人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）同步达标检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）同步达标检测题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
4.5函数的应用（二）
一、单选题
1．关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（    ）
A．用二分法求方程的近似解一定可以得到在内的所有根
B．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的重根
C．用二分法求方程的近似解有可能得出在内没有根
D．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的精确解
【答案】D
【分析】根据二分法求近似解的定义，可得答案.
【解析】利用二分法求方程在内的近似解，即在区间内肯定有根存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是内的精确解．
故选：D.
2．函数f（x）＝x2﹣4x+4的零点是（　　）
A．（0，2） B．（2，0） C．2 D．4
【答案】C
【分析】由函数零点的定义列出方程x2﹣4x+4＝0，求出方程的根是函数的零点．
【解析】由f（x）＝x2﹣4x+4＝0得，x＝2，
所以函数f（x）＝x2﹣4x+4的零点是2，
故选：C．
3．若函数在区间上的图像是连续不断的曲线，且在内有一个零点，则的值（    ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
【答案】D
【分析】由题意，分类讨论不同情况下的正负，从而得出不同的结论.
【解析】因为在区间上的图像是连续不断的曲线，且在内有一个零点，若（或），此时；若（或），此时；若（或），此时，所以的值不能确定.
故选：D
4．函数的零点所在的大致区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算区间端点处函数值，根据零点存在定理确定．
【解析】，
由，则在上单调递增.
所以函数的零点所在的大致区间是
故选：B
5．函数的零点所在的区间为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式，判断、等函数值的符号，由零点存在性定理即可确定零点所在的区间.
【解析】，，且函数为增函数，
由函数零点存在定理，的零点所在的区间是．
故选：B.
6．已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围(    )
A． B． C．(0，1) D．
【答案】C
【分析】作出f(x)图像，判断y＝m与y＝f(x)图像有3个交点时m的范围即可.
【解析】∵有3个零点，
∴有三个实根，
即直线与的图像有三个交点.
作出图像，

由图可知，实数的取值范围是(0，1).
故选：C.
7．已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据奇函数的定义域为R可得，由和奇函数的性质可得、，利用零点的存在性定理即可得出结果.
【解析】奇函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，
得，由得，
所以，故函数在之间至少存在一个零点，
由奇函数的性质可知函数在之间至少存在一个零点，
所以函数在之间至少存在3个零点.
故选：C
8．已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（    ）
A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点
【答案】D
【分析】根据已知可得：，当时利用零点存在定理，可以判定区间内至少有一个零点，进而判定，，…，上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有1011个零点；当时，可以得到，此时在上至少有1012个零点．从而排除BC,判定D正确；举特例函数，或者构造函数，可以排除A.
【解析】因为对任意的实数恒成立，令，得．
若，则与异号，即，由零点存在定理得在上至少存在一个零点．由于，得到，进而，所以在区间，，…，内均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点．
构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有1011个零点.
若，则，此时在上至少有1012个零点．
综上所述，在上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；
可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B错误；
对于A,[解法一]取函数，满足，但在上处处是零点，故A错误.
[解法二] 构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有2023个零点，故A错误.
故选：D．
9．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以有解，但方程组无解，然后利用判别式即得.
【解析】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，
所以有解，但方程组无解，
由，得有解，
所以，解得
由得
两式相减，得，
因为，所以，
消去，得，
因为方程无解或仅有两个相等的实根，
所以，解得，
故a的取值范围是
故选：D.
10．已知时，当时，满足，则关于以下两个结论正确的判断是（    ）
①函数只有一个零点；
②函数的零点必定在区间（a，b）内．
A．①②均对 B．①对，②错
C．①错，②对 D．①②均错
【答案】B
【分析】由题可得函数在上为增函数，且，，再结合零点存在定理及符号法则即可判断.
【解析】因为和均为区间上的严格增函数，
因此函数也是区间上的严格增函数，且，．
所以只有一个零点，①对．
因为，
所以的符号为两正一负或者全负，又因为，
所以必有，，或者，，．
当，，时，零点在区间内；当，，时，零点在区间（a，b）内，所以②错．
故选：B．
11．函数，若函数有3个不同的零点a，b，c，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数的图象和直线，它们的交点的横坐标即为的零点，利用图象得出的性质、范围，从而可求得结论．
【解析】作出函数的图象和直线，它们的交点的横坐标即为的零点，如图，
则，，
，，所以．
故选：D．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．
12．已知函数若(互不相等)，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先画函数图象，再进行数形结合得到和，结合对勾函数单调性解得的范围，即得结果.
【解析】作出函数的图象，如图所示:

