广东省深圳市2022-2023学年九年级上学期期末数学模拟试卷(含答案)

这是一份广东省深圳市2022-2023学年九年级上学期期末数学模拟试卷(含答案)，共30页。
2022-2023学年上学期深圳市初中数学九年级期末模拟试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•宝安区期末）方程x2＝3x的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0
2．（2020秋•坪山区期末）如图所示的几何体，从左面看的图形是（　　）

A． B． C． D．
3．（2020秋•宝安区期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　）

A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE
4．（2020秋•光明区期末）下列选项中不正确的是（　　）
A．反比例函数y＝（k≠0）的图象只有1条对称轴
B．若ab＜0，则抛物线y＝ax2﹣2x+b与x轴有两个交点
C．将二次函数y＝﹣3（x﹣1）2的图象向左平移1个单位得到y＝﹣3x2的图象
D．若反比例函数y＝﹣三图象过点（a，﹣2），（b，﹣3），则a＞b
5．（2020秋•宝安区期末）已知（﹣1，4）是反比例函数y＝上一点，下列各点不在y＝上的是（　　）
A．（﹣3，） B．（2，2） C．（4，﹣1） D．（﹣，8）
6．（2020秋•宝安区期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．对于函数y＝，y随x的增大而减小
B．对角线相等的四边形是矩形
C．若△ABC∽△DEF，且AB＝2DE，则S△ABC＝4S△DEF
D．直线x＝2是函数y＝2（x+2）2+1图象的对称轴
7．（2020秋•光明区期末）小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（　　）

A．抽出的是“朝”字 B．抽出的是“长”字
C．抽出的是独体字 D．抽出的是带“”的字
8．（2020秋•坪山区期末）反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2020秋•光明区期末）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，DE，AC相交于点F，S△CEF＝1，则S△ADC＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2020秋•罗湖区校级期末）关于函数y＝，下列判断正确的是（　　）
A．点（1，﹣1）在该函数的图象上
B．该函数的图象在第二、四象限
C．若点（﹣2，y1）和（1，y2）在该函数图象上，则y2＜y1
D．若点（a，b）在该函数的图象上，则点（b，a）也在该函数的图象上
二．填空题（共5小题）
11．（2020秋•坪山区期末）如图，小明在打网球时．使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m位置上，则根据图中的数据可知，球拍击球的高度h为　 　m．

12．（2020秋•宝安区期末）在某一时刻，一根长为1.5m的竹竿投影在地面上的影长是1m，此刻测得旗杆投影在地面上的影长是12m，则旗杆的高度为　 　m．
13．（2020秋•光明区期末）给出下列说法：
①对角线相等的平行四边形是矩形；
②一条线段只有两个黄金分割点；
③两根长度不同的木棍，在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长；
④所有六边形都相似，
其中正确的是　 　．（填序号）
14．（2020秋•坪山区期末）如图，已知直线y＝x+1交x轴于点A，交反比例函数y＝（x＞0）于点B，过点B作BC⊥AB交反比例函数y＝（x＞0）于点C，若BC＝AB．则k的值为　 　．

15．（2020秋•宝安区期末）如图，直线y＝x与y＝（x＞0）的图象交于点A，点B为y轴负半轴上一点，S△AOB＝+1，点C在x轴正半轴上，且OC＝OB，连接BC，BA＝BC，则k＝　 　．

三．解答题（共7小题）
16．（2020秋•坪山区期末）解下列方程：
（1）x2﹣5x+1＝0；
（2）x（x﹣1）＝3x﹣3．
17．（2020秋•光明区期末）有三张完全相同的不透明卡片，小明在其正面各写上一组线段的长度，并分别标注序号①，②，③，如图所示，然后将这三张卡片背面朝上洗匀．
（1）若从中随机抽取一张，则抽到一张成比例线段卡片的概率是　 　；
（2）若从中随机抽取一张，记下序号后放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到两张成比例线段卡片的概率．

18．（2020秋•光明区期末）如图，在▱ABCD中，点G是对角线AC上一点，DE垂直平分CG，交GC于点O，交BC于点E，作GF∥AD交DE于点F，连接FC．
（1）求证：四边形GFCE是菱形；
（2）点H为线段AO上一点，连接HD，HF，当∠1＝∠2时，若AD＝6，CF＝2，求AH•CH的值．

19．（2020秋•宝安区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABOE是菱形；
（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．

