人教A版必修第一册基础重点难点题型高分突破第4章指数函数与对数函数单元综合检测（Word版附解析）

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第4章 指数函数与对数函数 单元综合检测一、单选题1．下列运算中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据根式与指数幂的关系，及有理数指数幂的运算性质化简各式即可判断正误.【解析】对于A，，所以，错误；对于B，因为，所以，则，错误；对于C，，正确；对于D，，错误．故选：C．2．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用指数函数与对数函数的性质化简集合，再求交集与并集，进而可得答案.【解析】因为，所以，因为，∴，∴，．故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集与并集运算，考查了指数函数与对数函数的性质，属于基础题.3．若在内为增函数，且也为增函数，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数单调性，列出不等式组求解，即可得出结果.【解析】若在内为增函数，则，由为增函数得．解不等式组，得的取值范围是．故选：D.【点睛】本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型.4．如果方程的两根为、，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设条件利用根与系数的关系求出，直接变换即可求得答案.【解析】解：由题意、是关于的方程的两根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查对数运算和根与系数的关系，考查运算求解能力，属于基础题型.5．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据零点存在定理，分别求各选项的端点函数值，找出函数值异号的选项即可【解析】由题意，因为，，由零点存在定理，故函数的零点所在的区间为 故选：C6．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令，，，则：A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数是上的偶函数，可以得到，由指数函数的性质可以得到，再利用函数在区间上的单调性即可得到答案．【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以，又因为是上的增函数，所以，由于函数在区间上是增函数，则,即.故答案为A.【点睛】本题考查了偶函数的性质，考查了函数的单调性，考查了指数函数的性质，属于基础题．7．函数的图像的大致形状是（    ）A．  B． C．  D．【答案】D【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【解析】根据，是减函数，是增函数.在上单调递减，在上单调递增故选：D.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8．已知函数，若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用分段函数的定义作出函数的图象，然后可令（a）（b）（c）则可得，，即为函数与的交点的横坐标根据图象可得出，，的范围同时，还满足，即可得答案．【解析】根据已知画出函数图象：不妨设，（a）（b）（c），，，解得，，．故选：B 二、多选题9．已知，且，，若，则下列不等式可能正确的是（    ）．A． B．C． D．【答案】AD【分析】由于，然后分情况利用对数函数的单调性比较大小即可.【解析】解：∵，∴若，则，即．∴，故A正确．，故D正确．若，则，∴，，故BC错误， 故选：AD【点睛】此题考查了对数函数的性质，属于基础题.10．若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（    ）．A． B． C． D．【答案】BC【分析】对底数分情况讨论即可得答案.【解析】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．故选：BC【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.11．设是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，若，，，则，，的大小关系是（    ）．A． B． C． D．【答案】AC【分析】因为是偶函数，化简，，．再利用在上单调递增，得解【解析】因为是偶函数，所以，，．因为，，所以．因为在上单调递增，所以．所以．故选：AC【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性比较函数值大小，属于基础题.12．已知函数，，，则下列四个结论中正确的是（    ）．A．的图象可由的图象平移得到B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．不等式的解集是【答案】ABC【分析】由可知A正确；设，证明即可判断B；设，证明即可判断C；利用指数函数的单调性解不等式，分类讨论不等式的解，即可判断D.【解析】对于A，因为，所以的图象可由的图象平移得到，所以A正确；对于B，设，则，，因为，所以的图象关于直线对称，B正确；对于C，设，则，，因为，所以的图象关于点对称，所以C正确；对于D，由，得，化为，，若，则；若，则，所以D错误．故选：ABC【点睛】本题考查指数与指数函数、函数的基本性质，属于中档题. 三、填空题13．的值域是______【答案】【分析】令t＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，根据二次函数的性质可得t≥﹣4，结合指数函数的图象和性质，可得y∈（0，16]．【解析】令t＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则t≥﹣4，则y16，又∵y0，故函数y的值域是（0，16]，故答案为（0，16]【点睛】本题考查的知识点是指数函数的定义域，解析式，值域，二次函数的图象和性质，是二次函数和指数函数的综合应用，难度中档．14．若函数f(x)= (且)有两个零点，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】试题分析：令，则，当时，为减函数，为增函数，至多只有一个交点，不符合题意.当时，的图像显然有两个交点，故.考点：函数的单调性，函数图象与性质.【思路点晴】与指数函数有关的试题，大都以其性质及图象为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．比较两个对数值的大小，若同底数，考虑应用函数的单调性；若底数不同，首先化同底数.对数函数的定义域、值域问题，要考虑底数大于零且不为，真数大于零．