高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质同步练习题

这是一份高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质同步练习题，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
5.4 三角函数的图像与性质一、单选题1．函数的图象的一个对称轴方程是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦函数的性质计算可得.【解析】解：对于函数，令，解得，故函数的对称轴方程为，令，可知函数的一条对称轴为.故选：C2．为了得到函数 y＝sin的图象，需将函数 y＝sin的图象（    ）A．纵坐标变为原来的 3 倍，横坐标不变B．横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标不变C．横坐标变为原来的，纵坐标不变D．纵坐标变为原来的，横坐标不变【答案】C【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．【解析】将函数的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，故选：C．3．下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（    ）A．在上是增函数，在上是减函数B．在和上是增函数，在上是减函数C．在上是增函数，在上是减函数D．在上是增函数，在和上是减函数【答案】D【分析】根据正弦函数的单调性即可求解．【解析】解：因为的单调递增区间为，，，单调递减区间为，，，又，，所以函数在，上是增函数，在，和，上是减函数，故选：D.4．给出下列函数：①；②；③；④．其中最小正周期为的有（    ）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③【答案】A【分析】结合函数周期的定义以及三角函数的图像与性质即可.【解析】对于①，，其最小正周期为;对于②，结合图象，知的最小正周期为．对于③，的最小正周期．对于④，的最小正周期．故选：A．5．函数的一个对称中心的坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程即得解.【解析】解：令，令，所以函数的一个对称中心的坐标是.故选：D6．已知函数，，的部分图象如图所示，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出函数的周期求出，再根据函数过点结合余弦函数的性质计算可得；【解析】解：由图可知，所以，又，所以，所以，又函数过点，所以，解得，因为，所以.故选：C7．函数的单调递增区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，可求得结果.【解析】由，，解得，．所以函数的单调递增区间是故选：C．8．下列关于函数的说法正确的是（    ）A．最小正周期为B．图像关于点成中心对称C．在区间上单调递增D．图像关于直线成轴对称【答案】B【分析】根据函数，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．【解析】解：函数，当时，，所以图象关于点成中心对称，选项B正确；函数的最小正周期为，所以A错误；当时，，所以函数在上单调递减，所以C错误；正切函数不是轴对称函数，所以D错误．故选：B．9．设是定义域为，最小正周期为的函数，若，则的值等于（    ）A．1 B．C．0 D．【答案】B【分析】根据函数的周期性将原式子化为，接着代入相应解析式即可求值.【解析】是最小正周期为的函数，故得到：.故选：B10．记函数（）的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】由周期范围求得的范围，由对称中心求解与值，可得函数解析式，则可求．【解析】解：函数的最小正周期为，则，由，得，，的图像关于点中心对称，，且，则，．，，取，可得．，则．故选：D．11．设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ）A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为【答案】D【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解，得到函数的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断．【解析】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值，所以，则，所以，整理得，对于，，则不是函数的对称中心，故错误；对于，，则不是函数的对称中轴，故错误；对于，令，，解得，，，显然不包含区间，故错误；对于，，所以的最小正周期为，故正确．故选：D．12．已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（    ）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【解析】由函数的对称性可得、，两式相减进一步化简可得，根据正弦型函数的单调性得，代入周期计算公式可得，取验证函数的单调性即可.【解析】由于，则关于对称，即是函数的一条对称轴，，①，②①-②得，令，，则，，，，的最小正周期，在上单调， ，，解得，当时，，则②式为，，又，，此时，当时，，在上不单调，不符合题意舍去；当时，，则②式为，，又，当时， ，此时，当时，，单调递增；当时，，此时，当时，，单调递减.