初中数学北师大版八年级下册4 角平分线导学案

角平分线

知识点

1、角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.  定理的作用： ①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；

2、角平分线性质定理的逆定理： 在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的作用：  用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。                                

3、三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.

（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.

运用角平分线的性质时应注意以下三个问题：

（1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长；

（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质；

（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直。

补充知识点

尺规作图画角平分线（题设中有关作图痕迹，要能识别角平分线的作法）

（1）、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。

（2）、分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。 （3）、画射线OC。射线OC即为所求.

点对点例题：

1、如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，则下列结论成立的是（   ）

A、BD=CD    B、DE=DF     C、∠B＝∠C      D、AB=AC

【解题思路】判定已知三角形全等，利用角平分线性质解题。

2、若∠AOB的平分线上一点P到OA的距离等于5，Q是射线OB上的任一点，则关于PQ的说法正确的是（　　）

A．PQ＞5           B．PQ＜5             C．PQ≥5           D．PQ≤5

【解题思路】作出题设中的示意图，利用角平分线的性质（注意垂线段最短）即可。

3、如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（  ）

A．100°         B．110°         C．115°       D．120°

【解题思路】利用角平分线的定义；将一个角分成等大的两个角，结合三角形的内角和定理。

4、在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D。如果AB＝8，CD＝2，那么△ABD的面积等于　　　　　。

【解题思路】角平分线上的点到两边的距离相等，作出相应辅助线，结合三角形面积公式求解

5、如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．

求证：BD平分∠ABC．

【解题思路】在AB上截取ME=BN，可证得△BND≌△EMD，进而利用全等三角形性质可知边角关系，结合角平分线性质即可得证。

6、如图所示，BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：D在∠BAC的角平分线上．

【解题思路】根据题设找到三角形全等，利用全等三角形的对应边相等，结合角平分线的逆定理可得证。

学习自测：

1、角的平分线的性质，其理论依据是全等三角形判定定理（　　）

A．SAS           B．HL            C．AAS            D．ASA

2、三角形中，到三边距离相等的点是：（    ）

A、三条高线的交点   B、三条中线的交点  C、三条角平分线的交点  D、三边垂直平分线的交点

3、在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为（   ）A、12cm      B、10cm      C、14cm      D、11cm

4、如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（　　）

A．2      B．      C．       D．

题4图         题5图

5、如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的有（    ）A、AF平分BC              B．AF平分∠BAC  C．AF⊥BC              D．以上结论都正确

6、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=        ．

题6图        题7图

7、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D。若BD＝10cm，BC＝8cm，则点D到直线AB的距离是_____________cm。

8、如图，△ABC两内角的平分线AO、BO相交于点O，若∠AOB=110°，则∠C=        °．

 9、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DEB的周长等于AB的长．

10. 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.

11、已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E．求证：PD=PE．

12、如图，，于，于，和交于点。求证：平分。

13、已知，如图，∠B=∠C=90º，M是BC的中点，DM平分∠ADC.

（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；

（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.