数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想的应用，是本题的一突出特点．15．若不等式(m2－m)2x－()x<1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是____．【答案】－2<m<3【分析】根据指数函数的性质，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题即可．【解析】解：（m2﹣m）2x1对一切x∈（﹣∞，﹣1]恒成立等价为（m2﹣m）2x1，即（m2﹣m）（）2，∵x∈（﹣∞，﹣1]，∴ 即（）26，即（m2﹣m）＜6，则m2﹣m﹣6＜0，解得﹣2＜m＜3，故答案为﹣2＜m＜3【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用指数函数的性质将参变分离是解决本题的关键．16．已知函数（且）在上的值域是.若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围为________.【答案】【分析】首先根据对数型函数的单调性及值域可求出的值，再结合指数函数图象平移即可得的取值范围.【解析】函数（且）在上的值域是当时，单调递减∴，无解当时，单调递增，∴，解得，∵的图象不经过第一象限，∴解得，即的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 四、解答题17．求值：(1)(2)【答案】(1)19(2)． 【分析】根据指数、对数的运算法则，指对的互化，根式的运算法则运算即可.（1）（2）18．已知函数．（1）作出函数的图象；（2）若，且，求证：．【答案】（1）图象见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先根据绝对值定义化函数为分段函数形式，再作图；（2）先根据函数单调性确定，再根据与1大小分类证明不等式.【解析】（1），其图象如图所示． （2）由图知， 在上是减函数，在上是增函数，故结合条件知必有．若，则，，所以；若，则由，得，即，所以．综上知，总有．【点睛】本题考查函数图象、证明不等式，考查综合分析论证能力，属中档题.19．已知函数．(1)求函数的解析式及定义域；(2)求函数在时的值域．【答案】(1)，的定义域为(2) 【分析】（1）利用换元法求得函数的解析式，根据函数定义域的求法，求得函数的定义域.（2）结合的取值范围来求得在时的值域．（1）对于，需；对，需；则，令，则，，，所以，即的定义域为.（2）当时，，.当时，，.所以在时的值域为.20．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数，都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？【答案】乙选择的模型较好.【分析】由二次函数为，利用待定系数法求出解析式,计算时的函数值;再求出函数的解析式,计算时的函数值,最后与真实值进行比较，可决定选择哪一个函数式好.【解析】依题意，得，即，解得∴甲：，又，，,将代入④式，得将代入①式，得， ∴乙：计算当时，；当时，；当时，.可见，乙选择的模型与实际数据接近，乙选择的模型较好.【点睛】本题考查了根据实际问题选择函数类型的应用问题,也考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题,意在考查灵活运用所学知识解决实际问题的能力，是中档题21．已知函数，常数.（1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间；（2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；单调增区间为，；（2）.【解析】（1）时，，求其定义域，计算即可.（2）将不等式整理为，，只需要.利用单调性即可求出，进而可得.【解析】（1）证明：当时，.的定义域为.当时，.∴，∴是奇函数，是由和复合而成，单调递减，在 和单调递减，所以在 和单调递增，所以的单调增区间为，.（2）由，得，令，若使题中不等式恒成立，只需要.由（1）知在上是增函数，单调递减，所以在上是增函数，所以.所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，利用函数的单调性求最值，考查了恒成立问题，属于中档题.22．已知函数，，.(1)求函数在区间上的最小值；(2)求函数在区间上的最大值；(3)若对，，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)最小值为4；(2)答案见解析；(3). 【分析】（1）通过基本不等式即可求得答案；（2）设，将函数转化为，然后讨论函数对称轴与区间端点的大小关系，进而求出函数的最大值；（3）将问题转化为，然后结合（2）求得答案.（1）当时，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，函数在区间上的最小值为4.（2），，令，则上述函数化为，.因为，所以对称轴，当，即时，函数在上单调递减，所以当时，；当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以；当，即时，函数在上单调递增，所以.综上，当时，的最大值为；当时，的最大值为；当时，的最大值为.（3）对，，使得成立，等价于成立，即，由（1）可知，当时，，因此，只需要.所以当时，，解得，所以；当时，，解得或，所以，；当时，，解得，此时解集为空集；综上，实数m的取值范围为.23．已知函数的图象在定义域上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.(1)若满足性质，且，求的值；(2)若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和.（参考数据：）(3)若函数满足性质，求证：函数存在零点.【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；（2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和；（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.(1)因为满足性质，所以对于任意的x，恒成立.又因为，所以，，，由可得，由可得，所以，.(2)若正数满足，等价于，记， 显然，，因为，所以，，即.因为的图像连续不断，所以存在，使得，因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.(3)若，则1即为零点；因为，若，则，矛盾，故，若，则，，，可得.取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函数在上存在零点，当时，函数在上存在零点，若，则由，可得，由，可得， 由，可得.取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函数在上存在零点，当时，函数在上存在零点，综上，函数存在零点.