人教A版必修第一册基础重点难点题型高分突破第1章集合与常用逻辑术语单元综合检测（难点）（Word版附解析）

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第1章 集合与常用逻辑术语 单元综合检测（难点）一、单选题1．已知命题：，，使得，则为（       ）A．，，使得 B．，，使得C．，，使得 D．，，使得【答案】C【解析】【分析】由全称命题和特称命题的否定形式，可得解由全称命题和特称命题的否定形式，可得命题：，，使得的否定为：，，使得故选：C2．已知命题：当时，关于x的方程没有实数解．下列说法正确的是（       ）A．p是全称量词命题，且是假命题 B．p是全称量词命题，且是真命题C．p是存在量词命题，且是假命题 D．p是存在量词命题，且是真命题【答案】A【解析】【分析】对的理解是取遍区间的所有实数，当时方程有解，从而判断原命题为假命题.原命题的含义是“对于任意，方程都没有实数解”，但当时，方程有实数解，故命题是全称量词命题，且为假命题，故选：A3．设集合，则下列说法一定正确的是（       ）A．若，则B．若，则C．若，则有4个元素D．若，则【答案】D【解析】【分析】首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.（1）当时，，；（2）当时，，；（3）当时，，；（4）当时，，；综上可知A，B，C，不正确，D正确故选：D4．如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】找到每一个选项对应的区域即得解.解：如图所示， A. 对应的是区域1；       B. 对应的是区域2；C. 对应的是区域3；       D. 对应的是区域4.故选：B5．设I为全集，、、是I的三个非空子集且.则下面论断正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】画出关于且含7个不同区域的韦恩图，根据韦恩图结合集合的交并补运算确定各选项中对应集合所包含的区域，并判断包含关系.将分为7个部分(各部分可能为空或非空)，如下图示：所以、、，则，，，所以，故，A错误；，故，B错误；，C正确；，显然与没有包含关系，D错误.故选：C6．设，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．当时，若，不能推出，不满足充分性；当，则，有，满足必要性；所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B7．设全集且，，若，，则这样的集合共有（       ）A．个 B．个C．个 D．个【答案】D【解析】【分析】先求出全集，再求出集合的子集即为，再进行补集运算可得集合，进而可得正确选项.且，的子集有，，，，，，，，的子集有个，，所以有个，因为，所以存在一个即有一个相应的，所以，，，，，，，有个，故选：D.8．已知集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，.设集合中有个元素，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】分析可得至少有 个元素，至多有个元素，由，由补集的定义即可求解.集合中有10个元素，中有6个元素，因为，至少有 个元素，至多有个元素，所以至多有个元素，至少有个 元素，集合有个元素，则且为正整数.即的取值范围是，故选：.二、多选题9．下列说法正确的是（       ）A．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题B．“”是“”的充要条件C．命题“”的否定是“”D．若“”的必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是【答案】CD【解析】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项．是无理数，是有理数，A错；时，，但，不是充要条件，B错；命题的否定是：，C正确；“”的必要不充分条件是“”，则，两个等号不同时取得．解得．D正确．故选：CD．【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题要求掌握的知识点较多，需要对四个选项一一判断．但求解时根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断，对有些错误的命题可以举例说明其不正确．10．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是 （       ）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【解析】【分析】根据题设有，但⇏，即知否定命题的推出关系，判断各项的正误.由题意，，但⇏，故①②正确，③错误；所以，根据等价关系知：且⇏，故④正确.故选：ABD11．我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（       ）A．已知，，则B．已知或，，则或C．如果，那么D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则【答案】BCD【解析】【分析】由题意可知即先求，的交集，然后求其以为全集的补集，结合差集定义依次判断各个选项即可．由题意可知，即先求，的交集，然后求其以为全集的补集．对于A：根据差集的定义可知：若，，则，故选项A不正确；对于B：或，，则或，故或，故选项B正确；对于C：如果，则，故，故选项C正确；对于D：因为，故选项D正确．故选：BCD12．当一个非空数集满足“如果,则,且时,”时,我们称就是一个数域,以下关于数域的说法:①0是任何数域的元素;②若数域有非零元素,则;③集合是一个数域;④有理数集是一个数域;⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有A．①② B．②③ C．③④ D．④⑤【答案】AD【解析】【分析】利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，题目给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证.①当时，由数域的定义可知，若，则有，即，故①是真命题;②当时，由数域的定义可知，若，则有，即，若，则，则， 则，故②是真命题；③当时，，故③是假命题；④若，则，且时,，故④是真命题；⑤，当且时，则，因此只要这个数不为就一定成对出现，所以有限数域的元素个数必为奇数，所以⑤是真命题.故选：.【点睛】本题考查学生对新定义题型的理解和把握能力，理解数域的定义是解决该题的关键，题目着重考查学生的构造性思维，一定要读懂题目再入手，没有一个条件是多余的，是难题.三、填空题13．