高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步测试题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2.3.2二次函数与一元二次方程、不等式
一、单选题
1．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（       ）

A． B．或 C． D．或
【答案】A
【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.
【解析】由二次函数图象知：有.
故选：A
2．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】由题意知在上有解，等价于，解不等式即可求实数的取值范围.
【解析】因为关于的不等式在上有解，
即在上有解，
只需的图象与轴有公共点，
所以，
即，所以，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：A.
3．设，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【解析】，则或，不满足，如，不充分，
时，，满足，必要性满足．
应为必要不充分条件．
故选：B．
4．不等式的解集为，则实数的取值范围是（       ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式的解集，讨论、结合判别式求a的范围.
【解析】因为不等式的解集为，
所以不等式的解集为R．
当，即时，，符合题意．
当，即时，，解得．
综上，实数的取值范围是．
故选：C
5．关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题知对恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可.
【解析】解：因为不等式对恒成立，
所以对恒成立，
所以，当时，对恒成立．
当时，由题意，得，即，解得，
综上，的取值范围为．
故选：C
6．若存在x使得有正值，则m的取值范围是（       ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的图象，结合判别式，即可求解.
【解析】是开口向下的抛物线，若存在使，
则，解得：或.
故选：A
7．已知（）的解集为A，且，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，先求出集合，再根据包含关系，即可求解.
【解析】由且，得（）的解集．
因为，所以，解得．
故选：A．
8．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.
【解析】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.
所以，即实数a的最小值为.
故选：D.
9．已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．
【答案】C
【分析】把不等式看作是关于的一元一次不等式，然后构造函数，由不等式在，上恒成立，得到，求解关于的不等式组得得取值范围．
【解析】解：令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，
解得：或．
的取值范围为．
故选：C．
10．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（       ）
A． B． C．或1 D．或4
【答案】A
【分析】，利用韦达定理可得答案.
【解析】关于x的方程有两个实数根，
，
解得：，
关于x的方程有两个实数根，，
，，
，即，
解得：或舍去
故选：A.
11．已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令，根据二次方程根的分布可得式子，计算即可.
【解析】令
由题可知：
则，即
故选：C
12．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据的解集是可得b，c的值，然后不等式恒成立，分离参数转化最值问题即可求解.
【解析】由题意得和是关于的方程的两个实数根，则，解得，
则，由得，当时，
，故.
故选：B.

二、多选题
13．下列结论错误的是（       ）
A．若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R
B．不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a1的解集为x0时才成立；
B选项当a=b=0，c≤0时也成立；
C选项x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R，则，得a≤-，正确；
D选项>1的解集为．
故选：ABD
14．关于x的不等式的解集为，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由题意知，是方程的两根，利用韦达定理可求得，，再根据即可得出答案.
【解析】解：由题意知，是方程的两根，所以，，
则.
又，所以，所以.
故选：AC.
15．已知关于x的一元二次方程(3a2+4)x2-18ax+15=0有两个实根x1，x2，则下列结论正确的有（       ）
A．或 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用判别式和韦达定理可判断各选项中的等式或不等式是否成立，从而可得正确的选项.
【解析】因为有两个不等式的实根，
所以，故，所以或.
故A正确.
由韦达定理可得，
所以，故B正确.
，故C错误.
因为，所以，故，
若，则即，矛盾，故.
若，则，故，即，
故，矛盾.
所以，故D成立.
故选：ABD.
【点睛】本题考查一元二次方程的有解问题，此类问题一般利用判别式和韦达定理来处理，本题属于中档题.
16．已知集合有且仅有两个子集，则下列选项中结论正确的是（       ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
【答案】AB
【分析】由题意，方程有且只有一个根，所以，即，再利用基本不等式和不等式的性质，即可求解.
【解析】解：由题意，方程有且只有一个根，所以，即，
对A：等价于，显然，所以A选项正确；
对B：，故B选项正确；
对C：因为不等式的解集为，所以，所以C选项错误；
对D：因为不等式的解集为，且，
则方程的两根为，
所以，
所以，故D选项错误.
故选：AB.
17．已知关于x的不等式，下列结论正确的是(     )
A．当时，不等式的解集为
B．当时，不等式的解集可以为的形式
C．不等式的解集恰好为，那么
D．不等式的解集恰好为，那么
【答案】AD
【分析】A：分析函数的最值与，进行比较即可；
B：在同一直角坐标系中，作出函数的图象以及直线和直线，由图象分析，即可判断选项
CD：利用的图象与对应不等式的关系解答即可；
【解析】解：设，，则；
对于A：∵，∴当时，不等式的解集为，所以A正确；
对于B：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示：