设，则.
因为，所以，
所以，所以，即.
当时，解得或，所以.
设，
因为函数在上单调递增，所以，即，
所以.
故选：D.

二、多选题
13．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确到0.01时，所需二分区间的次数可以为（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】CD
【分析】由原来区间的长度等于1 ,每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过此操作后,区间长度变为，由即可求解.
【解析】由题意，知区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过n此操作后，区间长度变为，
用二分法求函数在区间上近似解，要求精确到0.01，
∴，解得，
故选：CD．
14．下列说法正确的是（    ）
A．已知方程的解在内，则
B．函数的零点是，
C．函数，的图像关于对称
D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上
【答案】ACD
【解析】由函数零点的概念判断选项B，由函数零点存在性定理判断选项AD，由函数与函数互为反函数判断选项C.
【解析】对于选项A，令，
因为在上是增函数，且，
所以方程的解在，所以，故A正确；
对于选项B，令得或，故函数的零点为和，故B错误；
对于选项C，函数与函数互为反函数，所以它们的图像关于对称，故C正确；
对于选项D，由于，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间上，故D正确.
故选：ACD
15．（多选）已知函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间上（    ）
A．方程没有实数根
B．方程至多有一个实数根
C．若函数单调，则必有唯一的实数根
D．若函数不单调，则至少有一个实数根
【答案】CD
【分析】根据零点存在定理可得答案.
【解析】由函数零点存在定理，知函数在区间上至少有一个零点，
所以若函数不单调，则至少有一个实数根，
若函数单调，则函数有唯一的零点，即必有唯一的实数根，
故选：CD．
16．已知函数，令，则下列说法正确的是（    ）
A．函数的单调递增区间为
B．当时，有3个零点
C．当时，的所有零点之和为-1
D．当时，有1个零点
【答案】BD
【分析】画出的图象，然后逐一判断即可.
【解析】的图象如下：

由图象可知，的增区间为，故A错误
当时，与有3个交点，即有3个零点，故B正确；
当时，由可得，由可得
所以的所有零点之和为，故C错误；
当时，与有1个交点，即有1个零点，故D正确；
故选：BD