20．（2020秋•宝安区期末）在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个．
（1）从箱子中任意摸出一个小球，恰好是红色的概率为　 　；
（2）从箱子中任意摸出两个小球，两个小球颜色恰好不同的概率为　 　；
（3）将摸出的小球全部放回后，又放入n个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色，经过大量反复的实验，发现摸到蓝色小球的概率约为，则n＝　 　．
21．（2020秋•光明区期末）点A（﹣3，1），B（﹣2，2），反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象记为L．
（1）若L经过点A．
①图象L的解析式为　 　．
②点B在图象L上，还是在图象L的上方或下方？为什么？
（2）如图在（1）的条件下，L上纵坐标为3的点P与点C关于原点O对称，PQ⊥x轴于点Q，CD⊥x轴于点D．求△QCD的面积．
（3）若L与线段AB有公共点，直接写出k的取值范围．

22．（2020秋•宝安区期末）（1）阅读下列材料，填空：
如图1，已知点C为线段AB的中点，AD＝BE．求证：∠D＝∠BEC．
证明：作BF∥AD交DC延长线于点F，则　 　＝∠F，∠A＝∠CBF．
∵C为AB中点，
∴AC＝BC．
∴△ADC≌△BFC（AAS）．
∴AD＝BF．
∵AD＝BE，
∴BE＝　 　．
∴∠BEC＝∠F＝∠D．
（2）如图2，AD为△ABC的中线，E为线段AD上一点，∠BED＝∠BAC，F为线段AD上一点，且CF＝BE．
①求证：△AEB∽△CFA．
②若AD＝4，CD＝2，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，求线段AF的长．


2022-2023学年上学期深圳市初中数学九年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•宝安区期末）方程x2＝3x的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】先移项得到x2﹣3x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
2．（2020秋•坪山区期末）如图所示的几何体，从左面看的图形是（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从左面看，是一列三个小正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．（2020秋•宝安区期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　）

A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据相似三角形的判定定理可得出答案．
【解答】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠DBC+∠C＝∠EAC+∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠EAC，
∴△ACE∽△BCD，
又∵∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴△AFD∽△BCD，
∵∠FBE＝∠DBC，∠BEF＝∠BDC＝90°，
∴△BFE∽△BCD，
∴一定与△BCD相似的是△BFE，△AFD，△ACE，
故不一定与△BCD相似的是△BAE．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
4．（2020秋•光明区期末）下列选项中不正确的是（　　）
A．反比例函数y＝（k≠0）的图象只有1条对称轴
B．若ab＜0，则抛物线y＝ax2﹣2x+b与x轴有两个交点
C．将二次函数y＝﹣3（x﹣1）2的图象向左平移1个单位得到y＝﹣3x2的图象
D．若反比例函数y＝﹣三图象过点（a，﹣2），（b，﹣3），则a＞b
【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】根据反比例函数，二次函数等知识对选项进行逐个判断即可得出结论．
【解答】解：A、反比例函数y＝（k≠0）的图象的对称轴是y＝x和y＝﹣x，有两条，故选项A不正确；
B、若ab＜0，则△＝（﹣2）2﹣4ab＞0，所以抛物线y＝ax2﹣2x+b与x轴有两个交点，故选项B正确；
C、将二次函数y＝﹣3（x﹣1）2的图象向左平移1个单位得到y＝﹣3x2的图象，故选项C正确；
D、∵k＝﹣3＜0，
∴图象在二、四象限内，
∵反比例函数y＝﹣三图象过点（a，﹣2），（b，﹣3），且﹣2＞﹣3，
∴a＞b，故选项D正确；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
5．（2020秋•宝安区期末）已知（﹣1，4）是反比例函数y＝上一点，下列各点不在y＝上的是（　　）
A．（﹣3，） B．（2，2） C．（4，﹣1） D．（﹣，8）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】将点（﹣1，4）代入y＝，再利用反比例函数系数k＝xy判断即可．
【解答】解：将点（﹣1，4）代入y＝，
∴k＝﹣4，
∵2×2＝4≠﹣4，
∴点（2，2）不在函数图象上，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数系数k＝xy是解题的关键．
6．（2020秋•宝安区期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．对于函数y＝，y随x的增大而减小
B．对角线相等的四边形是矩形
C．若△ABC∽△DEF，且AB＝2DE，则S△ABC＝4S△DEF
D．直线x＝2是函数y＝2（x+2）2+1图象的对称轴
【考点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象；二次函数的性质；矩形的判定；相似三角形的性质．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】利用相似三角形的性质、反比例函数的性质及二次函数的图象及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对于函数y＝，当x＞0时y随x的增大而减小，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、若△ABC∽△DEF，且AB＝2DE，则S△ABC＝4S△DEF，正确，符合题意；
D、直线x＝﹣2是函数y＝2（x+2）2+1图象的对称轴，故原命题错误，不符合题意，
故选：C．
【点评】考查了相似三角形的性质、反比例函数的性质及二次函数的图象及性质等知识，解题的关键是牢记有关的定义及定理，难度不大．
7．（2020秋•光明区期末）小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（　　）