由图知，当a＝2时，不等式的解集为的形式，故B错误；
对于CD：由的图象知，若不等式的解集为连续不间断的区间，则，且；
若解集为，，则(a)(b)，且，
因为，所以(b)，解得或，
因为，所以，所以，所以，
所以C错误、D正确．
故选：AD
18．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程，在复数集内的根为，，，，则下列结论正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】由，并展开右式即可判断各选项的正误.
【解析】由题设知：，
∴，
∴，
∴，，，.
故选：AC

三、填空题
19．若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是__________．
【答案】{m|m≥9或m≤1}
【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.
【解析】由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，
∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，
即m2－10m＋9≥0，
∴(m－9)(m－1)≥0，
∴m≥9或m≤1.
故答案为：{m|m≥9或m≤1}
20．若“对于一切实数x，”是“对于一切实数x，”的充分条件，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意，结合不等式恒成立，分别表示出的范围，在结合充分条件的集合方法，即可处理.
【解析】∵对恒成立，∴，解得．
又对恒成立，当时不可能恒成立，
∴，解得．
∵“对于一切实数x，”是“对于一切实数x，”的充分条件，∴，解得．
故答案为：.
21．若存在实数满足，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】先分离参数将不等式化为，再结合二次函数求最值即可.
【解析】解：由题意可得，存在实数时，
令，
即
，对称轴为：
所以在单调递增
故
即
所以实数a的取值范围为：
故答案为：
22．命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】按照命题甲为真，命题乙为真，得到对应的的取值范围，然后由命题甲、乙中有且只有一个是真命题，分为甲真乙假和甲假乙真两种情况进行讨论，得到答案.
【解析】命题甲：集合为空集，
即方程没有实数解，
当时，方程变为，故无解，符合题意
当时，，即，
综上命题甲为真，则.
命题乙：关于的不等式的解集为
则，解得，
所以命题乙为真，则，
因为命题甲、乙中有且只有一个是真命题，
所以当甲真乙假时，得，此时，
当甲假乙真时，得，即
综上所述，的取值范围为.
【点睛】本题考查复合命题的真假，二次函数的性质和分类讨论的思想，属于中档题.
23．研究问题：“已知关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(1，2)，解关于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0⇒a－b＋c＞0.令y＝，则y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集为.类比上述解法，已知关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式＋＜0的解集为________．
【答案】
【分析】根据题意，将替换x可得所求的方程，并且可知∈(－2，－1)∪(2，3)，从而求出的解集.
【解析】关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，
用－替换x，不等式可以化为＋＝＋＜0，
因为－∈(－2，－1)∪(2，3)，所以＜x＜1或－＜x＜－，
即不等式＋＜0的解集为∪
故答案为： ∪
【点睛】本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属于中档题.
24．已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．
【答案】
【分析】由对于一切实数恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，进而可得的值为1，将可化为，利用基本不等式可得结果.
【解析】因为对于一切实数恒成立，
所以，且，所以；
再由，使成立，
可得，所以，
所以，
因为，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：

四、解答题
25．利用函数与不等式的关系，若不等式的解集为，求不等式的解集．
【答案】
【分析】根据题意可得1和2是方程的两个根，且，则可得，代入不等式即可求出.
【解析】因为不等式的解集为，
所以1和2是方程的两个根，且，
则，所以，
不等式化为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
26．已知关于的不等式．
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）不等式整理成标准的一元二次不等式，由判别式可得参数范围；
（2）不等式换成以为主元，为一次不等式，这样只要和时不等式都成立即可得的范围．
（1）
若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立
则关于的方程的判别式，
即，解得，所以实数的取值范围为．
（2）
不等式，
可看成关于的一次不等式，又，
所以，解得且，所以实数的取值范围是．
27．已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．
(1)若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；
(2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．
【答案】(1)a＝﹣1，b＝2
(2)见解析

【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；
（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可.
(1)
由题意知，﹣1和3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的两根，
所以，解得a＝﹣1，b＝2；
(2)
当b＝2时，不等式ax2+bx﹣a+2＞0为ax2+2x﹣a+2＞0，
即（ax﹣a+2）（x+1）＞0，所以，
当即时，解集为；
当即时，解集为或；
当即时，解集为或.
28．已知不等式的解集为
(1)求，的值；
(2)解不等式.
【答案】(1)，
(2)答案见解析

