人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系当堂达标检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系当堂达标检测题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2集合的基本关系
一、单选题
1．下列表述正确的有（       ）
①空集没有子集；
②任何集合都有至少两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若∅是A的真子集，则A≠∅.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断.
因为∅⊆∅，故①错；
∅只有一个子集，即它本身．故②错；
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故③错；
空集是任何非空集合的真子集，故④正确，
故选：B.
2．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；
③空集是任意集合的子集，故，正确；
④空集没有任何元素，故，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
3．已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据是的子集列方程，由此求得的取值集合.
由于，所以，
所以实数m的取值集合为.
故选：C
4．若集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，则A，B，C的关系是（       ）
A．CA＝B B．A⊆C⊆B
C．A＝BC D．B⊆A⊆C
【答案】A
【解析】
【分析】
由整数的整除性，可得A、B都表示奇数集，C表示除以4余3的整数．将A、B、C尽可能形式表达统一，由此利用集合间的关系求解．
∵A＝{x|x＝2(k＋1)－1，kZ}，B＝{x|x＝2k－1，kZ}，C＝{x|x＝2·2k－1，kZ}，
,C集合中只能取偶数，
故选：A.
5．给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
①空集中不含任何元素，由此可判断①；
②是整数，故可判断②正确；
③通过解方程，可得出，故可判断③；
④根据为正整数集可判断④；
⑤通过解方程，得，从而可判断⑤.
①，故①错误；
②是整数，所以，故②正确；
③由，得或，所以，所以正确；
④为正整数集，所以错误；
⑤由，得，所以，所以错误.
所以正确的个数有2个.
故选：B.
6．已知集合，，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合B，然后根据集合间的关系以及韦恩图即可判断正确选项.
解：因为集合，
所以，又集合，
所以，根据韦恩图可得选项C正确，
故选：C.
7．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合A，B，由此利用列举法能求出满足A⫋C⊆B的集合C的个数．
：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，
∴满足A⫋C⊆B的集合C有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，
共7个．
故选：B．
8．对于两个非空集合A，B，定义集合且，若，，则集合N－M的真子集个数为（       ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意求出，从而可求出其真子集个数
由题意，知集合，所以集合N－M的真子集个数为．
故选：C
【点睛】
方法点睛：若集合A中有n个元素，则A的子集个数为，真子集个数和非空子集个数均为，非空真子集个数为．
9．设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解绝对值不等式得到集合，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.
集合，
或
又，所以或
即或，即
所以的取值范围为
故选：D
10．集合至多有1个真子集，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得元素个数，分类讨论求解
当时，，满足题意，
当时，由题意得，得，
综上，的取值范围是
故选：D
11．若，则，就称是伙伴集合．其中的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据伙伴集合的定义利用列举法即可求出结果.
若，则，就称是伙伴集合，
，
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有，，．
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是3．
故选:B
12．全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：
①若，则；
②若，则中至少有8个元素；
③若，则中元素的个数一定为偶数；
④若，则.
其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.
所以当，则有，，，
进而有：，，，
①若，则，正确；
②若，则，，，能确定4个元素，不正确；
③根据题意可知，，若能确定4个元素，当也能确定四个，当也能确定8个所以，则中元素的个数一定为偶数正确；
④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知，，，，即，故正确，
综上：①③④正确.
故选C.
点睛：图象的变换：（1）平移：左加右减，上加下减；
（2）对称：①变为，则图象关于y轴对称；
②变成，则图象关于x轴对称；
③变成，则图象关于原点对称；
④变成，则将x轴正方向的图象关于y轴对称；
⑤变成，则将x轴下方的图象关于x轴对称.
二、多选题
13．下列关系中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据空集的定义和性质，依次判断即可
选项A：空集中没有元素，故A错误；
选项B：中只有一个元素，故B正确；
选项C，D：空集是任意集合的子集，故C，D正确
故选：BCD
14．下列集合是空集的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据各选项集合的描述直接判断是否为空集即可.
A：由上恒成立，故；
B：方程无解，故；
C：，不为空集；
D：，不为空集 .
故选：AB
15．下列说法正确的是（       ）
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合共有4个子集
C．集合
D．集合
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据集合的性质依次判断即可.
对A，空集不是它自身的真子集，故A错误；
对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确；
对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；
对D，因为，当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误.
故选：BC.
16．下列选项中两个集合相等的是（       ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用集合相等判断.
