人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课后复习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课后复习题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
3.2.1 单调性与最大（小）值一、单选题1．下列四个函数在是增函数的为（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据各个函数的性质逐个判断即可【解析】对A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对．对B，为一次函数，，在是减函数，故B不对．对C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对．对D，为反比例类型，，在是增函数，故D对．故选：D2．函数的单调递减区间是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数的性质得解；【解析】解：因为定义域为，函数在和上单调递减，故函数的单调递减区间为和；故选：A3．定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的单调性，判断选项即可．【解析】定义域在上的函数满足：对任意的，，有，可得函数是定义域在上的增函数，所以（1）（3）．故选：．4．若函数的图象如图所示，则其单调递减区间是（       ）A．， B．C． D．【答案】B【分析】利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数单调递减区间.【解析】观察函数的图象，可知函数的单调递减区间为.故选：B5．若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．【解析】解：由函数的单调性定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，由此可知，选项A，B，D都正确.若，则，故选项C不正确.故选：C.6．若是上的严格增函数，令，则是上的（       ）A．严格增函数 B．严格减函数C．先是严格减函数后是严格增函数 D．先是严格增函数后是严格减函数【答案】A【分析】由函数的单调性的定义判断可得选项.【解析】解：因为是R上的严格增函数，所以由复合函数单调性法则可得，也是R上的严格增函数，所以是R上的严格增函数.故选：A.7．若函数在上不单调，则m的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】要想在上不单调，则对称轴在内【解析】的对称轴为，则要想在上不单调，则，解得：故选：B8．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的性质可知，，即可解出．【解析】依题意可知，，所以，解得．故选：B．9．函数的单调递减区间为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出函数的定义域，再由二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解.【解析】由得或，即函数的定义域为，又二次函数的图象的对称轴方程为，所以函数（）在区间上单调递减，在区间上单调递增，又函数为增函数，所以的单调递减区间为．故选：D10．函数在区间上的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．【解析】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．故选：B11．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用换元法以及复合函数的单调性的法则进行处理.【解析】当a=0时，，不符合题意.当a>0时，设，则函数，因为在区间上单调递减，要使函数在上单调递减，则，解得.当a<0时，在区间上为增函数，要使函数在上单调递减，则，解得a<0.综上，a的取值范围为.故B，C，D错误.故选：A.12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分段函数、二次函数、一次函数的单调性可建立不等式求解.【解析】由题意，解得，故选：B 二、多选题13．（多选）下列函数中，满足“，，都有”的有（       ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由题设条件可得应为上的增函数，逐项判断后可得正确的选项.【解析】因为，，都有，故应为上的减函数.对于A，当 ，，则在上为增函数，故A错误.对于B，在上为减函数，故B正确.对于C，对称轴，故在上为增函数，故C错误.对于D，在上为减函数，故D正确.故选：BD．14．（多选）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（       ）A．2 B． C．1 D．0【答案】AB【分析】根据一次函数的单调性分和两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解.【解析】依题意，当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即；当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即．故选AB．【点睛】本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题.15．（多选）已知函数，则（       ）A．最小值为 B．在上是增函数C．的最大值为1 D．无最大值【答案】AC【分析】分和两种情况，把函数转化为，利用对勾函数的性质和基本不等式求函数的最值与值域即可.【解析】，当时，；当时，，此时在是减函数，在上是增函数，所以，故A正确，B错误；当时，，当且仅当时取等号，所以，所以，此时，又时，，所以的值域为，故C正确，D错误.故选：AC．16．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（       ）A．2 B．-1 C．0 D．1【答案】BC【分析】分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案.【解析】解：当时，，所以当时，，若，则，所以此时，即存在最小值，若，则当时，，无最小值，若，则当时，为减函数，则要使存在最小值时，则，解得，综上或.故选：BC. 三、填空题17．若函数，则、、之间的大小关系为______．【答案】##【分析】结合二次函数开口和对称轴，判断自变量与对称轴距离，进而判断大小.【解析】因为，因为开口向上，所以最小，又，所以，所以.故答案为：18．已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.【答案】94##214##2.25【分析】依题意可得，再根据函数的定义域求出，的取值范围，则，，根据二次函数的性质计算可得.【解析】解：∵函数，，实数，满足，∴，可得，，，又，∴，则，，所以当时，，即，时，取得最大值.故答案为：19．已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.【答案】【分析】去绝对值将转化为分段函数，再根据单调性求解a的值即可.【解析】因为函数，故当时，单调递减，当时，单调递增.因为函数的增区间是，所以，所以.故答案为：.20．已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________【答案】【解析】，分类讨论：①当时，，函数的最大值，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，则：或，解得：或综上可得，实数的取值范围是．【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论． 四、解答题21．