人教A版必修第一册基础重点难点题型高分突破第3章函数的概念与性质单元综合检测（难点）（Word版附解析）

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第3章 函数的概念与性质 单元综合检测（难点）
一、单选题
1．和函数是同一函数的是（　  ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相同的函数定义域，对应法则，值域都相同可知ABC不符合要求，D满足.
【解析】的定义域为，值域为，
对于A，与的对应法则不同，故不是同一个函数；
对于B，的值域为，故不是同一个函数；
对于C，的定义域为，故不是同一个函数；
对于D, ，故与是同一个函数.
故选：D
2．已知函数满足，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法，依次求得的值，结合已知条件，求得答案.
【解析】令 ，则，即，
令 ，则，即，
令 ，则，即，
令 ，则，即，
令 ，则，即，
故选：B
3．已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，利用函数的奇偶性、单调性解不等式.
【解析】令，因为函数是定义在R上的偶函数，
所以，即是定义在R上奇函数．
又，，且，都有成立，
所以在上单调递减，又是定义在R上奇函数，所以在R上单调递减，
所以，即，
所以，解得．故A，B，D错误.
故选：C．
4．函数的图象如图，则的解集为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据图象可得的定义域及函数过点，可求出的值，
进而得出的解析式，然后解绝对值不等式即可.
【解析】由图可知，的定义域的定义域为，且经过点，
而，解得，所以.
所以，解得.
所以，
所以不等式，得，
即，等价于，
解得，
综上，所求不等式的解集为.
故选：D.
5．定义在上的函数满足，若的图像关于点对称，且函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件构造函数，易得为奇函数，且单调递增，从而可求得不等式解集.
【解析】因为的图像关于点对称，
由图像平移变换可知的图像关于原点对称，即为奇函数，
令，则
即也为奇函数，
又函数在上单调递增，由对称性可知，在上递增，
又因为，所以
所以
即
所以，即解集为
故选:A.
6．已知图像开口向上的二次函数对任意都满足，若在区间上单调递减，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据判断出函数的对称轴，根据二次函数的单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.
【解析】由题意得函数的对称轴是直线，得图像开口向上.由在区间上单调递减可知，又，解得.
故选B.
【点睛】本小题主要考查二次函数的对称轴和单调性，考查不等式的解法，属于基础题.
7．设函数，函数，为实数，则下列命题正确的是（    ）
A．若的值域为，则
B．若的值域为，则
C．存在实数，且，使的值域为
D．存在实数，且，使的值域为
【答案】D
【分析】直接利用赋值法和函数的性质的应用判定A、B、C、D的结论．
【解析】解：对于A：取k＝1，b＝c＝0，，，
所以，
所以的值域为[0，+∞）．不满足k，故A错误，同时该例也说明D正确．
对于B：取k，b＝c＝0，，
，的值域为[0，+∞），不满足k≥0，
对于C：显然的函数值不可能无限小，即不可能为（﹣∞，0]．
故选：D．
8．已知 ，为个不同的幂函数，有下列命题：
① 函数 必过定点；
② 函数可能过点；
③ 若 ，则函数为偶函数；
④ 对于任意的一组数、、…、，一定存在各不相同的个数、、…、使得在上为增函数.其中真命题的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据题目中的条件和幂函数的图像与性质，对四个命题分别进行判断，从而得到答案.
【解析】命题①，因为 ，为个不同的幂函数，
且幂函数都经过点，
所以可得函数的图像一定过点，所以正确;
命题②，幂函数，若定义域中可取负数时，则幂函数图像一定过或者
，为个不同的幂函数，
若这个不同的幂函数都过，则函数的图像过，
若这个不同的幂函数有一个不过，则这个幂函数必过，则函数的图像过，
所以的图像不可能过，所以错误；
命题③若，若这个数中出现分子为奇数，分母为偶数的分数，则函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不为偶函数，所以错误.
命题④因为任意的一组数、、…、，一定存在各不相同的个数、、…、，
则当这个数中出现时，
，此时为常数函数，不是增函数，所以错误.
故选A.
【点睛】本题考查幂函数的图像特点，幂函数的奇偶性和单调性，属于中档题.

