人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课时练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课时练习，共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
5.6函数
一、单选题
1．函数的最小正周期是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦型函数的周期公式求解即可.
【解析】函数的最小正周期为，故B，C，D错误.
故选：A.
2．将的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数平移变换结论求解.
【解析】将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
故选：D．
3．简谐运动可用函数表示，则这个简谐运动的初相为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据初相定义直接可得.
【解析】由初相定义可知，当时的相位称为初相，
所以，函数的初相为.
故选：B
4．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由振幅可得的值，由周期可得的值，由初相位可得的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.
【解析】解：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则，
周期为，则，初相位为，，
所以噪声的声波曲线的解析式为，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．
故选：A.
5．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移（）个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（    ）.

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象可得的周期，振幅和过，即可求出其解析式，然后可得平移后的解析式，然后根据对称性求出答案即可.
【解析】设的最小正周期为，由图知，，
∴，∴，∴，
将代入，得，又，∴，∴，
将的图象向左平移，所得函数的解析式为：
，
∵的图象关于直线对称，∴（），
∴（），∵，∴的最小值为，
故选：C.
6．已知函数在单调递增，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简的解析式，得到周期，根据题意可得，从而得出的大致范围，在根据函数的单调性，求出函数的单调区间，利用为某一增区间的子集， 从而得出答案.
【解析】，周期
函数在单调递增，则 ,解得
则
函数的单调递增区间满足
即
当，，当时，，当时，
所以，则，解得
故选：C
7．函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据已知将函数化简为，然后根据函数的奇偶性确定的取值，将选项分别代入验证再根据单调性即可排除选项．
【解析】
所以 ，由于函数为奇函数，
故有，即：，可排除、选项
然后分别将和选项代入检验，
当时，，，其单调递减区间为，，在区间上单调递增，不符题意.
易知当时，，其单调递减区间为，
故其在区间上递减，满足题意.
故选：D．
8．设函数的部分图象如图所示，若，且，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图像求出，由得到，代入即可求解.
【解析】根据函数的部分图象，可得：A=1;
因为，，
结合五点法作图可得，，．
如果，且，结合，可得，
，，
故选：C．
9．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）
A．是奇函数
B．的最小正周期是
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递减
【答案】D
【分析】先利用三角函数恒等变换公式和三角图像变换规律求出的解析式，然后根据三角函数的图像和性质逐个分析判断即可
【解析】解析：由题意可得，
则，从而的最小正周期，故AB错误．
令，解得
当时，，故C错误．
令，解得．
当时，，
因为，
所以D正确．
故选：D
10．函数部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）

A．若把的图象平移个单位可得到的图象，则
B．，恒成立
C．对任意，，，，
D．若，则的最小值为
【答案】D
【分析】由图象求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【解析】由图象可得，函数的最大值为，即，
又由，即，且，所以，所以，
因为且为单调递减时的零点，所以，
可得，，由图象知，可得，
又由，所以，所以，
对于A中，因为的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，
可得，所以A错；
对于B中，令，，得对称轴为，，则B错；
对于C中，函数单调递增区间的长度，最大为，故C错；
对于D中，由，因为，所以且，设，使最小，即绝对值最小的零点，
令，，可得，，
由时，，所以，所以D正确.
故选：D.
【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
11．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角恒等变换化简函数，再由图象的平移得到函数的解析式，利用函数的值域，可知的值为函数的最小正周期的整数倍，从而得出选项.
【解析】函数，
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；
再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，所以函数的值域为.
若，则且，均为函数的最大值，
由，解得；
其中､是三角函数最高点的横坐标，
的值为函数的最小正周期的整数倍，且.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平移，以及函数的值域和周期，属于中档题.
12．已知函数（，对，且都有．满足的实数有且只有3个，给出下述四个结论：
①满足题目条件的实数有且只有1个；
②满足题目条件的实数有且只有1个；
③在上单调逸增；
④的取值范围是．
其中所有正确结论的编号是（    ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】根据已知条件，先求解出的范围，换元，令然后画出的图像，根据选项的描述，判断函数的单调性、判断其零点个数、判断的范围，从而求解出对应的取值范围，即可完成求解.
【解析】∵，当时，．
由于函数在上满足的实数有且只有3个，
即函数在上有且只有3个零点，

由图象可知，解得，结论④正确；
由图象知，在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论①正确，结论②错误；
当时，，
由，知，
所以在上递增，则函数在上单调递增，
结论③正确．
综上，正确的有①③④，
故选：D．

二、多选题
13．已知曲线：，：，则下面结论正确的是（    ）
A．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线
B．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线
C．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【答案】AD
【分析】先利用诱导公式把化简得，，然后利用三角函数图像变换规律求解即可
【解析】解：，
所以将曲线：向左平移个单位长度，得，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到曲线；
或将曲线：上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，
故选：AD
【点睛】此题考查三角函数图像变换规律的应用，考查诱导公式的应用，属于基础题
14．已知函数，则（      ）
A．是周期为的周期函数
B．的值域是
C．在上单调递增
D．将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图像
【答案】AD
【分析】先结合诱导公式与二倍角公式化简，然后结合函数的图象与性质逐项分析即可判断.
【解析】