A. 因为，故两个集合相等；
B. 因为的元素是， 的元素为0，故两个集合不相等；
C. 因为 且，故两个集合相等；
D. ，故两个集合相等；
故选：ACD
17．（多选）集合，，下列说法正确的是（       ）
A．对任意，是的子集 B．对任意，不是的子集
C．存在，使得不是的子集 D．存在，使得是的子集
【答案】AD
【解析】
【分析】
讨论、均为非空或空集，研究集合、之间的包含关系.
当、均不为空集时，，，此时，是的子集；
当、均为空集时，，与互为子集，
故选：AD.
18．已知集合，，下列说法正确的是（       ）
A．不存在实数使得
B．当时，
C．当时，
D．存在实数使得
【答案】AD
【解析】
【分析】
选项A由集合相等列方程组验算；选项B由得，故不满足；选项C、D通过假设求出实数的取值范围可判定.
选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确.
选项B：当时，，不满足，故选项B错误.
若，则
①当时，有，；
②当时，有此方程组无实数解；
所以若，则有，故选项C错误，选项D正确.
故选：AD.
三、填空题
19．一个元集合有___________个子集，有___________个非空子集，有___________个非空真子集.
【答案】              
【解析】
【分析】
一个集合中如果含有个元素，则子集的个数为，非空子集个数就在此基础上去掉1个，非空真子集在此基础上去掉2个
一个集合中如果含有个元素，则子集的个数为，非空子集个数为，非空真子集个数为
故答案为：，，
20．集合且的真子集有___个．
【答案】
【解析】
【分析】
求出集合且的元素个数，利用真子集个数公式可得结果.
且，该集合的元素个数为，
因此，该集合的真子集个数为.
故答案为：.
21．集合，，若，则的值为__________.
【答案】0
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系求解，即由求解．
因为，所以，
显然，
若，则与集合元素的互异性矛盾，舍去；
若，则或（舍去），
综上，．
故答案为：0．
22．已知集合，，则满足条件的集合的个数为_________个
【答案】7
【解析】
【分析】
化简集合A，B，根据条件确定集合C的个数即可.
因为，
,
因为，所以1，2都是集合C的元素，
集合C中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个，
所以集合C为：，，，，，， ，共7个.
故答案为：7
23．当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”，或构成“偏食”，则的取值集合为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
分与构成“全食”，或构成“偏食”两种情况讨论．
当与构成“全食”即时，
当时，；
当时，，
又，
；
当与构成构成“偏食”时，且，
．
故的取值为：0，，，
故答案为：
24．集合有10个元素，设M的所有非空子集为每一个中所有元素乘积为，则___________.
【答案】-1
【解析】
【分析】
分析可得M的所有非空子集为可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积，综合即可得答案.
集合M的所有非空子集为可以分成以下几种情况
①含元素0的子集共有个，这些子集中所有元素乘积；
②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有个
③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有个
其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则的和为0，
④只含元素-1的子集1个，满足，
综上：所有子集中元素乘积.
故答案为：-1
四、解答题
25．判断下列集合、是否表示同一集合，若不是，请说明理由.
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，.
【答案】(1)是；
(2)否，理由：和是两个不同元素；
(3)是；
(4)否，理由：是数集，是点集.
【解析】
(1)
，元素一样，是同一集合；
(2)
表示不同的点，故，集合不同
(3)
，表示的范围相同，是同一集合
(4)
不是同一集合，是数集，是点集.
26．判断下列表述是否正确：
（1）；             （2）；
（3）；             （4）；
（5）；             （6）；
（7）；             （8）．
【答案】（1）不正确；（2）不正确；（3）正确；（4）正确；（5）不正确；（6）不正确；（7）正确；（8）正确．
【解析】
【分析】
（1）由判断；（2）由Ü可判断；（3）由可判断；（4）由可判断；（5）由可判断；（6）由Ü可判断；（7）由空集是任何集合的子集可判断；（8）由空集是任何非空集合的真子集可判断.
解：（1）因为，所以错误，故（1）不正确；
（2）因为Ü，所以错误，故（2）不正确；
（3）因为，所以正确，故（3）正确；
（4）因为，所以（4）正确；
（5）因为，所以错误，故（5）不正确；
（6）因为Ü，所以错误，故（6）不正确；
（7）因为空集是任何集合的子集，所以正确，所以（7）正确；
（8）因为空集是任何非空集合的真子集，所以正确，故（8）正确．
27．写出下列集合的所有子集：
；       ；   ．
【答案】，；，，，；，，，，，，，.
【解析】
【分析】
根据所给集合列出相应子集即可.
解：，.
，，，.
，，，，，，，.