指出下列函数的单调区间：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）单调递减区间为，没有单调递增区间；（2）单调递减区间为和，没有单调递增区间；（3）单调递减区间为，单调递增区间为；（4）单调递减区间为，单调递增区间为.【分析】（1）根据一次函数的单调性，由，可得出函数的单调区间；（2）根据反比例函数的单调性可得出函数的单调区间；（3）由二次函数的图象和其对称轴可得出函数的单调区间；（4）由二次函数的图象和其对称轴可得出函数的单调区间.【解析】解：（1）函数的定义域为，因为，所以在上单调递减，所以单调递减区间为，没有单调递增区间；（2）函数的定义域为，因反比例函数在和上单调递减，所以单调递减区间为和，没有单调递增区间；（3）因为函数的定义域为，它的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，所以的单调递减区间为，单调递增区间为；（4）函数的定义域为，它的图象是开口向下的抛物线，对称轴为，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.22．（1）在定义域上单调递减的函数，最大值是多少？（2）若在上单调递减而在上单调递增，最小值是多少？【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据单调递减函数的性质进行求解即可；（2）根据函数的单调性进行求解即可.【解析】（1）因为是定义域上单调递减的函数，所以；（2）因为在上单调递减而在上单调递增，所以.23．设a为实数，已知函数在定义域上是减函数，且，求a的取值范围.【答案】【分析】直接根据函数的单调性可得，从而可得出答案.【解析】解：因为函数在定义域上是减函数，且，所以，解得，所以a的取值范围.24．已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.【答案】证明见解析.【分析】∀x1，x2∈(-2，+∞)，利用作差法和0比可得函数值大小进而可证得.【解析】证明：∀x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，f(x)=则f(x1)-f(x2)==，因为x1>x2>-2，所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，所以>0，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增.25．设函数的定义域为，如果在上是减函数，在上也是减函数，能不能断定它在上是减函数？如果在上是增函数，在上也是增函数，能不能断定它在上是增函数？【答案】见解析【分析】根据反例可判断两个结论的正误.【解析】取 ，则在上是减函数，在上也是减函数，但，，因此不能断定在上是减函数.若取，则在上是增函数，在上也是增函数，但，，因此不能断定在上是增函数.26．已知函数f(x)=；（1）在图中画出函数f(x)的大致图象.（2）写出函数f(x)的单调递减区间.【答案】（1）答案见解析；（2）[2，4].【分析】（1）根据分段函数的解析式可画出图象；（2）根据图象观察可得答案.【解析】（1）函数f(x)的大致图象如图所示.（2）由函数f(x)的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4].27．函数，的图像如图所示，有三位同学对此函数的单调性作出如下的判断：甲说函数在定义域上是增函数；乙说函数在定义域上不是增函数，但有增区间；丙说函数的增区间有两个，分别为和.请你判断他们的说法是否正确.【答案】甲的说法是错误的；乙的说法是正确的，丙的说法是正确的.【分析】根据函数图象，应用数形结合的思想直接判断甲、乙、丙说法的正误.【解析】甲的说法是不正确的，乙的说法是正确的，丙的说法是正确的.若取（如上图），则，与甲的说法矛盾，故甲的说法是错误的；由甲的说法的错误可知：乙的说法是正确的，这两个增区间分别是和，∴丙的说法是正确的.28．画出函数（）的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当时，比较与的大小；（2）是否存在，使得？【答案】（1）＜；（2）不存在.【分析】（1）根据图象得到函数的单调性，即得解；（2）根据函数的最小值判断得解.【解析】（1）函数的图象如图所示，当时，由于函数单调递增，所以＜；（2）由图得当时，函数取到最小值，所以不存在，使得.29．若二次函数满足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1.（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）f（x）＝x2－x＋1；（2）m<－1.【分析】（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则由f（0）＝1可求出，由f（x＋1）－f（x）＝2x可求出，从而可求出函数的解析式，（2）将问题转化为x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，构造函数g（x）＝x2－3x＋1－m，然后利用二次函数的性质求出其最小值，使其最小值大于零即可求出实数m的取值范围【解析】（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝1，∴c＝1，∴f（x）＝ax2＋bx＋1.∵f（x＋1）－f（x）＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，∴f（x）＝x2－x＋1.（2）由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立.令g（x）＝x2－3x＋1－m＝2－－m，其对称轴为x＝，∴g（x）在区间[－1，1]上是减函数，∴g（x）min＝g（1）＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.30．已知函数(1)当，证明函数在上单调递减；(2)当时，，求的值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)利用证明函数单调性的定义，由，，可证明函数在上单调递减.(2)通过讨论参数，分别求出，，时的值即可.（1）证明：若，则，当时，，所以所以，函数在上单调递减.（2）①当时，，不满足条件；②当时，易知函数在定义域内单调递增，则满足：，联立，即解得，不满足条件；③当时，令，所以，函数在上单调递减；同理可证，函数在上单调递增，所以，函数最小值应在处取得，当时，函数在的最小值为，所以，解得，符合条件；当时，函数在的最小值为，所以，解得，不符合条件；当时，函数在的最小值为，所以，解得：，不符合条件；综上，.31．已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；(1)求证：；(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；(3)解不等式【答案】(1)证明见解析(2)增函数；证明见解析(3) 【分析】（1）使用赋值法，先令求得，然后再令可证；（2）先设，然后用代换中的，结合时，可证；（3）先用赋值法求得，然后将不等式转化为，利用单调性去掉函数符号，结合定义域可解.（1）令，得，解得再令，则所以（2）在上为增函数，证明如下：设，则，因为时，所以由（1）知所以所以在上为增函数.（3）因为，所以，得，又因为，所以，所以由上可知，是定义在上为增函数所以，原不等式，解得，即原不等式的解集为.32．已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(2)对于（1）中的函数和函数，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．(2) 【分析】（1）令，，将化为，由对勾函数的单调性可得的单调区间和值域（2）由题意可得的值域是的值域的子集，结合（1）的值域和一次函数的单调性可得的值域，可得的不等式，解不等式可得所求范围（1）．设，，则，．由已知性质，得当，即时，单调递减，所以的单调递减区间为；当，即时，单调递增，所以的单调递增区间为．由，，，得的值域为．（2）因为在上单调递减，所以．由题意，得的值域是的值域的子集，所以，所以．