高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数练习

4.3 对数

一、单选题

1．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案．

【解析】因为，，所以

．

故选：D.

2．已知，，，则（    ）

A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c

【答案】C

【分析】与先通过进行比较，能得到，接着发现，所以，即可得到结果

【解析】因为，所以，

又，所以，所以，

故选：C.

3．已知，，则（    ）

A．1 B．2 C．5 D．4

【答案】A

【分析】先求得，然后结合对数运算求得正确答案.

【解析】∵，，∴，，

．

故选：A

4．，则（    ）

A．64 B．125 C．256 D．625

【答案】D

【分析】根据对数的运算及性质化简求解即可.

【解析】，

，

，

故选：D

5．中国的技术处于领先地位，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到4000，则大约增加了（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题中的香农公式分别计算等于1000和4000时对应的，进而比较可得出结果.

【解析】信噪比提升到4000时对应的值记为，根据题意，

时，

时，

大约增加了20%，选项B正确.

故选：B.

6．已知正实数满足，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据条件结合作商比较法可得，从而可得答案.

【解析】由，可得，所以

由，可得，所以

所以

故选：B

7．如果方程的两根为、，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用根与系数的关系和对数的运算性质直接求得.

【解析】由题意知，、是一元二次方程的两根，

依据根与系数的关系得，，∴.

故选：A.

8．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由换底公式和对数运算法则进行化简计算.

【解析】由换底公式得：，，其中，，故

故选：C

二、多选题

9．下列运算错误的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABC

【分析】根据对数的运算性质逐项运算检验，即可判断各选项是否运算错误．

【解析】解：

对于A， ，所以选项A错误；

对于B，，所以选项B错误；

对于C，，所以选项C错误；

对于D，，所以选项D正确．

故选：ABC．

10．若，且，则下列等式中不正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AB

【分析】根据对数的运算法则成立的条件，即可逐项判断出真假．

【解析】对于A，时， ，但是无意义，该等式不正确；

对于B，时， ，但是无意义，该等式不正确；

对于C，，按照对数的运算法则，该等式正确；

对于D，由换底公式得，，该等式正确．

故选AB．

【点睛】本题主要考查对数的运算法则成立的条件判断以及换底公式的应用．

11．若，，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据对数运算求得正确答案.

【解析】依题意，

由，得，

所以，且，

即，．

故选：AB

12．下列命题正确的是（    ）

A．若，且，则，，

B．若，且，则，，

C．，，

D．，，

【答案】BCD

【分析】根据对数的运算法则即可判断.

【解析】解：对于选项AC，由对数的运算性质知，有，而，选项A错误，C正确；

对于选项B，当时，成立，选项B正确；

对于选项D，由对数的概念可知选项D正确．

故选:BCD．

13．任何一个正整数x都可以表示成，此时．则下列结论正确的是（    ）

A．x是位数 B．x是n位数 C．是47位数 D．是11位数

【答案】AD

【分析】结合已知条件以及对数运算对选项进行分析，从而确定正确答案.

【解析】，所以x是位数，故A正确，B不正确；

设，则，所以，所以是48位数，故C不正确；

对于D，若，则，则，故是11位数，故D正确．

故选：AD

14．已知x>0，y>0，z>0，若，则（    ）

A．z<y<x B．x<z<y C．3x<5y<7z D．5y<3x<7z

【答案】AC

【分析】设，则，再利用在上的单调性比较；由，利用在上的单调性比较.

【解析】设，

所以，

因为，

所以，

所以在上是减函数，

所以 z<y<x，

而，

在上是增函数，

所以3x<5y<7z

故选：AC

【点睛】本题主要考查对数转化为指数，幂函数的单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

三、填空题

15．计算：______．

【答案】6

【分析】利用对数的运算性质即可求解.

【解析】原式．

故答案为：6．

16．________．

【答案】

【分析】结合指数幂、对数运算法则化简求值

【解析】原式

17．若正数a满足，则___________．

【答案】100

【分析】由题意可得，再根据对数的运算性质即可得出答案.

【解析】解：因为正数a满足，

所以，

即，

所以，解得.

故答案为：100.

18．化简____________

【答案】2

【分析】结合、换底公式化简计算即可

【解析】原式

.

故答案为：2.

19．已知，，则______．

【答案】##0.36

【分析】由指数与对数的运算性质求解

【解析】因为，所以，又，所以，

所以，，

故答案为：

20．已知，，则_________．

【答案】

【分析】根据对数性质判断，由已知利用对数运算可求得a,b,即得答案.

【解析】由题意可知，

由，可得，

则，则，

故,

故答案为:

四、解答题

21．计算：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)0

(2)3

(3)1

【分析】（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可；

（2）提公因式，逐步化简即可求解；

（3）逐步将原式化成只含和形式.

