高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数练习题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
4.2 指数函数一、单选题1．函数（且）的图像必经过点（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】解：∵（且），且令得，则函数图象必过点，故选：D．2．若函数是指数函数，则等于（    ）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根据题意可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.【解析】由题意可得，解得.故选：C.3．函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意，解不等式即可.【解析】由题意得，即，解得，故选：C．4．已知函数，若，则（    ）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】根据解析式可得，然后可得答案.【解析】设，则，从而，即，故．因为，所以．故选：B5．设，，则是（    ）A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减【答案】D【分析】由，可知是偶函数，当时，，则在上单调递减，由此即可选出答案.【解析】依题意，得，且，所以是偶函数．当时，，则单调递减；当时，，则单调递增．故选：D.6．函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为(　　)A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数为单调函数，根据已知条件构造方程，解方程可得答案．【解析】∵函数f(x)＝ax(0＜a＜1)在区间[0，2]上为单调递减函数，∴，∵最大值比最小值大，∴1﹣，解得a故选：A．7．设函数则满足的实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分类讨论：①当时和②当时，由单调性解不等式即可.【解析】①当时，，此时，不合题意；②当时，，可化为，所以，解得．综上，实数的取值范围是．故选：B．8．函数的图像（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的单调性和值域排除即可．【解析】由题可得函数的定义域为，当，，函数单调递减，此时，排除AC；当，，函数单调递增，此时，排除B.故选：D．9．若函数的值域为，则的定义域为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用换元思想转化为的值域问题，再利用二次函数的图象、指数不等式进行求解.【解析】设，则，且，由题意，得的值域为，且在上单调递减，在上单调递增，对于A：当时，，显然，即选项A错误；对于B：当时，，显然，即选项B错误；对于C：当时，，显然，即选项C错误；对于D：当时，，则由二次函数的性质，得：当或，，当时，，即选项D正确.故选：D.10．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的单调性列不等式组，由此求得的取值范围.【解析】函数，若在上为单调递增函数，则，解得；若在上为单调递减函数，则，无解．综上所述，实数的取值范围为．故选：C11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，得到f（x）在区间上单调递减，然后根据，得到求解.【解析】因为f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，所以f（x）在区间上单调递减，因为，所以，所以，解得，所以a的取值范围是，故选：C12．已知定义域为R的偶函数和奇函数满足：．若存在实数a，使得关于x的不等式在区间上恒成立，则正整数n的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据奇偶性列方程组求得，，利用它们的单调性确定在上的值域，再由不等式有或求a的范围，进而求出正整数n的范围.【解析】由题设，，又，联立可得：，，又当且仅当时等号成立，即在上递减，在上递增，所以，在上，而在上递增，故，若，则且n为正整数，只需即可.若，则且n为正整数，不成立；综上，正整数n的最小值为2.故选：B【点睛】关键点点睛：利用奇偶性列方程组求、解析式，并根据单调性求闭区间上的值域，最后由不等式恒成立求参数a的范围，即可得n的范围. 二、多选题13．(多选)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据指数型函数的图象分布列式可解得.【解析】因为函数 (,且)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:由图像可知函数为增函数，所以.当时，，故选AD.【点睛】本题考查了指数函数的图象,属于基础题.14．已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】确定函数是增函数，然后比较自变量的大小后可得正确选项．【解析】是上的增函数，时，成立，成立，BD一定成立；与的大小关系不确定，A不一定成立；同样与的大小关系也不确定，如时，，C也不一定成立．故选：BD．15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）A．是奇函数 B．是偶函数C．在R上是增函数 D．的值域是【答案】ACD【分析】根据奇函数、偶函数的定义、函数单调性的性质，结合题中定义逐一判断即可.【解析】A选项：，，∴，∴为奇函数，故A正确；B选项：∵∴，，∵为奇函数，∴，∴，∴，故B错误；C选项：，∵，∴为增函数，∴为减函数，∴为增函数，故C正确；D选项：∵，∴，∴，∴．又∵，∴的值域为，故D正确．故选：ACD．【点睛】关键点睛：利用函数单调性的性质进行判断是解题的关键.16．已知函数（，），则下列说法正确的是（    ）A．函数图象关于轴对称B．函数的图像关于中心对称C．当时，函数在上单调递增D．当时，函数有最大值，且最大值为【答案】AD【分析】根据函数奇偶性可判断A,B,由复合函数的单调性可判断C,D.【解析】的定义域为，当时，则，故是偶函数，因此图象关于轴对称，故A正确，B错误，当时，，令，则，当时，单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知:在上单调递减，在上单调递增，故C错误，当时，当时，由于单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值，且最大值为，当时，由于是偶函数，故最大值为，故D正确，故选：AD 三、填空题17．