数学必修 第一册2.2 基本不等式测试题

这是一份数学必修 第一册2.2 基本不等式测试题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2.2 基本不等式
一、单选题
1．下列不等式恒成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由基本不等式，可判定A不正确；由，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；
【解析】由基本不等式可知，故A不正确；
由，可得，即恒成立，故B正确；
当时，不等式不成立，故C不正确；
当时，不等式不成立，故D不正确.
故选：B.
2．已知，则的最小值为（       ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.
【解析】因为，则，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为.
故选：C
3．已知a＞0，b＞0，a+b＝4，则下列各式中正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可
【解析】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝4，
所以，
当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确，A错误；
由基本不等式可知ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
故C错误；，D错误．
故选：B．
4．是的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解法一:根据充分条件与必要条件的概念，结合不等式的基本性质直接判断，即可得出结果.
解法二:利用基本不等式的等号成立的条件可以否定充分性，利用代数变形，结合不等式的基本性质可以论证必要性.
【解析】解法一：当时，满足，但，不成立，故是的不充分条件；
当时，不成立，当时无意义，即不成立，故是的必要条件；
综上，是的必要不充分条件.
解法二：当时，，，当且仅当时取等号，
所以是的不充分条件；
若，则，所以,故是的必要条件；
综上，是的必要不充分条件.
故选：B.
5．已知，，，则的最大值为（       ）
A． B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最大值
【解析】因为所以，从而．
当且仅当时等号成立.
故选：B
6．若a＞0，b＞0，且a≠b，则（       ）
A．＜＜ B．＜＜
C．＜＜ D．＜＜
【答案】B
【解析】利用基本不等式或作差法判断选项.
【解析】∵a，b∈R+，且a≠b，
∴a+b＞2，∴＜，
而＝＞0，
∴＜，
故选：B
7．已知，，，则的最小值是（       ）
A．2 B．8 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解.
【解析】解析：由得，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是4．
故选：C．
8．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（       ）．

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，从而可得结论
【解析】解：因为直角三角形的直角边长分别为和，所以大正方形的面积为
由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，
所以（）
故选：B
9．下列结论正确的是（       ）
A．当，且时，
B．当时，
C．当时，的最小值是
D．当时，的最小值为1
【答案】B
【分析】根据结合基本不等式，即可判断A；
直接利用基本不等式即可判断BC，注意取等号的条件；
根据结合基本不等式，即可判断D.
【解析】解：因为，且，
所以，当且仅当，，即，时等号成立，所以，故A错误：
当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
当时，，当且仅当．即时等号成立，但已知条件中，故C错误；
当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故D错误．
故选：B.
10．已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（       ）
A．10 B．12 C．16 D．9
【答案】D
【分析】利用参变分离的方法将不等式变形为恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项.
【解析】由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，
当且仅当时取等
所以．
故选：D．
11．若x>1，则有（       ）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值-1 D．最大值-1
【答案】A
【分析】将给定表达式整理变形，再利用基本不等式即可作答.
【解析】因x>1，则1，当且仅当，即时取等号.
所以有最小值为1.
故选：A
12．设a，b，c，d均为大于零的实数，且abcd＝1，令m＝a（b+c+d）+b（c+d）+cd，则a2+b2+m的最小值为（　　）
A．8 B．4+2 C．5+2 D．4
【答案】B
【分析】根据条件可得，然后利用重要不等式和基本不等式可求出的最小值．
【解析】解：，，，均大于零且，，


，
当且仅当，，，即，时取等号，
的最小值为．
故选：．
【点睛】本题考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．

二、多选题
13．(多选题)下列不等式不一定成立的是（       ）
A．x＋≥2 B．≥ C． D．2－3x－≥2
【答案】AD
【分析】取可判断A；由可判断B；由基本不等式可判断C；取可判断D.
【解析】对于选项A：当x