，所以是周期为的周期函数，故A正确；因为，所以，故B错误；因为在上单调递减，所以，即，当时，，所以在上单调递减，故C错误；将的图像向左平移个单位长度后，得为奇函数，故D正确；
故选：AD.
15．已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上有三个零点
C．当时，函数取得最大值
D．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)
【答案】AC
【分析】根据各选项分别进行讨论，从而得出结论.
【解析】A选项，根据周期公式，故A正确；
B选项，画出函数图象，根据图象可知函数在上有两个零点，故B错误；
C选项，画出函数图象，根据图象可知当时，函数取得最大值，故C正确；

D选项，为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，故D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查余弦型三角函数的知识点，涉及到函数的周期零点以及函数的图象等，属于基础题型.
16．（多选题）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的可能取值（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】根据平移得到，最大值为3，最小值为，由，可知，，根据，求出可能的取值，即可计算的值.
【解析】由的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得，，
所以
由可知，，
由，即
所以，即，
由可得，
所以，
，
，
，
，
也可有，
故选：AD
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

三、填空题
17．设函数，若将图像向左平移个单位后，所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则_______．
【答案】##1.25
【分析】求出平移后的解析式，根据平移后的解析式图象与原函数图像的对称轴重合得到，利用得到的取值范围，进而求出，.
【解析】平移后的解析式为，因为与原函数图像的对称轴重合，所以，.所以，k∈Z，因为，所以，解得：，因为，所以，所以.
故答案为：
18．在函数一个周期上，当时，有最大值2，当时，有最小值－2，则＝________．
【答案】2
【分析】根据一个周期内的最大最小值求出周期，再由周期公式求即可.
【解析】依题意知
所以，又，得．
故答案为：2
19．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有________.
①的周期为                 ②在单调递增
③在单调递减        ④的一条对称轴的方程为
【答案】②③④
【分析】由平移法则逆向求出，由周期公式可判断①，由整体代入法可判断②③④.
【解析】由题可知，要得到，需将的图象，向左平移个单位长度得到，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍得到，周期为，故①错；
当时，，故在单调递增，②正确；
当时，，故在单调递减，③正确；
当时，，，故④正确；
故答案为：②③④
20．设，若存在，使成立的最大正整数为9，则实数的取值范围是__________.
【答案】##
【分析】依题意，分类讨论作出函数简图，求得最值解不等式组即可
【解析】
依题意
（1）当时, 函数草图如下图所示,

此时, ,
则    满足条件;
（2）当 时, 函数草图如下图所示,

此时, ,
则无解
（3）当时, 函数草图如下图

此时, ,,
则, 无解;
（4）当时, 函数草图如下图所示,

此时, , ,
则
解得 , 满足条件
故答案为：

四、解答题
21．已知函数．
(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的简图；
(2)该函数图象可由正弦曲线经过怎样的变化而得到？
(3)写出该函数的定义域、值域、周期，单调区间、对称中心坐标和对称轴方程．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3) ， 时单调递增， 时单调递减， ，
.

【分析】（1）每隔周期取一个点即可；
（2）按照函数图像平移伸缩的性质判断即可；
（3）正弦函数的性质写出对应的答案.
(1)
由于 的周期为 ，
取5个点，分别为：  ，
图像为下图：

(2)
先将函数 向左平移 得到 ，再将横坐标缩短为原来的 ，
得到 ，再将纵坐标扩大为原来的3倍得到 ；
(3)
定义域为 ，值域为 ，周期为 ，
时单调递增， 单调递减，
对称中心为 ，
对称轴方程为x= ，
故答案为：图形见解析，变化见解析，，，，
时单调递增， 单调递减，，x=.
22．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

0

π

2π







0
2
0

0

(1)请将数据补充完整；函数的解析式为＝_______（直接写出结果即可）；
(2)求函数的单调递增区间．
【答案】(1)表格见解析，；
(2).

【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊值求出φ的值，可得函数的解析式，并补充表格数据即可；
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递增区间．
(1)
把表格补充完整如下所示：

0

π

2π







0
2
0
﹣2
0

根据表格可得，∴ω＝2．
又函数的最大值为，，故；
再根据五点法作图可得2，∴φ，
∴函数的解析式为：.
(2)
令2kπ2x2kπ，求得 kπx≤kπ,，
故可得函数的单调递增区间为[kπ，kπ]，．
23．函数（，，）的一段图象（如图所示）.