三、填空题
17．函数的一个零点为1，则其另一个零点为______．
【答案】
【分析】由函数零点解出的值后再计算另一个零点，或利用韦达定理计算即可.
【解析】解法一：因为函数的一个零点为1，
将代入得，解得．
所以．
令，解得，，
所以函数的另一个零点为．
解法二：由函数的一个零点为1，可得方程的一个根为1，根据根与系数的关系可得，所以另一个根为．故函数的另一个零点为．
故答案为：.
18．函数满足以下条件：①的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线；②，；③当且，；④恰有两个零点，请写出函数的一个解析式________
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由题意可得函数是偶函数，且在上为增函数，函数图象与轴只有2个交点，由此可得函数解析式
【解析】因为，，所以是偶函数，
因为当且，，
所以在上为增函数，
因为恰有两个零点，
所以图象与轴只有2个交点，
所以函数的一个解析式可以为，
故答案为： （答案不唯一）
19．已知是定义域为的奇函数，函数，，当时，恒成立．现有下列四个结论：
①在上单调递增；②的图象与x轴有2个交点；③；④不等式的解集为．
其中所有正确结论的序号为___________．
【答案】②③
【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再逐一分析各个命题即可判断作答.
【解析】因当时，恒成立，则恒成立，
即恒成立，因此恒成立，则在上单调递减，
而是上的奇函数，是上的奇函数，则是上的奇函数，
因此函数是上的奇函数，且在上单调递减，
命题①不正确；
因，即，，显然在上单调递减，
于是得的图象与x轴有2个交点，命题②正确；
显然，即，则，因此，命题③正确；
因奇函数在，上单调递减，且，
则当时，，当时，，不等式的解集为，命题④不正确．
故答案为：②③
20．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧法号：一行为编制大衍历发明了一种近似计算的方法二次插值算法又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年：对于函数在处的函数值分别为，，，则在区间上可以用二次函数来近似代替，其中，，．若令，，，请依据上述算法，估算的近似值是_______．
【答案】##0.96
【分析】根据题意先求出，进而求出，然后求得，最后求得的近似值.
【解析】函数在，，处的函数值分别为，，，
故，，，
故，
即，所以．
故答案为：.

四、解答题
21．已知函数.
(1)证明：函数是偶函数；
(2)求函数的零点.
【答案】(1)证明见解析；
(2)和

【分析】（1）先证明函数的定义域关于原点对称，再证明即可；
（2）利用对数运算对函数的解析式进行化简，求解方程即可得到函数的零点.
（1）
证明：由，解得，
∴函数的定义域为，且定义域关于原点对称，
又∵，∴是偶函数.
（2）
解：，令，
∴，解得.
∴函数的零点为和.
22．已知函数（且），若函数的图象过点（2，24）．
(1)求的值及函数的零点；
(2)求的解集．
【答案】(1)3，零点是0
(2)[1，+∞）

【分析】（1）代值求出函数的表达式，再根据零点的定义求解即可；
（2）解不等式即可求出解集.
【解析】（1）因为函数f（x）＝ax+1﹣3（a＞0且a≠1），图象过点（2，24），
所以24＝a2+1﹣3，a3＝27，a＝3．
函数f（x）＝3x+1﹣3＝0，得x+1＝1，x＝0．
所以函数的零点是0．
（2）由f（x）≥6得3x+1﹣3≥6，即3x+1≥32，
所以x≥1．
则f（x）≥6的解集为[1，+∞）．
23．由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是．
(1)设该商品的日销售额为y元，请写出y与t的函数关系式（商品的日销售额＝该商品每件的销售价格×日销售量）；
(2)求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大．
【答案】(1)
(2)日销售额的最大值为900元，且11月10日销售额最大．

【分析】（1）根据题目条件中给出的公式，直接计算，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，结合取值范围，可得答案.
（1）
由题意知
即
（2）
当，时，，
所以当时，；
当，时，，所以当时，．
因为，所以日销售额的最大值为900元，且11月10日销售额最大．
24．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用可求时的解析式，当时，利用奇偶性可求得时的的解析式，由此可得结果；
（2）作出图象，将问题转化为与有个交点，数形结合可得结果.
（1）
由图象知：，即，解得：，当时，；
当时，，，
为上的偶函数，当时，；
综上所述：；
（2）
为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示，

有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点，
由图象可知：，即实数的取值范围为.
25．已知函数，且．
(1)求证：函数有两个不同的零点；
(2)设，是函数的两个不同的零点，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据可得，再代入证明判别式大于0即可；
（2）根据韦达定理化简可得，进而求得范围即可.
（1）
∵，∴．
∴．
对于方程，，
∴恒成立．
又，∴函数有两个不同的零点．
（2）
由，是函数的两个不同的零点，得，是方程的两个根．
∴，．
∴．
∴的取值范围是．
26．已知函数为偶函数．
(1)求实数的值；
(2)设函数的零点为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由可得答案；
（2）求出，利用函数在上单调性得．
再利用单调性定义判断出在上单调递增，利用单调性可得答案.
（1）
由，得，，
所以，此时，时，，为偶函数，
所以；
（2）
由（1）得，所以，
因为函数在上单调递增，且，
，所以，
又对任意，，所以，
即在上单调递增，
所以，
即．
27．给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定.
已知二次函数满足，且______.
(1)求的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若函数有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.
【答案】(1)选①，选②
(2)
(3)