的最大值为9.故选：C【点睛】解决三角函数中已知单调区间求参数范围时，首先要有已知的单调区间是函数单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路. 二、多选题13．已知函数，则下列命题正确的有（    ）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点中心对称C．的表达式可改写为D．若，则【答案】BD【分析】AB选项，代入检验即可，C选项，可利用诱导公式推导；D选项，求出函数的零点，从而求出两零点的差值.【解析】当时，，，所以直线不是函数的对称轴，A错误；当时，，所以，所以是函数的对称中心，B正确；，C错误；令，解得：，，即，，所以两个零点的距离：，D正确.故选：BD.14．已知函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（    ）A．函数的图象关于点对称；B．函数的图象关于直线对称；C．函数在单调递减；D．该图象向右平移个单位可得的图象.【答案】CD【分析】根据函数的图象，可求出的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.【解析】由函数的图象可得，周期，所以，当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，故函数.对于A，当时，，即点是函数的一个对称中心，故A正确；对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误；对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D错误.故选：CD.15．关于函数，以下说法正确的是（    ）A．函数是偶函数 B．函数的最小正周期是C．是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增【答案】BCD【分析】根据奇偶性的定义可判断A项，根据正弦型函数的周期可判断B项，根据正弦型函数的对称性可判断C项，整体代入求解正弦型函数的单调性可判断D项.【解析】解：对于A，，故函数不是偶函数，故A错误；对于B，令，则函数的最小正周期为，故函数的最小正周期为，故B正确；对于C，函数图象的对称轴方程为，即，当时，，故C正确；对于D，当时，，故函数在区间上单调递减，则在区间上单调递增，故D正确；故选：BCD.16．已知函数，则下列说法不正确的是（    ）A．若的最小正周期是，则B．当时，图象的对称中心的坐标都可以表示为C．当时，D．若在区间上单调递增，则【答案】BCD【分析】对于A.根据正切函数最小正周期公式计算即可；对于B.整体代入正切函数的对称中心公式计算即可；对于C.写出函数解析式代入计算即可；对于D.整体代入正切函数的单调区间，求出关于的单增区间，再根据题意列出不等式计算出取值范围.【解析】当的最小正周期是时，，则，故A选项正确；当时，，所以令，，解得，，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项不正确；当时， ，，故C选项不正确；令，，解得，所以函数的单调递增区间为，因为在区间上单调递增，所以，解得，，另一方面，，所以，又因为，所以由，得，由，得，所以的取值范围是，故D选项不正确．故选:BCD 三、填空题17．函数的值域为______.【答案】【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，即可求解.【解析】设，因为，可得，因为正切函数在上的值域为，即函数在的值域为.故答案为：.18．如果函数是奇函数，则的值为______.【答案】【分析】根据奇函数的定义，将代入，求出的表达式，再根据确定的取值.【解析】函数是奇函数，，即，或恒成立，解得：，又，.故答案为：.19．已知当时，函数取得最大值，其中，，则______．【答案】##【分析】根据题意可得，，求出，然后利用诱导公式求解.【解析】由题知当，，即，，函数有最大值，此时．故答案为：20．设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的最大值为2，则实数m的值为______．【答案】.【分析】由题意可得，，求出，然后由，得，再结合函数的最大值为2，可得，从而可求得结果.【解析】因为函数的图象关于点对称，所以，，所以，得，因为，所以，所以，由，得，因为区间上的最大值为2，所以的最大值为，所以，得，故答案为：. 四、解答题21．求下列函数的周期：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】根据三角函数周期公式即可得到结果.【解析】（1）∵∴周期；（2）∵，∴周期；（3）∵，∴周期；（4）∵，∴周期.22．已知函数．(1)求函数的单调区间及取得最大、最小值时自变量的集合；(2)判断函数的奇偶性．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，函数取最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是.(2)函数为奇函数，理由见解析. 【分析】（1）先用诱导公式化简，再用整体法求解函数单调区间及函数取最值时自变量的取值范围；（2）利用函数奇偶性定义进行判断.(1)，令，，即，，令，，即，，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，令，，即，时，函数取得最大值；令，，即，时，函数取得最小值，所以函数取得最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是(2)函数定义域为R，且，故函数为奇函数.23．