A．抽出的是“朝”字 B．抽出的是“长”字
C．抽出的是独体字 D．抽出的是带“”的字
【考点】频数（率）分布折线图；利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.2左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【解答】解：A．抽出的是“朝”字的概率是，不符合题意；
B．抽出的是“长”字的概率是，不符合题意；
C．抽出的是独体字的概率是，不符合题意；
D．抽出的是带“”的字的概率为＝20%，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
8．（2020秋•坪山区期末）反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象．
【专题】函数及其图象．
【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＞0，即k＜0，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项正确；
C、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的负半轴（不合题意），故本选项错误；
D、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数的图象，熟知反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系是解答此题的关键．
9．（2020秋•光明区期末）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，DE，AC相交于点F，S△CEF＝1，则S△ADC＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】利用已知，证明△ADF∽△CEF，便可知道相似比为1：2，利用相似比与面积比的关系，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是▱ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC．∵S△ADF：S△CDF＝AF：FC
∵E是BC的中点，
∵．
∵AD∥BC．
∴△ADF∽△CEF．
∴＝.．
∴S△ADF＝4．
∵S△ADF：S△CDF＝AF：FC．
∴S△DFC＝2．
∴S△ADC＝6．
故选：D．
【点评】本题考查三角形相似的判定以及相似的性质，关键在于熟练运用相似比，本题属于拔高题．
10．（2020秋•罗湖区校级期末）关于函数y＝，下列判断正确的是（　　）
A．点（1，﹣1）在该函数的图象上
B．该函数的图象在第二、四象限
C．若点（﹣2，y1）和（1，y2）在该函数图象上，则y2＜y1
D．若点（a，b）在该函数的图象上，则点（b，a）也在该函数的图象上
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】根据k＝1＞0，则双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，反比例函数图象上的点横纵坐标之积＝k可得答案．
【解答】解：A、由于1×（﹣1）＝﹣1≠k，所以点（1，﹣1）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；
B、该函数的图象在第一、三象限，故本选项不符合题意；
C、点（﹣2，y1）在第三象限，点（1，y2）在第一象限，则y1＜0，y2＞0，所以y2＞y1，故本选项不符合题意；
D、若点（a，b）在该函数的图象上，则点（b，a）也在该函数的图象上，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
二．填空题（共5小题）
11．（2020秋•坪山区期末）如图，小明在打网球时．使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m位置上，则根据图中的数据可知，球拍击球的高度h为　1.6　m．

【考点】列代数式；相似三角形的应用．
【专题】方程思想；图形的相似；运算能力；应用意识．
【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴h＝1.6（米），
故答案为：1.6．

【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
12．（2020秋•宝安区期末）在某一时刻，一根长为1.5m的竹竿投影在地面上的影长是1m，此刻测得旗杆投影在地面上的影长是12m，则旗杆的高度为　18　m．
【考点】相似三角形的应用；平行投影．
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】利用在同一时刻竹竿与影长成比例得出比例式，即可得出结果．
【解答】解：设旗杆的高度为xm．
根据在同一时刻身高与影长成比例可得：＝，
解得：x＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了相似三角形的应用；根据同一时刻竹竿与影长成比例得出比例式是解决问题的关键．
13．（2020秋•光明区期末）给出下列说法：
①对角线相等的平行四边形是矩形；
②一条线段只有两个黄金分割点；
③两根长度不同的木棍，在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长；
④所有六边形都相似，
其中正确的是　①②③　．（填序号）
【考点】矩形的判定与性质；黄金分割；相似多边形的性质；中心投影．
【专题】图形的相似；应用意识．
【分析】根据矩形的判定，黄金分割点的定义，相似三角形的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，正确．
②一条线段只有两个黄金分割点，正确．
③两根长度不同的木棍，在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长，正确．
④所有六边形都相似，错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的判定和性质，黄金分割点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（2020秋•坪山区期末）如图，已知直线y＝x+1交x轴于点A，交反比例函数y＝（x＞0）于点B，过点B作BC⊥AB交反比例函数y＝（x＞0）于点C，若BC＝AB．则k的值为　4　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；图形的相似；几何直观．
【分析】证明△BMC∽△ANB，则，进而求解．
【解答】解：过点B作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，