【分析】（1）利用已知条件求出、的值，可得出.
选①，由题意可得出，可得出的值，即可得出函数的解析式；
选②，由根与系数的关系求出的值，即可得出函数的解析式；
（2），，由参变量分离法可得出，结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围；
（3）令，所以关于的方程有且仅有一个正实根，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围.
（1）
解：因为二次函数满足，
，
所以，解得，所以.
选①，因为函数的图象与直线只有一个交点，所以，解得，
所以的解析式为.
选②，设、是函数的两个零点，则，且，可得，
由根与系数的关系可知，，
所以，解得，
所以的解析式为.
（2）
解：由，得，
当时，，令，则，
所以对任意，恒成立，等价于在上恒成立，
所以，所以实数的取值范围为.
（3）
解：因为函数有且仅有一个零点，
令，所以关于的方程有且仅有一个正实根，
因为，所以有且仅有一个正实根，
当，即时，方程可化为，解得，不符合题意；
当，即时，函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点，
所以方程恒有一个正实根；
当，即时，要使得有且仅有一个正实根，
，解得.
综上，实数的取值范围为.
28．已知函数的图象关于直线x＝1对称，且函数为偶函数，函数.
(1)求函数的表达式；
(2)求证：方程在区间上有唯一实数根；
(3)若存在实数m，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）根据二次函数的对称轴以及奇偶性即可求解，进而可求解析式，
（2）根据函数的单调性以及零点存在性定理即可判断，
（3）将条件转化为函数值域，即可求解.
（1）
∵的图象关于直线x＝1对称，
∴.
又为偶函数，∴，.
∴.
（2）
设，∵，，∴.
又，在区间上均单调递减，
∴在区间上单调递减，
∴在区间上存在唯一零点.
∴方程在区间上有唯一实数根.
（3）
由题可知，，
若存在实数m，使得，则，
即，解得.
∴n的取值范围是.
29．若函数同时满足：
①函数在整个定义域是严格增函数或严格减函数；
②存在区间，使得函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“闭函数”.
（1）判断是不是上的“闭函数”？若是，求出区间；若不是，说明理由；
（2）若是“闭函数”，求实数的取值范围；
（3）若在上的最小值是“闭函数”，求、满足的条件.
【答案】（1）不是，理由见解析；（2）；（3）且.
【分析】（1）利用“闭函数”的定义判断函数是否满足①②，由此可得出结论；
（2）分析可知函数在有两个零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（3）利用二次函数的基本性质求得，然后分、、三种情况讨论，分析函数的单调性，结合“闭函数”的定义可得出关于、的等式，由此可得出、满足的条件.
【解析】（1）函数为上的增函数，
若函数为“闭函数”，则存在、，使得函数在上的值域为，
则，则关于的方程至少有两个不等的实根，
因为，故方程无实根，
因此，函数不是“闭函数”；
（2）因为函数为上的增函数，
若函数为上的“闭函数”，
则存在、，使得函数在上的值域为，
则，所以，关于的方程在上有两个不等的实根，
令，设，则函数在有两个零点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是；
（3）因为.
当时，函数在上单调递增，则；
当时，.
综上所述，.
所以，函数在上为减函数，在上也为减函数.
①当时，则，
上述两式作差得，因为，故，
因为，则，矛盾；
②当时，则有，消去可得，解得，不合乎题意；
③当时，则，可得.
因此，、满足的条件为且.
【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.