高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数习题

3.3 幂函数（重点）

一、单选题

1．下列命题正确的是（       ）

A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限

C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点

【答案】D

【分析】通过举反例可判断A、C项，根据幂函数的性质可判断B项，根据幂函数的性质集合偶函数的定义可判断D项.

【解析】解：对于A，幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A项错误；

对于B，的图象过第一、三象限，故B项错误；

对于C，与的图象有三个交点，这两个函数不相同，故C项错误；

对于D，因为幂函数的图象都经过点，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点，故D项正确．

故选：D．

2．函数的图像可能是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】结合函数定义域以及幂函数性质，即可判断

【解析】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．

故选：C

3．已知，，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据幂函数以及指数函数的单调性即可比较大小.

【解析】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．

故选:D．

4．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；

【解析】根据幂函数的性质，

在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，

所以由图像得：，

故选：D

5．给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征判断即可

【解析】由题，满足条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.

故选：A

6．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（     ）

A． B．

C．或 D．

【答案】A

【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.

【解析】因为函数既是幂函数又是的减函数，

所以解得：.

故选：A.

7．函数的单调递增区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可得出答案.

【解析】解：，则或，

所以函数的定义域为，

令，此函数在上递减，在上递增，

又函数为增函数，

所以函数的单调递增区间是

故选：D.

8．指数函数在上是减函数，则函数在上的单调性为（       ）

A．单调递减 B．在上递增，在上递减

C．单调递增 D．在上递增，在上递增

【答案】D

【分析】根据指数函数的单调性可得，再根据幂函数的单调性即可判断.

【解析】∵为上的减函数，∴，∴.

∵函数在上为减函数，在上为减函数，

∴在上为增函数，在上为增函数.

故选：D.

9．已知幂函数为偶函数，若函数在［2，4]上单调，则实数a的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数的特征和性质可得，代入，根据二次函数的单调性即可列出不等关系求解.

【解析】依题意有，解得或．又函数为偶函数，故为偶数，则，所以，，若单调递增，则，若单调递减，则，故或，解得或．

故选：B．

10．已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（       ）

A．［－1,0] B． C．［0,2] D．

【答案】B

【分析】根据幂函数经过的点可求解析式，代入中通过分离常数法即可求解.

【解析】解法一：因为幂函数的图象过点 ，所以，可得，所以，．因为，所以，故．因此，函数在区间[1,9]上的值域为．

故选：B．

解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，

所以．因为，所以．因为，

所以，所以，解得，即函数在区间[1,9]上的值域为．

故选：B．

11．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.

【解析】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．

当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；

当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．

不等式化为，

函数在和上单调递减，

故或或，解得或．

故应选：D．

12．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（        ）

A． B．或 C．或 D．

【答案】D

【分析】先根据幂函数定义解得m,再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果.

【解析】由题意，则，即，当时， ，又当时， ，∴，解得，故选D．

【点睛】对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空．

二、多选题

13．关于幂函数，下列说法错误的是（       ）

A．当时，图象是一条直线 B．图象都过点和

C．若是奇函数，则一定是增函数 D．图象不可能经过第四象限

【答案】ABC

【分析】根据函数的定义域为，可判断选项A；

当时，幂函数的图象不过点，从而可判断选项B；

可以举例说明，从而判断选项C；

根据当时，，可判断出幂函数的图象不可能经过第四象限.

【解析】当时，，其定义域为，所以图象不是一条直线，故A说法错误；

幂函数的图象不过点，故B说法错误；

幂函数是奇函数，但不是增函数，故C说法错误；

因为当时，，故幂函数的图象不可能经过第四象限，故D说法正确.

故选：ABC.

14．已知幂函数，则（       ）

A． B．定义域为

C． D．

【答案】AC

【分析】根据为幂函数得可判断A；根据幂函数的解析式可判断B；利用单调性可判断C；

计算可判断D.