(1)求函数解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)，
(3)最大值为、最小值为

【分析】（1）由图象可得的周期，过点，，即可求出答案；
（2）解出不等式即可得到答案；
（3）由可得，然后根据正弦函数的知识可得答案.
(1)
设函数的周期为，则由图知，∴，
∴，∴，
将点代入得，
∴，，∴，，∵，∴，
∴，将点代入得，∴，
∴；
(2)
由，可得，，
∴函数的单调增区间为，；
(3)
∵，∴，∴，
当时，当时，
故在区间上的最大值为、最小值为
24．已知函数，
(1)求函数的最小正周期与单调递增区间；
(2)若时，函数的最大值为，求实数的值.
【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为
(2)

【分析】（1）利用降幂公式以及辅助角公式化简得，从而得周期，再利用整体法计算单调增区间；（2）根据，由整体法得的范围，可知函数的最大值为，从而求解得.
(1)

则函数的最小正周期，根据，得，所以函数的单调递增区间为.
(2)
因为，所以，
则当时，函数取得最大值，
即，得.
25．已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为
(1)求函数的单调递增区间和其图象的对称轴方程;
(2)先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线C，再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求x的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，对称轴方程为；
(2)

【分析】(1)由条件可得函数的最小正周期，结合周期公式求，再由正弦函数性质求函数的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据直线函数性质解不等式求x的取值范围.
【解析】（1）因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，，所以，
由，可得，，
所以函数的单调递增区间为，
由得，
所以所求对称轴方程为
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，
把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到的图象，
由得，所以，，
所以，，所以x的取值范围为
26．函数（其中，，）的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像.

(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)对于，是否总存在唯一的实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由
【答案】(1)单调递增区间为（）
(2)存在，

【分析】(1)由函数图像求出解析式，再由图像变换求出，整体代入法求单调递增区间.
（2）分别求和的取值范围，由和的唯一性，求实数m的取值范围.
【解析】（1）由函数图像可知，，
，∴，，
∴，当时，，
∴，由得，∴.
由，得
由，解得，
∴函数的单调递增区间为（）
（2）由，得，
由，得，∴，
∴，
又，得，所以，
由的唯一性可得：即，
由，得，解得，
所以当时，使成立.
27．设函数
(1)若，，求角；
(2)若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件：
(3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)当时，（且）；当时，，

【分析】（1）先化简，由可得或，，再结合的范围即可求解；
（2）由余弦函数的单调性和参数分离、对勾函数的单调性, 可得所求范围;
（3）由三角函数的图象变换可得 , 再由两角和的正弦公式和恒等式的性质, 解方程可得所求范围.
(1)
由题意可知
∵，

或，
∵
∴或
(2)


令，
∴，，
，
令，
∴，
解得：；
(3)
∵，
∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的，
可得
∵，存在非零常数，对任意的，
成立，在上的值域为，在上的值域为
∴
当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍．所以，即（且）
当时，
由诱导公式可得，
即，
所以当时，（且）；
当时，，
28．已知函数，
(1)化简到，并求最小正周期；
(2)求函数在区间上的单调减区间；
(3)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求a的取值范围.
【答案】(1)，最小正周期是；
(2)；
(3).

【分析】(1)根据给定条件利用和角的余弦公式、二倍角的正弦、余弦公式，辅助角公式变形即可得解.
(2)利用(1)的结论结合正弦函数的单调性列式计算作答.
(3)利用(1)的结论结合给定的变换求出的解析式，再借助的性质列式计算作答.
(1)
依题意，，
其中，则，
所以，最小正周期是.
(2)
由(1)知，当时，，则由得，
即在上单调递减，
所以函数在区间上的单调减区间是.
(3)
由(1)知，，将函数图像向右移动个单位所得函数为，
于是得，则的周期为，
因在区间上至少有100个最大值，则在长为2的区间上至少有99.5个周期，
因此，，解得，而，于是得，
所以a的取值范围.
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.
29．已知函数，函数f（x）的图象经过点且f（x）的最小正周期为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）图象上所有的点向下平移1个单位长度，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数y＝h（x）图象，令函数g（x）＝h（x）+1，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．
（3）若对任意x∈[0，2π]恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）利用，求出，再将点代入求出即可求解.
（2）利用三角函数的平移伸缩变换求出g（x），再利用正弦函数的性质即可求解.
（3）由（1）将不等式化为，令，利用二次函数的图像与性质即可求解.
【解析】（1）由，解得，
将点代入解析式可得：，
则，解得，
又因为，所以.
所以.
（2）函数y＝f（x）图象上所有的点向下平移1个单位长度，
再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
可得，
再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，
可得，所以，
令，求得，
或，
求得或，
故函数的零点为或，
相邻两个零点之间的距离为或，
若b﹣a的值最小，则和都是零点，
此时在区间，，，，
分别恰有个零点，
所以在区间恰有个零点，
从而在区间至少有一个零点，
，
另一方面，在区间恰有30个零点，
因此b﹣a的最小值.
（3）由（1）且对任意x∈[0，2π]恒成立，
则对任意x∈[0，2π]恒成立，
即对任意x∈[0，2π]恒成立，
令，
对任意恒成立，
令，
恒成立，
即在上有零点，
所以对任意恒成立，
当时，即时， 在上单调递增，
只需，即，解得，
此时无解，
当时，即时， 在上单调递减，
只需，即，解得，
综上所述，实数m的取值范围为．
【点睛】本题考查了由性质求三角函数解析式、三角函数的平移伸缩变换、函数的零点、不等式恒成立问题，此题综合性比较强，属于难题.