在Rt△ANB中，tan∠BAN＝，设BN＝t，则AN＝2t，
∵∠CBM+∠ABN＝90°，∠ABN+∠BAN＝90°，
∴∠CBM＝∠BAN，
而∠BMC＝∠ANB＝90°，
∴△BMC∽△ANB，
∵BC＝AB，
则△BMC和△ANB相似比为1：2，
则，
则CM＝t，BM＝t，
则点B、C的坐标分别为（﹣2+2t，t）、（﹣2+2t﹣t，2t），
∵点B、C在反比例函数上，故（﹣2+2t）×t＝（﹣2+2t﹣t）×2t，解得t＝2，
则点B的坐标为（2，2），
则k＝2×2＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及到三角形相似．当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
15．（2020秋•宝安区期末）如图，直线y＝x与y＝（x＞0）的图象交于点A，点B为y轴负半轴上一点，S△AOB＝+1，点C在x轴正半轴上，且OC＝OB，连接BC，BA＝BC，则k＝　2　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；数据分析观念．
【分析】由S△AOB＝+1＝×BO×xA＝×am，得到am＝2（+1）①，由BC＝AB得：2a2＝（m+a）2+m2②，联立①②即可求解．
【解答】解：设OB＝OC＝a，则点B（0，﹣a），
则BC＝a，
设点A的坐标为（m，m），则k＝m2，
则S△AOB＝+1＝×BO×xA＝×am，即am＝2（+1）①，
由BC＝AB得：2a2＝（m+a）2+m2②，
由②得：m＝a（负值已舍去），
将m值代入①式得：a（a）＝2（+1），
解得a2＝2（+1）2，
则m2＝2＝k，
故答案为2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
三．解答题（共7小题）
16．（2020秋•坪山区期末）解下列方程：
（1）x2﹣5x+1＝0；
（2）x（x﹣1）＝3x﹣3．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可；
（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣5x+1＝0，
这里a＝1，b＝﹣5，c＝1，
∵b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝；

（2）∵x（x﹣1）＝3x﹣3，
∴x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
17．（2020秋•光明区期末）有三张完全相同的不透明卡片，小明在其正面各写上一组线段的长度，并分别标注序号①，②，③，如图所示，然后将这三张卡片背面朝上洗匀．
（1）若从中随机抽取一张，则抽到一张成比例线段卡片的概率是　　；
（2）若从中随机抽取一张，记下序号后放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到两张成比例线段卡片的概率．

【考点】比例线段；概率公式；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；图形的相似；应用意识．
【分析】（1）先根据成比例线段的定义判断①③卡片中的线段成比例，然后根据概率公式求解；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果，找出恰好抽到两张成比例线段卡片的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）∵1：1＝2：2，1：2≠3：4，2：2＝3：3，
∴成比例线段的卡片为①③，
∴抽到一张成比例线段卡片的概率是；
故答案为；
（2）画树状图为：

共有9种等可能的结果，其中恰好抽到两张成比例线段卡片的结果数为4，
所以恰好抽到两张成比例线段卡片的概率＝．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了列表法与树状图法．
18．（2020秋•光明区期末）如图，在▱ABCD中，点G是对角线AC上一点，DE垂直平分CG，交GC于点O，交BC于点E，作GF∥AD交DE于点F，连接FC．
（1）求证：四边形GFCE是菱形；
（2）点H为线段AO上一点，连接HD，HF，当∠1＝∠2时，若AD＝6，CF＝2，求AH•CH的值．