函数是上的偶函数，当时，，则________．【答案】9【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.【解析】是偶函数，所以.故答案为：18．定义在R上的偶函数，当时，，当时，___________．【答案】##.【分析】根据已知，利用函数奇偶性、解析式求解.【解析】当时，，因为当时，，所以，又因为是定义在R上的偶函数，所以，所以当时，.故答案为：.19．已知定义在区间上的奇函数满足，且当时，，则______.【答案】【分析】由题设知且是周期为4的奇函数，并求出上的解析式，再应用周期性、奇偶性求函数值.【解析】由是在上的奇函数，所以，即，则，可得，故，由，即，则，所以的周期为4，综上，当时，且，则，所以时，由.故答案为：20．若函数（，且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】利用指数函数的图象变换，分类讨论，根据单调性建立不等式求解即可.【解析】函数（，且）的图象是将函数（，且）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，故函数（，且）的图象恒过点．当时，结合函数的图象：若函数在区间上单调递减，则，解得．当时，结合函数的图象：若在区间上单调递减，则，无实数解．综上，实数的取值范围为．解法二：若，则，所以在区间上单调递增，不符合题意；当时，函数在区间上单调递减，要使函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，所以，解得．故实数的取值范围是．故答案为：. 四、解答题21．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，(1)求函数的解析式(2)若，求实数的值.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）设，利用可求得在上的解析式，再由可得出函数的解析式；（2）分、解方程，综合可得出的值.（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，又当时，，设，则，所以，又是奇函数，所以，即，所以，综上可得；（2）解：因为，又，显然，所以或，解得或.22．已知函数．(1)求的定义域；(2)判断函数的奇偶性；(3)证明：当时，．【答案】(1)(2)奇函数(3)证明见解析 【分析】（1）根据函数的定义域求法直接计算；（2）利用定义法判断函数的奇偶性；（3）根据，可得，进而得证.（1）由，则，解得，所以函数的定义域为；（2）定义域关于原点对称，由，得，所以为奇函数；（3）当时，，则，所以.23．已知定义域为的R奇函数满足：当时，．(1)求函数在上的解析式，并判断在上的单调性（不需证明）；(2)若不等式在区间上有解，求实数m的范围．【答案】(1)，在上为增函数(2) 【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解；（2）根据奇函数的单调性，将问题转化为在区间上有解，求最值即可.（1）解：∵是定义域为R的奇函数，∴，得设，则，∵在上递增，在上递增，∴在上为增函数（2）∵，∴，∵是上的增函数，∴．由于，∴由于在上递增，∴得24．已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.(1)求在区间上的解析式;(2)若对，则，使得成立，求m的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据奇函数定义求解析式，注意；（2）根据单调性求、在上的值域、，结合题意可得，根据子集关系分析计算．(1)，则 ∴当时，满足∴(2)设在上的值域为，根据题意可知在上单调递增∴，即设在上的值域为，则则根据题意可得，则，解得∴m的取值范围为25．已知函数，集合．(1)当时，函数的最小值为，求实数的取值范围；(2)若，当       时，求函数的最大值以及取到最大值时的取值．在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）令，，结合二次函数的对称轴求解即可；（2）选择条件后，根据的范围和对称轴求最大值即可.(1)由题知，令，，当时，函数的最小值为，等价于时函数的最小值为.易知二次函数的对称轴方程为且，故函数最小值为则要求，即.(2)选择①，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.选择②，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.选择③，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.26．函数.(1)判断并证明函数的单调性；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)解不等式.【答案】(1)函数在上递增，证明见详解；(2)为定义在上的奇函数，证明见详解；(3)或． 【分析】（1）整理得，再用单调性定义证明；（2）根据奇函数定义进行证明；（3）利用奇函数得再结合单调性得．（1）任取，令则∵则，可得∴即∴函数在上递增．（2）的定义域为∵即∴为定义在上的奇函数．（3）即∵函数在上递增∴即或．27．已知函数是定义在R上的奇函数．(1)求实数的值；(2)用单调性定义证明函数是R上的增函数；(3)若函数满足，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】(1)定义在R上的奇函数，f(0)＝0，由此即可求出m的值；(2)设R，且，作差判断的大小即可判断单调性；(3)根据f(x)的奇偶性和单调性求解该抽象不等式即可.(1)∵是定义在R上的奇函数，∴，得；(2)设R，且，则∵，∴，因此，即是R上的增函数；(3)∵是奇函数，∴，又f(x)在R上为增函数，∴，解得.28．已知定义在R上的偶函数和奇函数，且(1)求函数，的解析式；(2)设函数，记，探究是否存在正整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)存在， 【分析】（1）由，根据函数的奇偶性，可得到另一等式，两式联立，求得答案;（2）根据（1）推出为奇函数，从而可推得函数的图象关于点中心对称，得到成立，从而求得，进而将不等式化简，利用换元法，结合基本不等式即可求得答案.(1)∵，，∵函数为偶函数，为奇函数，∴，∴，．(2)由（1）可知：为奇函数，其函数图象关于中心对称．∴函数的图象关于点中心对称，即对任意的，成立．∵，∴，两式相加，得，即，∴，∴，，即，∴，令，，，∴，即，而， 当且仅当时取等号，∴，而n是正整数,∴.