定值，并求出这个定值；

（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求m的取值范围．

（2020·浙江·二模）

10．已知椭圆，，为其左、右焦点，椭圆上有相异两点，，为坐标原点.

（1）若，，直线，直线，直线的斜率满足，当取得最大值时，试求直线的方程.

（2）若为椭圆上除长轴端点外的任一点，△的内心为Ⅰ，试求线段的取值范围.

（2022·全国·高三月考）

11．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线、的夹角相等．已知，垂足为，，，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．

(1)求截口BAC所在椭圆C的方程；

(2)点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．

①是否存在m，使得P到和P到直线的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；

②若的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线、的斜率分别为，，请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．

（2020·江苏常州·高二期末）

12．椭圆：的左，右焦应分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线：与椭圆切于点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点.证明：存在常数，使得，并求的值；

（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设后的角平分线交的长轴于点，求的取值范围.

13．已知椭圆C：（）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的半长轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆C上一点，若过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

14．已知椭圆的左，右焦点分别为､，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，若斜率为的直线与轴，椭圆顺次交于(P点在椭圆左顶点的左侧)且，求证：直线过定点.

15．椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k2≠0，证明为定值，并求出这个定值．

参考答案：

1．B

【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.

详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，

从而得到，所以直线的倾斜角为或，

根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，

可以得出直线的方程为，

分别与两条渐近线和联立，

求得，

所以，故选B.

点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.

2．B

【分析】取中点，由及得到三点共线且，再根据双曲线定义及得到的比例关系，进而解出离心率.

【详解】设是的中点，连接，如图，则，由，得

三点共线，.由既是的平分线，又是边上的中线，得.作轴于点，，且，.

故选：B.

3．B

【分析】在中，利用角平分线性质定理可推出，在中，根据角平分线性质定理则利用即可求出答案

【详解】解：因为为的内心，所以是三个内角角平分线的交点，

在中，根据角平分线性质定理有

，

在中，根据角平分线性质定理有

，，

故选：B

【点睛】方法点睛：三角形内心是角平分线交点，利用角平分线性质定理得长度比，再利用双曲线的定义即可得出基本量与的关系.

4．B

【分析】由的平分线交长轴于点，得到，再结合椭圆的定义，得到，进而求得的取值范围.

【详解】由椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，得，则，所以椭圆的方程为，故，，

由的平分线交长轴于点，显然，，

又，

所以，，即，

由，，得，

设，则，而，

即，也就是，所以，

所以，，

所以.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程，以及圆的方程、角平分线性质等知识的综合应用，着重考查推理论证能力及运算求解能力，属于难题.

5．

【详解】可设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，

由I为△PF1F2的内心，可得

=2，

则|QF1|=m，

若|F1Q|=|PF2|=m，

又PQ为∠F1PF2的角平分线，

可得，

则n=4c﹣m，

又m﹣n=2a，n=m，

解得m=4a，n=2a，

=2，即c=a，

则e==．

故答案为：．

6．

【分析】根据角平分线和正弦定理可得：，，从而由等比性质，结合题干中的条件可得：，根据，求得椭圆的离心率取值范围.

【详解】如图，连接，，I是的内心，可得，分别是和的角平分线，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，因为，所以，

又因为,所以，同理可得：，由比例关系可知，，又，所以，，因此，又，所以．

故答案为：

7．

【解析】利用切线方程和角的平分线垂直，结合斜率之积为，即可求解.

【详解】由题意，椭圆C在点处的切线，且，

所以切线的斜率为，而角的角平分线的斜率为，

又由切线垂直角的角平分线，所以，

即.

故答案为：.

8．

【详解】将代入方程得通径．①

由．②

联立式①、②解得，．于是，．

则椭圆．③

由式③得过点的切线方程为，

斜率为．

根据椭圆的切线定理，知PM为过点的法线，其斜率为．

则．

令，得．

由题意知．故．

9．（1）；（2），证明见解析；（3）．

【分析】（1）由长轴长是短轴长的2倍，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．可得，的值，进而求出椭圆的方程；

（2）设直线的方程，与椭圆联立，由直线与椭圆有且仅有一个交点可得判别式为0，可得与的横纵坐标的关系，再由在椭圆上得横纵坐标的关系，求出直线，的斜率分别为，与的坐标的关系，进而可得为定值；

（3）设的坐标，由（1）可得焦点，的坐标，求出直线，的方程，由角平分线的性质，到两条直线的距离相等，及点到直线的距离公式，可得与的横坐标的关系，再由在椭圆上可得的横坐标的取值范围求出的范围．

【详解】（1）由于，将代入椭圆方程，得．

由题意知，即．

又，，所以，．

所以椭圆的方程为．

（2）设，，则直线的方程为．

联立得，

整理得

由题意得△，即．

又，所以，故．

又知，

所以，

因此为定值，这个定值为．

（3）设，，又，，

所以直线，的方程分别为，

．

由题意知．

由于点在椭圆上，所以．

所以．

因为，，可得，

所以，

因此．

【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系及综合，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

10．（1）直线；（2）.

【解析】（1）将，代入求得椭圆方程，设直线，，，，，与椭圆联立，再由韦达定理得到，间的关系，结合题意可得，由弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得，进而表示出面积，并利用基本不等式求得其最大值，利用取等条件可得，由此求得直线方程；

（2）由焦半径公式可得，，由三角形内心性质可得，根据平面向量的坐标运算可得，则，进而求得，再利用二次函数的性质可求得其取值范围，进而得解.