【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得GO＝CO，由“AAS”可证△GFO≌△CEO，可得GF＝EC，由菱形的判定可证四边形GECF是菱形；
（2）通过证明△ADH∽△CHF可得＝，可得结论．
【解答】解：（1）四边形GECF是菱形，
∵EG＝EC，DE⊥AC，
∴GO＝CO，
∵GF∥AD，AD∥BC，
∴GF∥BC，
∴∠FGO＝∠ECO，∠GFO＝∠CEO，
在△GFO与△CEO中，
，
∴△GFO≌△CEO（AAS），
∴GF＝EC，
∴四边形GFCE是平行四边形，
又∵EG＝EC，
∴平行四边形GFCE是菱形；
（2）∵∠DHC＝∠1+∠ADH＝∠2+∠FHC，∠1＝∠2，
∴∠ADH＝∠FHC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠ACB，
∵四边形GFCE是菱形，
∴CE＝CF，∠HCF＝∠ACB，
∴∠HCF＝∠DAH，
∴△ADH∽△CHF，
∴＝，
∴AH•CH＝AD•FC＝6×2＝12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，证明△ADH∽△CHF是本题的关键．
19．（2020秋•宝安区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABOE是菱形；
（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．

【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）由平行四边形的性质与已知得出AB＝OB，易证四边形ABOE是平行四边形，即可得出结论；
（2）连接BE，交OA于F，由菱形的性质得OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，由菱形的面积求出BE＝4，则BF＝2，由勾股定理得出OB＝＝，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OB，
∵AE∥BD，OE∥AB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∵AB＝OB，
∴四边形ABOE是菱形；
（2）解：连接BE，交OA于F，如图所示：
∵四边形ABOE是菱形，
∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，
∵S四边形ABOE＝4，
S四边形ABOE＝OA•BE＝×2×BE＝BE，
∴BE＝4，
∴BF＝2，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形面积的计算等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键．
20．（2020秋•宝安区期末）在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个．
（1）从箱子中任意摸出一个小球，恰好是红色的概率为　　；
（2）从箱子中任意摸出两个小球，两个小球颜色恰好不同的概率为　　；
（3）将摸出的小球全部放回后，又放入n个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色，经过大量反复的实验，发现摸到蓝色小球的概率约为，则n＝　8　．
【考点】列表法与树状图法；利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可；
（3）根据概率公式列出关于n的方程，解之即可．
【解答】解：（1）从箱子中任意摸出一个小球，恰好是红色的概率为＝，
故答案为：；
（2）列表如下：

红
红
红
蓝
红

（红，红）
（红，红）
（蓝，红）
红
（红，红）

（红，红）
（蓝，红）
红
（红，红）
（红，红）

（蓝，红）
蓝
（红，蓝）
（红，蓝）
（红，蓝）

由表知，共有12种等可能结果，其中两个小球颜色恰好不同的有6种结果，
所以两个小球颜色恰好不同的概率为＝，
故答案为：．
（3）根据题意，得：＝，
解得n＝5，
经检验n＝5是分式方程的解，
∴n＝5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了利用树状图求概率及利用频率估计概率，总体数目＝部分数目÷相应百分比；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．注意本题是不放回实验．
21．（2020秋•光明区期末）点A（﹣3，1），B（﹣2，2），反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象记为L．
（1）若L经过点A．
①图象L的解析式为　y＝﹣（x＜0）　．
②点B在图象L上，还是在图象L的上方或下方？为什么？
（2）如图在（1）的条件下，L上纵坐标为3的点P与点C关于原点O对称，PQ⊥x轴于点Q，CD⊥x轴于点D．求△QCD的面积．
（3）若L与线段AB有公共点，直接写出k的取值范围．

【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题；推理能力．
【分析】（1）①将点A坐标代入图象L解析式中，解得，即可得出结论；
②将x＝﹣2代入图象L解析式中，求出y，再与2比较大小，即可得出结论；
（2）先求出点P，C坐标，进而求出DQ，CD，最后用三角形的面积公式求解，即可得出结论．
（3）求出图象L过点A，B时的k的值，再求出图象L与线段AB相切时的k的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵L过点A（﹣3，1），
∴＝1，
∴k＝﹣3，
∴图象L的解析式为y＝﹣；
故答案为：y＝﹣（x＜0）；

②点B在图象L上方，
理由：由（1）知，图象L的解析式为y＝﹣，
当x＝﹣2时，y＝﹣＝＜2，
∴点B在图象L上方；

（2）由（1）知，图象L的解析式为y＝﹣，
∵点P的纵坐标为3，
∴点P的横坐标为﹣1，
∴P（﹣1，3），
∵PQ⊥x轴于点Q，
∴Q（﹣1，0），
∵点P与点C关于原点O对称，
∴C（1，﹣3），
∵CD⊥x轴于D，
∴D（1，0），CD＝3，
∴DQ＝1﹣（﹣1）＝2，
∴S△QCD＝DQ•CD＝×2×3＝3；