【解析】为幂函数，，得，A对；

函数的定义域为，B错误；

由于在上为增函数，，C对；

，，D错误，

故选：AC.

15．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（       ）

A．函数为增函数

B．函数为减函数

C．若，则

D．若，则

【答案】AC

【分析】求出函数的解析式，根据幂函数的图像性质即可逐项求解.

【解析】设幂函数为实数，∵其图像经过点，∴，解得，

∴，其定义域为，且在上为增函数，A正确；

时，，选项C正确；

∵函数是上凸函数，

∴对定义域内任意的，都有成立，选项D错误.

故选：AC.

16．已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（       ）

A． 且 B． 且

C． 且 D．以上都可能

【答案】BC

【分析】先求出幂函数的解析式，，根据奇函数和增函数解不等式，即可得到.

【解析】因为为幂函数，

所以，解得：m=2或m=-1.

因为任意，且，都满足，

不妨设，则有，所以为增函数，

所以m=2，此时

因为，所以为奇函数.

因为且，

所以.

因为为增函数，

所以，所以.

故BC正确.

故选：BC

三、填空题

17．（1）函数的定义域是________，值域是________；

（2）函数的定义域是________，值域是________；

（3）函数的定义域是________，值域是________；

（4）函数的定义域是________，值域是________．

【答案】                                       

【分析】画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域

【解析】（1）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,

（2）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,

（3）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,

（4）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,

故答案为：（1）;,

（2）;,

（3）;,

（4）;.

18．已知幂函数在上单调递增，则m＝______．

【答案】4

【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.

【解析】由题意可得，解得

故答案为：4.

19．幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.

【答案】1

【分析】根据函数图象可判断单调性，进而可得，为整数，由验证是否是偶函数即可求解.

【解析】有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故

故答案为：

20．已知a、b为正实数且，函数的定义域为．若函数在区间上的最大值为5，最小值为2，则函数在区间上的最大值与最小值的和为______．

【答案】7或##或7

【分析】由幂函数的性质求解即可

【解析】令，．

由幂函数的性质，可知的图像关于原点对称或者关于y轴对称．

又因为函数在区间上的最大值为5，最小值为2，

所以，当的图像关于原点对称时，

在区间上的最大值为7，最小值为4，

在区间上的最大值为，最小值为，

于是在区间上的最大值为，最小值为．

所以在区间上的最大值与最小值的和为；

同理可得，当的图像关于y轴对称时，

在区间上的最大值为5，最小值为2．

所以在区间上的最大值与最小值的和为；

因此，在区间上的最大值与最小值的和为7或．

故答案为：7或．

四、解答题

21．比较下列几组值的大小：

(1)和；

(2)和；

(3)和；

(4)，，．

【答案】(1)

(2)

(3)>

(4)

【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数函数的单调性分析比较大小即可

（1）

由于，．

∵在上为增函数，且，

∴，即；

（2）

由于．

∵在上为减函数，且，

∴；

（3）

∵在上为减函数，在上为增函数，且，

∴，，

∴；

（4）

∵，在上为增函数，且

∴，

∴．

22．已知幂函数．

(1)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围；

(2)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意求得，由指数函数的单调性，即可求得参数的范围；

（2）根据题意求得，由指数函数的单调性，即可求得参数的范围.

(1)

根据题意，当时，，

因为指数函数（以为自变量，底数为常数）是单调减函数，

故，即的取值范围为.

(2)

根据题意，当时，，

因为指数函数（以为自变量，底数为常数）是单调增函数，

故，即的取值范围为.

23．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．

【答案】

【分析】根据幂函数的单调性，可知，又，则，再根据函数是偶函数，将分别代入验证可得答案.

【解析】因为幂函数在区间上单调递减，则，得，

又∵，∴或1．

因为函数是偶函数，将分别代入，

当时，，函数为是偶函数，满足条件.

当时，，函数为是偶函数，满足条件.