【分析】（1）依题意可得或是方程的根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得原不等式可化为，再对参数分类讨论，即可得解；
(1)
解：因为不等式的解集为或，
所以或是方程的根，
根据韦达定理，
解得，
(2)
解：由（1）可知不等式化为，
即
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为
29．(1)若关于x的不等式的解集为，求实数k的值；
(2)若当时，关于x的方程有解，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系即可求解；
（2）原问题等价于，，然后利用二次函数的性质即可求解.
(1)
解：因为的解集是，
所以，1是关于x的方程的两个根，
所以，解得；
(2)
解：因为当时，关于x的方程有解，
所以当时，有解，即
因为二次函数在上单调递增，
所以，
所以，
所以，
所以实数k的取值范围为．
30．（1）若对于一切实数x，恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解；
（2）将恒成立，转化为对恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【解析】（1）当时，不等式恒成立；
当时，要使得对于一切实数x，恒成立，
则满足，解得，
综上可得，实数m的取值范围为．
（2）由不等式，可得，
因为，所以对恒成立，
令，可得，
当时，可得，所以，所以，
所以实数m的取值范围为．
31．在，，存在集合，非空集合，使得这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：求解实数，使得命题，，命题：______都是真命题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案不唯一，具体见解析
【分析】若选条件由命题为真，可得在上恒成立，求出的范围，通过命题为真，求出的范围，然后列出不等式组求解即可．
若选条件由命题为真，可得在上恒成立，求出的范围，通过命题为真，求出的范围，然后列出不等式组求解即可．
【解析】若选条件，由命题为真，可得在上恒成立．
因为，所以，所以．
由命题q为真，则方程有解．
所以，所以．
又因为都为真命题，所以，所以．所以实数的值为1．
若选条件，由命题为真，可得在上恒成立．
因为，所以．所以．
由命题为真，可得或，因为非空集合，所以必有，
所以或，
又因为都为真命题，所以，解得．
所以实数a的取值范围是．
32．已知关于x的不等式的解集为M．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据是不等式的解集，得到，再根据两个不等式的关系求解；
（2）将不等式转化为 ，再根据M中的一个元素是0，将x=0代入求解.
(1)
解：因为是不等式的解集，
所以，
不等式，即为，
所以或，
所以不等式的解集是；
(2)
不等式转化为： ，
因为M中的一个元素是0，
所以，
解得 或 ，
所以实数a的取值范围是 .
33．为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)75人
(2)存在，7

【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；
（2）由条件可得，，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.
(1)
依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，()
解得，
又，，所以调整后的技术人员的人数最多75人；
(2)
假设存在实数m满足条件.
由技术人员年人均投入不减少有，解得.
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以得，
整理得，
故有，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
又因为，，所以当时，取得最大值7，所以，
，即存在这样的m满足条件，其范围为.
34．已知关于x的不等式.
(1)若对任意实数x不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围.
【答案】(1)不存在
(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式的性质可得且，解不等式即可；
（2）更换主元，将看成自变量，转化成一次不等式恒成立问题，得到答案.
(1)
原不等式等价于，
若对于任意实数x恒成立，当且仅当且，
即，此不等式组的解集为，
所以不存在实数m，使不等式对任意实数x恒成立.
(2)
设，
当时，可看作关于m的一次函数，其图象是线段，
所以若对于，恒成立，
则当或时，恒成立，即，
由①，得，
由②，得或，
所以，
所以实数x的取值范围是.
35．（1）若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；
（2）设，且，若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意得到，解得答案.
（2）化简得到，根据题意得到，利用均值不等式得到答案.
【解析】（1）由题意知关于x的不等式的解集为R，
所以，即，
所以，即实数a的取值范围是．
（2）由题意知不等式恒成立，即 恒成立．
因为，，因为
当且仅当，即，时取等号，
所以实数a的取值范围是．
36．命题A:、是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题B：不等式（）有解.若A且B为真，求：m的取值范围.
【答案】
【分析】由韦达定理求出，然后求得，进而求出的取值范围，由已知条件可得，进而求出命题A:对应的m的取值范围。构造函数（），讨论去掉绝对值号求出函数的最大值2m，由不等式（）有解得2m>1,进而求出命题B对应的m的取值范围。由A且B为真，可知A、B都为真命题，即可求得结果。
【解析】因为、是方程的两个实根，所以，
所以， ，因为，所以，因为不等式对任意实数恒成立，所以，所以或，即或，解得或或。所以，命题A: 或或。
令（），则，结合该函数的性质可知，该函数的最大值为2m，由不等式（）有解，可得2m>1,解得 。所以命题B： 。
因为A且B为真，所以 ，所以 或 。
所以，m的取值范围为。
【点睛】本题考查不等式的恒成立和有解问题，解决此类问题，都是转化为求函数的最值问题。如不等式 恒成立，则；不等式 有解，则。