二、多选题
9．下列说法正确的是（    ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数在上的值域为
【答案】AC
【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.
【解析】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，
所以，即函数的值域为，故B不正确；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，
所以函数在上的值域为，故D不正确．
故选：AC．
10．已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（    ）
A．图象关于对称 B．
C．的最小正周期为4 D．对任意都有
【答案】BCD
【分析】根据函数的对称性和周期性依次判断选项即可.
【解析】为上的奇函数，则，. 为偶函数，即关于轴对称，则.
所以，则，故，则最小正周期为4；
对A，，故图象不关于对称，A错；
对B，，B对；
对C，最小正周期为4，，的最小正周期为4，C对；
对D，，D对；
故选：BCD
11．已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（    ）
A． 且 B． 且
C． 且 D．以上都可能
【答案】BC
【分析】先求出幂函数的解析式，，根据奇函数和增函数解不等式，即可得到.
【解析】因为为幂函数，
所以，解得：m=2或m=-1.
因为任意，且，都满足，
不妨设，则有，所以为增函数，
所以m=2，此时
因为，所以为奇函数.
因为且，
所以.
因为为增函数，
所以，所以.
故BC正确.
故选：BC
12．若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”
B．若，则存在区间M使为“弱增函数”
C．若，则为R上的“弱增函数”
D．若在区间上是“弱增函数”，则
【答案】ABD
【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.
【解析】对于A：在上为增函数，在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；
对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，由幂函数的性质可知，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，B正确；
对于C：为奇函数，且时，为增函数，由奇函数的对称性可知为R上的增函数，为偶函数，其在时为增函数，在时为减函数，故不是R上的“弱增函数”，C错误；
对于D：若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．
故选：ABD．

三、填空题
13．已知，则的值域为______.
【答案】
【分析】先求出，再结合二次函数的性质即可得出值域.
【解析】解：令，则，所以，
所以，
故的解析式为，其值域为.
故答案为：.
14．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策.
（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；
（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；
（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠.
该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；
方案二：一次性付款购买.
若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省______元.
【答案】700
【分析】根据方案一先判断出两次实际付款元与元对应的原价，然后根据两次的原价可计算出方案二的实际付款，由此可计算出所节省的钱.
【解析】因为且，所以实际付款元对应的原价为元，
又因为，所以实际付款元对应的原价大于元，
设实际付款元对应的原价为元，
所以，解得，
所以两次付款的原价之和为：元，
若按方案二付款，则实际付款为：元，
所以节省的钱为：元，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过两次实际的付款去计算原价，其中要注意根据实际付款的金额先判断购买农资金额的范围，然后再根据优惠政策去计算.
15．设函数，若函数存在最小值，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性分类讨论进行求解即可.
【解析】当时，函数单调递减，所以有，
当时，函数在上单调递增，此时，
因为存在最小值，
所以有，而，所以，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时当时，函数有最小值为，
因为存在最小值，
所以有，而，所以，
综上所述：，所以的最大值为，
故答案为：
16．关于函数的性质，有如下说法：
①若函数的定义域为，则一定是偶函数；
②已知是定义域内的增函数，且，则是减函数；
③若是定义域为的奇函数，则函数的图像关于点对称；
④已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是.
其中正确说法的序号有___________.
【答案】①③④
【分析】对于①，根据奇偶性的定义，可得答案；
对于②，根据单调性的定义，可得答案；
对于③，根据奇偶性的性质和图象变换，可得答案；
对于④，根据奇偶性的定义和单调性的性质，化简不等式，可得答案.
【解析】对于①，由题意，的定义域为，，所以为偶函数，故①正确；
对于②，由题意，，，则，
即，由于与零的大小无法确定，故错误；
对于③，由题意，函数的图象关于原点对称，而的图象是由函数的图象向右平移个单位得到的，由原点向右平移个单位得到，故正确；
对于④，为偶函数，，则，即，由在上单调递增，则，
，解得，故正确；
故答案为：①③④.

四、解答题
17．（1）已知函数的定义域为，求的定义域；
（2）若函数的定义域为，求函数的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求的定义域．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）由题意得出关于的不等式，由此可解得函数的定义域；
（2）由可计算出的取值范围，由此可得出函数的定义域；
（3）由可计算出的取值范围，可得出关于的不等式，进而可解得函数的定义域.
【解析】（1）因为函数的定义域为，
所以，即，所以．
故函数的定义域为．
（2）因为函数的定义域为，即，
所以，．
故的定义域为．
（3）因为函数的定义域为，即，
所以，则的定义域为，
由，解得，
则函数的定义域为．
【点睛】结论点睛：（1）若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出；
（2）若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域；
（3）已知的定义域为，求的定义域，先求出在时的值域，再令，解出x即可．
18．已知幂函数在上为减函数.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.
【答案】(1)
(2)奇函数，其单调减区间为，

【分析】（1）根据幂函数的定义，令，求解即可；
（2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间.
（1）
由题意得，，解得或，
经检验当时，函数在区间上无意义，
所以，则.
（2）
，要使函数有意义，则，
即定义域为，其关于原点对称.
，
该幂函数为奇函数.
当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，
函数是奇函数，在上也为减函数，
故其单调减区间为，.
19．在①，②，③中，挑选一个补充到下面题目的空格处，并作答.（若挑选两个，则只对挑出的前一个评分）
已知一次函数满足，且_________（其中）.
(1)求的函数关系式；
(2)解不等式（其中）.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析

