数学人教A版 (2019)4.1 指数同步练习题

4.1 指数

一、单选题

1．下列各式中成立的一项（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项.

【解析】对于A选项，，A选项错误；

对于B选项，，B选项错误；

对于C选项，，C选项错误；

对于D选项，，D选项正确.

故选：D.

2．下列等式中成立的个数是（    ）

①（且）；②（为大于的奇数）；③（为大于零的偶数）.

A．个 B．个

C．个 D．个

【答案】D

【分析】利用次方根的定义判断可得出合适的选项.

【解析】对于①，当且时，，①对；

对于②，当为大于的奇数时，，②对；

对于③，当为大于零的偶数时，，③对.

故选：D.

3．若，，且，则（    ）

A．，且n为偶数 B．，且n为偶数

C．，且n为奇数 D．，且n为奇数

【答案】B

【分析】利用n次根式的意义及性质直接计算并分类判断作答.

【解析】依题意，，即，而，且，

若n为奇数，则，必有，矛盾，于是得n为偶数，此时，，即，

所以，且n为偶数，B正确，A，C，D都不正确.

故选：B

4．化简(其中，)的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件化根式为分数指数幂，再借助幂的运算法则计算即得.

【解析】因，，所以.

故选：C

5．式子的计算结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由指数运算法则直接计算可得结果.

【解析】.

故选：D.

6．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解.

【解析】解：对A：，故选项A错误；

对B：，故选项B正确；

对C：，不能化简为，故选项C错误；

对D：因为，所以，故选项D错误.

故选：B.

7．若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】把等式左边变形为，结合，可得，则答案可求.

【解析】解：由，

可得，即．实数的取值范围是．

故选：．

8．已知，则化为（    ）

A． B． C．m D．1

【答案】C

【分析】把根式化为分数指数幂进行运算．

【解析】，.

故选：C．

9．若，则的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将两边同时平方，化简即可得出结果.

【解析】，

而，

故选：.

10．化简的结果为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用平方差公式结合指数运算性质即可

【解析】因为，

，

，

，

，

所以原式=

故选：B

11．已知正数、满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用指数运算可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【解析】，所以，，

因为、均为正数，所以，，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：C.

12．已知，，则与之间的大小关系是（    ）

A． B． C． D．无法比较

【答案】B

【分析】构造函数，得到，然后利用不等式的性质，由与的大小判断.

【解析】设，则，

所以，

，

而，

所以，即，

故选：B

二、多选题

13．（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】计算得选项AB错误；计算得选项CD错误.

【解析】解：对于选项A，因为，而，所以A错误；

对于选项B，因为，所以B错误；

对于选项C，因为成立，所以C正确；

对于选项D，当时，，所以D正确.

故选：CD.

14．[多选题]若（），则下列说法中正确的是（    ）

A．当n为奇数时，x的n次方根为a B．当n为奇数时，a的n次方根为x

C．当n为偶数时，x的n次方根为 D．当n为偶数时，a的n次方根为

【答案】BD

【分析】根据分数指数幂与根式的转化，分n为奇数，偶数讨论可得解.

【解析】当n为奇数时，a的n此方根只有x；

当n为偶数时，由于，所以a的n次方根有2个，为．

故选：BD

15．下列运算（化简）中正确的有（    ）．

A．

B．

C．

D．

【答案】ABD

【分析】根据指数幂的运算法则逐一验证即可

【解析】对于A：，故A正确；

对于B：，故B正确；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D正确；

故选：ABD

16．若实数x，y满足，，，则（    ）

A．且 B．m的最大值为

C．n的最小值为7 D．

【答案】ABD

【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C，根据指数幂的运算判断D；

【解析】解：因为，若，则，又，显然不成立，即，

同理可得，所以，即且，故A正确；

又，即，

所以，当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B正确；

又

，

当且仅当，即，时取等号，故C错误；

对于D：，

因为，所以，即，即，

即，因为，所以，即，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

17．用分数指数幂表示下列各式：

(1)＝____;  (2)＝____；(3)＝____;  (4)＝____；(5)＝____.