28．指出下列各对集合之间的关系：
（1）A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
（2）A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
（3）A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
（4）M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
【答案】（1）A与B之间无包含关系；（2）AÜB；（3）AÜB；（4）NÜM．
【解析】
【分析】
对四对集合逐一分析，由此确定之间的关系.
（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
（2）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AÜB．
（3）集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AÜB．

(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NÜM．
29．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的存在，求的值，若不存在，请说明理由.已知集合__________，.若是的真子集，求实数的取值范围.
【答案】当选条件①时；当选条件②③时，不存在a的值满足题意.
【解析】
【分析】
分别选择条件①②③，根据真子集的条件列不等式求解即可.
当选条件①时，因为是的真子集，
所以（等号不可同时取得）， 解得．所以实数a的取值范围是．
当选条件②时，因为是的真子集，
所以解得a＝1．此时A＝B，不符合条件．
故不存在a的值满足题意．
当选条件③时，因为是的真子集，
所以，该不等式组无解，
故不存在a的值满足题意．
综上：当选条件①时；当选条件②③时，不存在a的值满足题意.
30．（1）已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况．
（2）已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6-a∈M，试求M所有可能的结果．
【答案】（1）{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}；（2）{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
【解析】
【分析】
（1）列举法，按元素个数分类写出所有可能情况；
（2）将元素分为三组3，2和4，1和5，按元素个数分类列举写出所有结果即可.
（1）因为{1，2}⊆M，所以1∈M，2∈M，
又因为M⊆{1，2，3，4，5}，
所以M是含有1，2的{1，2，3，4，5}的子集，
故M的所有可能情况是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个．
（2）若M只含1个元素，则M={3}；
若M只含2个元素，则M={1，5}，{2，4}；
若M只含3个元素，则M={1，3，5}，{2，3，4}；
若M只含4个元素，则M={1，2，4，5}；
若M含5个元素，则M={1，2，3，4，5}．
所以M可能的结果为：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．
【点睛】
关于集合子集个数的结论：一个集合有n个元素，则这个集合的子集的个数为，真子集的个数为.
31．已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；
(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．
【答案】(1)a∈∅
(2)a≤3
【解析】
【分析】
（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；
（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立
(1)
∵M⊆N，∴，∴a∈∅；
(2)
①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．
②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，
则，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．
综上a≤3．
32．设集合，．
(1)当时，求A的非空真子集个数；
(2)当时，求m的取值范围．
【答案】(1)62
(2)
【解析】
【分析】
（1）由条件确定集合A中元素，即可求解；
（2）由，分类讨论，建立不等式求解即可.
(1)
（1）∵，
∴，
∴A的非空真子集的个数为．
(2)
分两种情况讨论：①当时，，则；
②当时，解得．
综上可得，m的取值范围为．
33．已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围．
【答案】a≥﹣1或a．
【解析】
【分析】
关于“至少“至多”“不存在”等问题可考虑反面，本题的反面是A、B、C都是空集，由此能求出a的取值范围．
假设集合A、B、C都是空集，
对于A，元素是x，，表示不存在x使得式子 成立，
，解得；
对于B，，同理，解得 或者；
对于集合C，，同理，解得；
三者交集为 ；
取反面即可得A、B、C三个集合至少有一个集合不为空集，
∴a的取值范围是或 ；
综上， 或 .
34．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.
（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；
（2）已知集合，根据提示解决问题.
①求集合所有非空子集的元素和的总和；
提示：方法1：，先求出在集合的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为，可以用表示出的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合所有非空子集的元素和的总和.
②求集合所有非空子集的交替和的总和.
【答案】（1）12；（2）①672，②192
【解析】
【分析】
（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.
（2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M中各数字出现的次数，即可得答案.
②分别求得集合的交替和总和，根据规律，总结出n个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.
（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，
集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，
集合{2，1}的交替和为2-1=1，
集合{3，1}的交替和为3-1=2，
集合{3，2}的交替和为3-2=1，
集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，
所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.
（2）①集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现次，
集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}，
其中数字1、2、3、4各出现次，
在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为，
故数字1在个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，
同理数字2、3、4、5各出现次，
同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次，
所以集合所有非空子集的元素和的总和为.
②设集合的交替和分别为，
集合{1}的所有非空子集的交替和为
集合{1，2}的所有非空子集的交替和，
集合{1，2，3}的非空子集的交替和，
集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和

所以根据前4项猜测集合的所有非空子集的交替和总和为，
所以集合所有非空子集的交替和的总和
【点睛】
解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题.