，，已知是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】由已知，集合A是集合B的真子集，以此列不等式组，即可求解的取值范围由已知，集合A是集合B的真子集，即需满足不等式组且等号不同时成立解得故答案为：14．已知命题：“，”，命题：“，”，的否定是假命题，是真命题，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据给定的全称量词命题和存在量词命题都是真命题分别求出a的取值范围，再求其公共部分即可得解.由，得，，因的否定是假命题，则是真命题，于是得，因，，即方程有实根，则，解得，又是真命题，则，因此，由是真命题，也是真命题，可得，所以实数的取值范围是.故答案为：15．已知是方程的解集，={1，3，5，7，9}，={1，4，7，10}且，，则= _________.【答案】26【解析】【分析】根据集合之间的关系，确定一元二次方程的解集，即可由根与系数关系求得.对方程，显然有两个根，故可得集合中有两个元素；因为，故可得中的两个元素一定在集合中；又因为，故可得中的所有元素都不在中；综上可得：中的元素一定是和，由根与系数的关系可得：，则.故答案为：.16．我们将称为集合的“长度”．若集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值为______．【答案】2021【解析】【分析】对的取值进行分类讨论，结合“长度”的定义求得集合的“长度”的最小值.由题意得，的“长度”为2022，的“长度”为2023，要使的“长度”最小，则，分别在的两端．当，时，得，，则，此时集合的“长度”为；当，时，，，则，此时集合的“长度”为．故的“长度”的最小值为2021．故答案为：四、解答题17．已知全集为R，集合，.(1)求A∪B;(2)求;(3)若，且,求a的取值范围.【答案】(1).(2)或.(3)或.【解析】【分析】（1）解出集合B，即可求出A∪B；（2）先求，再求；（3）先求出或，根据，列不等式，求出a的范围.(1).所以.(2)因为，，所以，所以或.(3)因为，所以或.因为，且，所以或，解得：或.即a的取值范围或.18．已知集合，集合．（1）当时，求和；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）或，；（2）或.【解析】（1）当时，得出集合，解分式不等式即可得集合，再根据补集和并集的运算，从而可求出；(2)由题意知，当时，；当时，或，从而可求出实数的取值范围.解：（1）由题可知，当时，则，或，则，所以.（2）由题可知，是的必要不充分条件，则，当时，，解得：；当时，或，解得：或；综上所得：或.【点睛】结论点睛：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．19．已知：命题1：关于的方程最多有一个实数根，记满足条件的的取值范围构成集合A. 命题2：，记此不等式的解集为B. 命题3：，且是的充分条件，记满足条件的的取值范围构成集合C.（1）求集合A，B，C；（2）命题1、命题2和命题3中有且仅有一个真命题，求的取值范围.【答案】（1），，；（2）.【解析】【分析】（1）根据二次方程根的分布、解绝对值不等式、充分条件，即可得到答案；（2）分三类情况，即可得到结果.（1）命题1：当时，，，满足题意，当时，，即，综上，；命题2：，，∴；命题3：∵是的充分条件，即是的充分条件，∴，∴ ，∴，即；（2）若命题1为真，命题2和命题3为假，则，若命题2为真，命题1和命题3为假，则，若命题3为真，命题1和命题2为假，则，综上，的取值范围.20．已知集合，，（1）若，，总有成立，求实数的取值范围；（2）若，，使得成立，求实数的取值范围；（3）若，，使得成立，求实数的取值范围；（4）若，，使得成立，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）由，，总有成立，则，列出不等式，继而得出答案；（2）由，，使得成立，则，列出不等式，继而得出答案；（3）由，，使得成立，则，列出不等式，继而得出答案；（4）由，，使得成立，则，列出不等式，继而得出答案；（1）设，，其中，由题设可得即，故，解得.（2）由题设可得，故，解得.（3）设，，其中，由题设可得即，故或，解得.（4）由题设可得，故或，解得.21．设集合.（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）为偶数，证明见解析.【解析】【分析】（1）设，，则对进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即可；（2）用反证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性.（1）设集合中的元素，，所以，因为，所以，，所以有，，则，所以属于的两个整数，其积也属于.（2）因为，所以；假设，则，因为，所以与有相同奇偶性，因为33为奇数，所以与一个为奇数一个为偶数，则与有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以；假设，同上可得，因为，所以与有相同奇偶性，因为34为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以.（3）“偶数属于”的一个充要条件是为偶数.充分性：因为为偶数，设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于；必要性：因为偶数属于，所以，因为，所以与有相同奇偶性，因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即必为2的倍数，所以为偶数.【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系以及充要条件，解题的关键是会用反证法证明，以及会证明充要条件.22．设集合为非空数集，定义，、，，、．(1)若，，写出集合、；(2)若，，，，，且，求证：；(3)若，且，求集合元素个数的最大值．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)1348. 【解析】【分析】(1)根据新定义，直接得出集合；(2)根据两集合相等即可得出的关系；(3)通过假设A集合，求出相应的，根据列出不等式即可求出结果.(1)由题意知，，得；(2)由于集合，且，所以集合中有且仅有4个元素，即剩下的元素满足，即；(3)设满足题意，其中，则，所以，，所以，因为，由容斥原理，，最小的元素为0，最大的元素为，所以，所以，解得，实际上当时满足题意，证明如下：设，则，，依题意，有，即，所以m的最小值为674，于是当时，集合A中的元素最多，即时满足题意.综上所述，集合A中元素的个数的最大值为1348.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.