【答案】                    ##    

【分析】利用分数指数幂的定义，将根式化为分数指数幂.

【解析】（1）；（2）=；（3）=；（4）；（5）

故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.

18．当时，求的值___________．

【答案】0

【分析】由直接取绝对值号，进行开方运算即可求得.

【解析】因为，

所以.

故答案为：0

19．若实数、满足，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】利用基本不等式可求得的最小值.

【解析】，，

当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.

故答案为：.

20．若满足关系+=+，则的值为_______________．

【答案】21

【分析】根据已知分析出x＋y＝19，得到＋＝0，再利用非负数的性质求解.

【解析】解：由题意得：，

则，∴x＋y＝19，

∴＋＝0，

则3x＋5y−2−m＝0①，2x＋3y−m＝0②，

①−②得：x＋2y−2＝0，∵x＝19－y，∴y＝−17，∴x＝36，

∴，∴m＝21．

故答案为：21．

21．________.

【答案】

【分析】利用分母有理化化简即得解.

【解析】解：原式

=.

故答案为：.

22．若实数满足，则的最大值是____________ .

【答案】

【分析】由题意结合均值不等式和指数的运算法则利用换元法首先求得的范围，据此即可确定c的最大值.

【解析】由题意可得：，

由基本不等式可得：，即：，

据此可得：，

结合可得：，

则，由于，故，

即，据此可得的最大值为.

【点睛】本题主要考查均值不等式求最值的方法，换元法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

四、解答题

23．计算：

（1）______；

（2）______．

【答案】     1     3

【分析】根据指数幂的运算性质可得（1）（2）计算结果.

【解析】（1）原式．

（2）原式．

24．化简（式中字母都是正数）：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）同底数幂的乘除法法则进行计算；（2）把根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则进行计算.

（1）

（2）

25．（1）化简：；

（2）计算：．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）分数指数幂的运算法则进行计算；（2）分数指数幂与根式运算法则进行计算.

【解析】（1）原式．

（2）原式．

26．（1）求值：；

（2）已知，求值：.

【答案】（1）81；（2）6.

【分析】（1）（2）根据指数幂的运算性质即可求出.

【解析】（1）原式；

（2）由，而，

则，故.

27．（1）若，求的值；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用立方差公式将分解为，结合已知即可求得答案;

（2）将化为，化简并结合，可求得答案.

【解析】（1），

则．

（2），

且,

．

28．（1）已知是方程的两个根，且，求的值．

（2）已知，求下列各式的值：

①；

②．

【答案】（1） ；（2）① ；② ．

【分析】（1）先得到两根之和，两根之积，再求解的平方，进而求出的值；（2）利用平方法进行求解.

【解析】（1）因为是方程的两个根，所以，

所以．

因为，所以．

所以．

（2）①将两边平方，得．

即．

②将两边平方，得，

即．

29．已知，且，求下列代数式的值：

(1)；

(2)；

(3)．

（注：立方和公式）

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先求得，结合平方差公式求得正确答案.

（2）结合指数运算求得正确答案.

（3）结合指数运算以及立方和公式求得正确答案.

（1）

因为，且，所以.

.

（2）

.

（3）

.

30．设，且x，y，a均为正数，求证：.

【答案】证明见解析

【分析】根据根式和分数指数幂的运算法则进行化简，即可得到结论.

【解析】

，设，

则，即，

故成立.

31．（1）已知，化简.

（2）设，，，求的值.

【答案】（1）；（2）8

【分析】（1）用完全平方公式将根式内多项式配方，再根据指数运算化简；

（2）观察题中式子的特点，令，，将用表示出来，简化运算.

【解析】（1）由，得，

∴.

（2）令，，则

，，

，

.

∴.

【点睛】本题考查了指数幂的运算，考查了学生的分析观察能力，运算能力，属于中档题.