（3）当图象L过点A时，
由（1）知，k＝﹣3，
当图象L过点B时，
将点B（﹣2，2）代入图象L解析式y＝中，得k＝﹣2×2＝﹣4，
当线段AB与图象L相切时，
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
将点A（﹣3，1），B（﹣2，2）代入y＝mx+n中，
，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+4，
联立图象L的解析式和直线AB的解析式得，，
化为关于x的一元二次方程为x2+4x﹣k＝0，
∴△＝16+4k＝0，
∴k＝﹣4，
即满足条件的k的范围为：﹣4≤k≤﹣3．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，对称点的性质，找出图象L与线段AB有公共点的分界点是解本题的关键．
22．（2020秋•宝安区期末）（1）阅读下列材料，填空：
如图1，已知点C为线段AB的中点，AD＝BE．求证：∠D＝∠BEC．
证明：作BF∥AD交DC延长线于点F，则　∠D　＝∠F，∠A＝∠CBF．
∵C为AB中点，
∴AC＝BC．
∴△ADC≌△BFC（AAS）．
∴AD＝BF．
∵AD＝BE，
∴BE＝　BF　．
∴∠BEC＝∠F＝∠D．
（2）如图2，AD为△ABC的中线，E为线段AD上一点，∠BED＝∠BAC，F为线段AD上一点，且CF＝BE．
①求证：△AEB∽△CFA．
②若AD＝4，CD＝2，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，求线段AF的长．

【考点】相似形综合题．
【专题】综合题；推理能力．
【分析】（1）构造出△ADC≌△BFC，进而判断出BE＝BF，即可得出结论；
（2）①利用等式的性质判断出∠BAE＝∠ACF，同（1）的方法得，∠BED＝∠CFD，即可得出结论；
②Ⅰ、当AB＝BC时，利用勾股定理求出AH＝，AC＝2，再判断出△CDF∽△ADC，求出DF，即可得出结论；
Ⅱ、当AB＝AC时，先判断出点E，F重合，再判断出AE＝BE，再用勾股定理求解，即可得出结论．
【解答】（1）证明：作BF∥AD交DC延长线于点F，
则∠D＝∠F，∠A＝∠CBF．
∵C为AB中点，
∴AC＝BC．
∴△ADC≌△BFC（AAS）．
∴AD＝BF．
∵AD＝BE，
∴BE＝BF．
∴∠BEC＝∠F＝∠D；

（2）①∵∠BED＝∠BAC，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，
∴∠BED＝∠BAE+∠CAF，
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，
∴∠ABE＝∠CAF，
同（1）的方法得，∠BED＝∠CFD，
∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠CFD，
∴∠AEB＝∠CFA，
∴△AEB∽△CFA；

②∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD＝2，BC＝2CD＝4，
∵△ABC是以AB为腰的等腰三角形，
Ⅰ、当AB＝BC时，如图2﹣1，
∴AB＝4，
∵AD＝4，
∴AB＝AD，
过点A作AH⊥BD于H，
∴BH＝DH＝BD＝1，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得，AH＝＝＝，
在Rt△ACH中，CH＝CD+DH＝3，根据勾股定理得，AC＝＝＝＝2，
∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA，
由①知，△AEB∽△CFA，
∴∠BAE＝∠ACF，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠ACB﹣∠ACF，
∴∠CAF＝∠DCF，
∵∠ADC＝∠CDF，
∴△CDF∽△ADC，
∴＝，
∴，
∴DF＝1，
∴AF＝AD﹣DF＝4﹣1＝3；

Ⅱ、当AB＝AC时，如图2﹣2，
∵AD是△ABC的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∵BE＝CF，
∴点E，F重合，
由①知，∠ABE＝∠CAD，
∴∠ABE＝∠BAE，
∴AE＝BE，
设DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝4﹣x，
∴BE＝4﹣x，
在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BE2﹣DE2＝BD2，
∴（4﹣x）2﹣x2＝4，
∴x＝，
∴AF＝AE＝4﹣＝，
即满足条件的AF的长为3或．


【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，构造出直角三角形是解题的关键