【详解】解：（1）由若，，可得椭圆.

设直线，，，，，，

由联立可得：，则，

，

，

得，要三点能形成三角形，则必有，

，又，

，

则

，

点到直线的距离，

，

当且仅当，即时取“”，

此时直线；

（2）设，，，，，，

则，又由，得

，

同理

现在证明为的内心，则

证明：分别为方向上的单位向量，

平分,

)，

同理：

得，代入解得，

（)

化简得，

，得证；

又为△的内心，则，

，

，即，

，

，

.

【点睛】本题涉及了椭圆的标准方程及其性质，弦长公式，点到直线的距离公式，基本不等式，三角形内心的向量表示等知识点，考查了转化与化归思想，考查化简求解能力，属于较难题目.

11．(1).

(2)①存在②是定值

【分析】（1）设所求椭圆方程为，由椭圆的性质求得，，可得椭圆的方程；

（2）①存在, 设椭圆上的点,直接计算，即可探索出存在m；

②由（1）得椭圆的方程为，设椭圆上的点，有，证明椭圆在点处的切线方程为， 再由右光学性质得直线，由此可求得定值.

（1）

设所求椭圆方程为，

则，

由椭圆的性质：，所以，

，

所以椭圆的方程为.

（2）

由椭圆的方程为，则.

①存在直线，使得P到和P到直线的距离之比为定值.

设椭圆上的点,

则，P到直线的距离，

所以，

所以，当时，（定值）.

即存在，使得P到和P到直线的距离之比为定值.

②设椭圆上的点，则，

又椭圆在点处的切线方程为，

证明如下：对于椭圆，

当，，则，

所以椭圆在处的切线方程为，

又由，可以整理切线方程为：，

即切线方程为，即，也即.

所以椭圆在点处的切线方程为，

同理可证：当，椭圆在点处的切线方程为，

综述：椭圆在点处的切线方程为，

所以在点处的切线的斜率为，

又由光学性质可知：直线，所以，则.

所以，

，

那么.

12．（1）（2）证明见解析，（3）

【解析】（1）根据题意直接计算得到答案.

（2）设方程，联立方程，利用韦达定理得到，

计算，代入化简得到答案.

（3）设其中，将向量坐标代入并化简得，计算得到答案.

【详解】（1）由得所以椭圆的方程为

（2）∴又∴设方程为

由

设，则

由

∴

∴即存在满足条件

（3）由题意可知：，

设其中，将向量坐标代入并化简得：

，因为，所以

而，所以

【点睛】本题考查了椭圆方程，韦达定理的应用，向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

13．（1）；（2）．

【分析】（1）根据题意设出圆的标准方程，利用切线的性质、等腰直角三角形的性质，结合椭圆中的关系进行求解即可；

（2）根据题意设出直线l的方程和点P的坐标，将直线与椭圆的方程联立，根据直线与椭圆的位置关系，结合一元二次根的判别式、根与系数的关系、平面向量加法和数乘的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】（1）由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为

，∴圆心到直线的距离为（*）

∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

∴，

代入（*）式得，∴，

故所求椭圆方程为

（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为，设，

将直线方程代入椭圆方程得，

，，

设，，则，

由，

当时，直线l为x轴，P点在椭圆上适合题意；

当时，得

∴，

将上式代入椭圆方程得：，

整理得：，

由知，所以，∴

综上可得

【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了圆的切线性质，考查了待定系数法，考查了数学运算能力.

14．（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据离心率得到，再根据直线与圆相切，求出，从而有，进一步得到椭圆C的方程；

（2）由题意得，即，将直线，代入椭圆方程可得，通过韦达定理进一步化简从而得出结论.

【详解】（1）解：椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的离心率为，

即有，即，，

以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为，

直线与圆相切，则有，

即有，

则椭圆C的方程为；

（2）证明：设，，

由，可得直线和关于x轴对称，

即有，即，

即有，①

设直线，代入椭圆方程，

可得，

判别式，

即为②，，③，

，，

代入①可得，，

将③代入，化简可得，

则直线的方程为，即.

即有直线恒过定点.

【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，以及直线过定点的知识点，注意运用直线和圆相切的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

15．（1）；（2）－<m<；（3）证明见解析，定值为-8.

【解析】（1）根据过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，有，再结合e＝＝求解.

(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，根据F1(－，0)，F2(，0)，写出直线PF1，PF2的方程，根据∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，点M到两边的距离相等，结合点P在椭圆上化简,再利用椭圆的范围求解.

(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)，与椭圆方程联立，由Δ＝0，结合，求得k＝，再由(2)计算，然后由求解.

【详解】（1）由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程，

得y＝.由题意知，即a＝2b2.

又e＝＝，

所以a＝2，b＝1.

所以椭圆C的方程为.

(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，

又F1(－，0)，F2(，0)，

所以直线PF1，PF2的方程分别为

lPF1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，

lPF2：y0x－(x0-)y-y0＝0，

由题意知，

由于点P在椭圆上，所以，

所以.

因为－<m<，－2<x0<2，

可得，

所以m＝x0，因此－<m<.

(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，

则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．

联立得，

整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(－2kx0y0＋k2－1)＝0.

由题意Δ＝0，即(4－)k2＋2x0y0k＋1－=0.

又，

所以16k2＋8x0y0k＋＝0，故k＝.

由(2)知，

所以，

因此为定值，这个定值为－8.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．