【分析】（1）设，表示出，根据所选条件得到方程组，求出、、，即可求出函数解析；
（2）当时，不等式可化为，再对与分类讨论，求出不等式的解集；
当时，原不等式即为，再对分类讨论，即可求出不等式的解集；
（1）
解：设，则，又
若选①，则，解得或，所以或
若选②，则，解得，所以；
若选③，则，解得，所以；
（2）
解：若选①，当，则，则即，即，即
当，即时，原不等式即，解得；
当，即时，解得；
当，即时，解得；
综上可得当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当，则，所以，即，即，当，即或时不等式的解集为；
当，即时，方程的两根为，，所以原不等式的解集为；
若选②，，则，则即，即，即
当，即时，原不等式即，解得；
当，即时，解得；
当，即时，解得；
综上可得当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
若选③，，则，则即，即，即
当，即时，原不等式即，解得；
当，即时，解得；
当，即时，解得；
综上可得当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
20．已知函数.
(1)如果函数为幂函数，试求实数a、b、c的值；
(2)如果、，且函数在区间上单调递减，试求ab的最大值.
【答案】(1)，，，或，，.
(2)18

【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程组，解得即可；
（2）分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质及基本不等式计算可得；
(1)
解：由函数的定义域为R知，当为幂函数时，
应满足或
解得，、、的值分别为：，，，或，，.
(2)
解：①当时，
由题意知，，所以.
②当时，函数图象的对称轴为，
以题意得：，即
所以，.
当且仅当，时取等号.
③当时，
以题意得：，即，即
又因为，
所以
综上可得，的最大值为18.
21．如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年月日，天气：阴；能见度：1.8千米；时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.

按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示.其中：“时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数：，是常数）刻画.
(1)求值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
(2)时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？
(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）
【答案】(1)，千米分钟；
(2)小红5分钟后与潮头相遇；
(3)小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.

【分析】（1）根据给定时间及坐标系求出m，再计算速度作答.
（2）求出小红从乙地出发时潮头离乙地的距离，设出从出发到与潮头相遇的时间，列方程求解作答.
（3）根据给定数据求出s与t的函数关系，求出小红追赶潮头距离乙地的距离与t的关系，由相距1.8千米列出方程，求解作答.
（1）
到的时间是30分钟，则，即，
潮头从甲地到乙地的速度（千米分钟）.
（2）
因潮头的速度为0.4千米分钟，则到时，潮头已前进（千米），
此时潮头离乙地（千米），设小红出发分钟与潮头相遇，
于是得，解得，
所以小红5分钟后与潮头相遇.
（3）
把，代入，得，解得，，
因此，又，则，
当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米分，即时，，解得，
则当时，，
即从分钟时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米分的速度匀速追赶潮头，
设小红离乙地的距离为，则与时间的函数关系式为，
当时，，解得：，因此有，
最后潮头与小红相距1.8千米，即时，有，
解得，（舍去），
于是有，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时（分钟），
因此共需要时间为（分钟），
所以小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.
22．设函数.
(1)求函数和的解析式；
(2)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在说明理由；
(3)定义，且，当时，求的解析式.
【答案】(1)，；
(2)存在，，理由见解析；
(3).

【分析】（1）利用代入法即可求出函数和的解析式；
（2）分别表示出和的解析式，由列出关于的方程即可；
（3）按照已知的递推关系进行代入求解即可.
(1)
解：由函数
当，即
当，即
所以

(2)
解：由题知，

因为
所以且，即
所以存在实数，使得恒成立
(3)
解：当时对任意的正整数，
都有，
又，且
故有
所以的解析式为
23．设函数.
(1)当a=8时，求f(x)在区间[3，5]上的值域；
(2)若，使f(xi)=g(t)，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求得函数，根据函数的单调性，求解函数的值域；
（2）首先求解函数，并判断两个函数的单调性，讨论时，，列式求的取值范围，以及当时的情况；另解，，分，，讨论两个函数的单调性，利用值域关系，求实数的取值范围.
（1）当时， ，所以函数在上递减，在上递增，又，，，所以函数在上的值域是，
（2），因为，所以在上递增，在上递减，在上递增，所以符合题意的必须满足或，即或，（ⅰ）当时，函数在上递减，在上递增，在上递增，由题意得，关于的方程在至少有两个不同的解，等价于，即 ，解得： 所以 （ⅱ）当时，，而当时，，所以方程无解，综上，实数的取值范围是，另解：，，因为，所以在上递增，在上递减，在上递增，（ⅰ）当时，在上递增，因为，所以在上递增，，当在上递增，所以不存在，使得，（ⅱ）当时，在上递增，，①若，在上递增，所以不存在，使得，②若，在上递减，在上递增，由题意，关于的方程在至少有两个不同的解所以 ，解得： 所以；③若，而当时，，所以不存在，使得，综上，实数的取值范围是
【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，本题的关键是将任意，存在问题转化为求函数的值域，难点是根据分段函数的单调性，讨论的取值，分情况讨论函数的值域.