（1）

方法一：（直接运算）原式．

方法二：（拆项后运算）原式

．

（2）

原式

．

（3）

原式

．

22．(1)；

(2)．

【答案】(1)2；(2)4.

【分析】(1)将展开再根据对数的运算求解；

(2)根据对数的运算求解即可.

【解析】解:(1)原式

．

(2)原式

．

23．计算：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)；

(7)；

(8)．

【答案】(1)

(2)1

(3)4

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

【分析】根据指数幂的运算性质及换底公式逐一计算即可.

(1)

解：；

(2)

解：；

(3)

解：；

(4)

解：；

(5)

解：

；

(6)

解：

；

(7)

解：；

(8)

解：

.

24．（1）已知，把写成含a的代数式；

（2）已知，把写成含a的代数式.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据同底数对数的加法运算、幂的对数运算性质及换底公式即可得解；

（2）根据同底数对数的减法运算、幂的对数运算性质及换底公式即可得解.

【解析】（1）因为，所以=

（2）因为，所以=

25．化简：.

【答案】

【分析】利用对数的运算法则计算得到答案.

【解析】因为，

故原式.

26．设，，，，，证明：，.

【答案】见解析

【分析】结合指数的运算性质和，同时取对数即可证得.

【解析】设 ，

因为，所以,

由对数的定义得到，

所以；

因为，所以，即

27．设a、b、c是直角三角形的三边长，其中c为斜边长，且．求证：．

【答案】证明见解析

【分析】根据对数运算法则和换底公式证明．

【解析】证明：由勾股定理，得．

．

所以原等式成立．

28．设实数a，b，c为正数，且满足，，，求实数a，b，c的值．

【答案】

【分析】利用对数式指数式互化及条件即求.

【解析】由得，即，

由得，又，

∴.

29．（阅读题）对数可以将乘除运算转化为加减运算，通过对数转换，可以简化运算过程.例如，1，10，100，1000，10000，…成10倍增长，取常用对数后就变为0，1，2，3，4，…我们再来看物理学中的一个例子.声强是表示声波强度的物理量，可用公式表示，其中v表示声速，和A分别是声波的频率和振幅，是媒质的密度.由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入了声强级的概念，规定声强级.通常规定（相当于频率为1000时能够引起听觉的最弱的声强），这时计算出来的L就是声强Ⅰ的量度，式中声强级的单位称为贝尔.实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的作单位，这就是分贝（）：.当被测量的声强I为声强的100倍时，声强级L为多少分贝？

【答案】

【分析】由对数的运算求解即可.

【解析】当被测量的声强I为声强的100倍时，

当被测量的声强I为声强的100倍时，声强级L为分贝

30．已知，试比较x，y，z的大小．

【答案】．

【分析】对于形如的方程，由外向内逐层求解，即逐步脱去对数符号，从而建立关于的方程，求出的值，即可得到、、，再根据幂函数的性质判断可得；

【解析】解：由，

得，，即；

同理，．

∵，，

∴．

又，，

∴，∴．

31．已知.

求（1）的最小值；

（2）的最小值；

（3）正数满足，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）25；（3）.

【分析】（１）利用对数的运算得到，，，所以，然后利用“乘1法”，使用基本不等式求最值；

（2）将通分合并，并利用化简为，然后利用“乘1法”，使用基本不等式求最值；

（3）根据，利用基本不等式的变形不等式，求得，进而求得的取值范围.

【解析】解：（1）因为，

所以，，，

所以，

所以，

当且仅当且，即，时取等号，

此时取得最小值；

（2），

，

当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值25；

（3）因为，当且仅当时取等号，

解得，所以，

因为正数满足，所以，

故的取值范围.

32．已知，（且）．

(1)求的值；

(2)若，解关于x的不等式：（其中）．

【答案】(1)

(2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；

【分析】（1）利用对数式与指数式的互化，及指数幂的运算即可得解；

（2）利用对数的运算可得，再分类讨论，，，和，解不等式即可得解.

(1)

由，，得，

(2)

，

，

不等式

（1）当时，不等式为：，解得，不等式的解集为；

（2）当时，方程的两个根为和

①当时，，二次函数开口向下，不等式的解集为；

②当时，，二次函数开口向上，不等式的解集为；

③当时，二次函数开口向上，不等式的解集为；

④当时，二次函数开口向上，不等式的解集为；

综上可知，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

33．求解下列问题：

(1)证明：．

(2)已知，且．

求证：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）结合换底公式以及对数运算证得等式成立.

（2）令，结合指数运算，通过证明等式左边右边来证得等式成立.

（1）

左边右边

（2）

令，则，，，

所以，

，

所以．