的解析式为．

24．结合图中的五个函数图象回答问题：

(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？

(2)写出每个函数的定义域、值域；

(3)写出每个函数的单调区间；

(4)从图中你发现了什么？

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析；

(3)答案见解析；

(4)答案见解析.

【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.

（1）

数形结合可知，的图象关于轴对称，故其为偶函数；

的图象关于原点对称，故都为奇函数.

（2）

数形结合可知：的定义域是，值域为；

的定义域都是，值域也是；

的定义域为，值域也为；

的定义域为，值域为.

（3）

数形结合可知：的单调增区间是：，无单调减区间；

的单调增区间是：，无单调减区间；

的单调减区间是：和，无单调增区间；

的单调减区间是，单调增区间是.

（4）

数形结合可知：

幂函数均恒过点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.

对幂函数，当，其一定在是单调增函数；当，在是单调减函数.

25．已知幂函数在上单调递增，函数．

(1)求m的值：

(2)当时，记，的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据幂函数定义和在第一象限内的单调性可构造方程组求得；

（2）由一次函数和指数函数单调性可求得，由并集结果可构造不等式组求得结果.

（1）

为幂函数且在上单调递增，，解得：；

（2）

由（1）知：，当时，，即；

当时，，即；

，

，解得：，即实数的取值范围为.

26．已知幂函数在区间上是减函数．

(1)求函数的解析式；

(2)讨论函数的奇偶性和单调性；

(3)求函数的值域．

【答案】(1)或或

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【分析】（1）依题意可得，求出的取值范围，再根据，即可得到，再代入求出函数解析式；

（2）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论；

（3）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论；

(1)

解：依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或

(2)

解：若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；

若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；

若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；

(3)

若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；

若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为；

若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；

27．已知幂函数为偶函数，

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在上的最大值为1，求实数的值.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）幂函数的系数为1，代入求出两种可能值，再根据函数奇偶性判断即可；

（2）二次函数性质，结合对称轴公式，动轴定区间分类讨论即可得解.

（1）

因为为幂函数

               所以

               因为为偶函数

               所以 故的解析式.

（2）

由（1）知，

               当即时，，即

               当即时，即

               综上所述：或

28．已知幂函数，且在区间上单调递减.

(1)求的解析式及定义域；

(2)设函数，求证：在上单调递减.

【答案】(1)，定义域为.

(2)证明见解析

【分析】（1）由幂函数的定义可得答案；

（2）求出利用单调性定义证明即可.

（1）

因为幂函数，在区间上单调递减，

所以，解得或，

所以，定义域为.

（2）

由（1）知函数，

设，则

因为，所以，，

所以，即，

所以在上单调递减.

29．设函数的定义域为D，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数．已知幂函数在内是单调增函数．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数，当的最小值是0时，求m的值；

(3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围．

【答案】(1)；

(2)-1；

(3)

【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解的值；

（2）求得，，，令，则函数转化为则，，，对分类讨论，求出最小值，即可求得的值；

（3）在，上单调递减，由“佳”函数的概念可得，利用换元法可求得，再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围．

(1)

（1）因为幂函数在内是单调增函数，

所以，解得，

所以函数的解析式为．

(2)

，，，

令，则，，则，，，

当，即时，的最小值为（1），

所以，解得；

当，即时，的最小值为，

所以，解得（舍；

当，即时，的最小值为（2），

所以，解得（舍．

综上，的值为．

(3)

，，则在，上单调递减，

因为是“佳”函数，

所以，

令，，

则，，所以，

所以，

所以，

因为，所以，所以，，

所以，代入，

得，

因为，所以，得，

令，，，

所以，该函数在，上单调递减，

所以，

所以实数的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：关于函数新定义问题，一般需要理解定义的内容，根据定义直接处理比较简单问题，加深对新定义的理解，本题中，需要根据是“A佳”函数，及函数的单调性转化为，换元后求出的关系，利用函数值域求解.