已知函数．(1)用“五点法”作法函数在上的简图；(2)根据图象求在上的解集．【答案】(1)作图见解析(2) 【解析】（1）五个关键点列表如下：01131 作图：（2）根据（1）中的图象，可得在上的解集为．24．已知函数，其中，，其图像经过点.(1)求的解析式；(2)作出函数在内的简图，并指出函数在内的单调递减区间.【答案】(1)；(2)图像见解析，递减区间为. 【分析】（1）由图像所过的点有，结合参数范围及正弦函数性质求，即可得解析式；（2）应用五点法画出函数图像，结合图像确定递减区间.（1）∵函数的图像经过点，∴，，则，∴.（2）按五个关键点列表：x0-1131-1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示，由图像知：函数在内的单调递减区间为.25．函数的部分图象如图：(1)求解析式；(2)写出函数在上的单调递减区间.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据图象求得，从而求得解析式.（2）利用整体代入法求得在区间上的单调递减区间.（1）由图象知，所以，又过点，令，由于，故所以.（2）由，可得，当时，故函数在上的单调递减区间为.26．已知函数的图像与x轴相交的两相邻点的坐标分别为和，且过点.求：（1）函数的解析式；（2）满足的x的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，根据它的图像过点求出，根据它的图像过点，求出的值即得解；（2）利用正切函数的图象得到，化简即得解.【解析】（1）由题意可得的周期为，所以，所以，因为它的图像过点，所以，即，所以，即.又，所以，于是.又它的图像过点，所以，得.所以.（2）由（1）得，所以，即.解得.所以满足的x的取值范围是27．已知函数在递增，在递减.（1）求；（2）函数的图象向右平移得函数的图象，若方程在上有实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）依题意，且为在第一象限内的第一个最高点，结合正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得的解析式，再根据函数平移求出的解析式，求出再区间上的值域，即可求出参数的取值范围；【解析】（1）在区间上单调递增，在区间上单调递减，，且为在第一象限内的第一个最高点，，，．（2）由（1）可知，将函数的图象向右平移，得到，因为，所以，所以若方程在上有实数根，即与有交点，所以28．已知下列三个条件：①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题．已知函数，______．(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的单调递增区间．【答案】(1)条件选择见解析，(2)， 【分析】(1)根据所选条件，列方程解得即可.(2)先求函数的单调增区间，找出满足条件的即可.（1）选择条件①．∵为奇函数，∴，解得，．∵，∴，∴；选条件②．，∴，∴，或，，∵，∴，∴选条件③．（1）∵是函数的一个零点，∴，∴，．∵，∴，∴.（2）由，，得，，令，得，令，得，∴函数在上的单调递增区间为，．29．已知函数图象的一个对称中心为，其中为常数，且.(1)求函数的解析式；(2)已知函数，若对任意的，均有，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意得到，求得，结合，即可求解；（2）根据，求得，根据，求得，结合题意，得到，即可求解.（1）解：因为函数图象的一个对称中心为，可得，解得，又因为，解得，所以.（2）解：由，可得，所以，即，由，可得，所以，所以，因为对任意的，均有，所以，解得，所以实数的取值范围为.30．已知函数． 请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为．（1）求函数的解析式；（2）若是函数的零点，求的值组成的集合；（3）当 时，是否存在满不等式？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）选择①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范围，利用见解析.【解析】（1）选择①②，将点代入，结合可求，由点是的对称中心可得，结合，可得，即可得解析式；选择①③：将点代入，结合可求，由，所即，可得，即可得解析式；选择②③由，所即，可得，若函数的图象关于点对称，则，结合，可得，即可得解析式；（2）若是函数的零点，则，解得或，可得或，进而可得可能的取值，即可求解；（3）由得，当时，函数可转化为，，，利用偶函数的性质原不等式可化为，即可求解.【解析】选择①②：因为函数的图象过点，所以，解得，因为，所以，因为函数的图象关于点对称，则，可得，因为，所以，，所以，选择①③：若函数的图象过点，所以，解得，因为，所以，因为函数相邻两个对称轴之间距离为，所以，所以，，解得：，所以，选择②③：因为函数相邻两个对称轴之间距离为，所以，所以，，解得：，若函数的图象关于点对称，则，可得，因为，所以，，所以（2）若是函数的零点，则，可得，所以或 解得：或，若是函数的零点，则，，当时，，当时，，当时，所以的值组成的集合为；（3）当时，，令，则，令，则，，因为，所以，即，所以，即，，解得：.所以实数的范围是：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由余弦函数的性质求出的解析式，再利用余弦函数的零点可求可能的取值，求的范围的关键是构造偶函数，利用单调性脱掉，解关于的不等式.