陕西省咸阳市兴平市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)

2021-2022学年陕西省咸阳市兴平市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    计算的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.    如图放置的圆柱体的主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.    如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，则与的周长比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

4.    若关于的方程没有实数根，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，菱形中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，在中，，，为边上一点，且，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

7.    从，，三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.    台灯照射书本所形成的影子属于______投影．填“平行”或“中心”
10. 若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是______．
11. 在一个暗箱里放有个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，推算的值大约是______．
12. 如图，的边在轴上，点在第一象限，点是斜边的中点，反比例函数经过点，若，则______．

13. 如图，正方形的边长为，、分别是、边上的点，，分别连接、，两线段交于一点，点、分别是、边上的中点，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 本小题分
    计算：．
15. 本小题分
    解方程：．
16. 本小题分
    如图，已知菱形的对角线、交于点，，，求菱形的周长．

17. 本小题分
    已知抛物线经过点．
    求该抛物线的函数表达式；
    写出抛物线的开口方向和顶点坐标．
18. 本小题分
    在平行四边形中，的平分线交于点交的延长线于点，连接，求证：四边形是矩形．

19. 本小题分
    已知二次函数，且该函数图象的对称轴为直线．
    求的值；
    将该二次函数图象向左平移个单位，求平移后的函数表达式．
20. 本小题分
    已知．在中，，，求的值．
     
21. 本小题分
    某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间是参加植树人数人的反比例函数，且当人时，．
    当时，求的值；
    为了能在内完成任务，至少需要多少人参加植树？
22. 本小题分
    如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶在同一直线上．已知纸板的两条边，，延长交于点，测得边离地面的高度，，求树高．

23. 本小题分
    年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为、，正面印有雪容融图案的卡片记为，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．
    从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是______；
    请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的概率．
     
24. 本小题分
    如图，大楼高米，远处有一雕像含底座某人在楼顶测得雕像顶端点的仰角为，此人从楼底向雕像水平方向前进米到达点，在处测得点的仰角为已知雕像底座的高是米，、、在一条直线上，，求雕像的高．参考数据：，，，，，

25. 本小题分
    如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象的交点为．
    求反比例函数的解析式；
    过点作轴，垂足为，若点在反比例函数图象上，且的面积等于，求点的坐标．

26. 本小题分
    如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于点，、的延长线交于点．
    求证：∽；
    求证：；
    若，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式
，
故选：．
根据特殊锐角三角函数值代入进行计算即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确计算的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：由圆柱体的主视图可得选项符合题意，
故选：．
主视图就是从正面的正投影所得的图形，可得答案．
考查简单几何体的三视图，从不同方向的正投影所得的的图形，就是相应的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：进行位似变换得到，
∽，
与的周长比：：：．
故选：．
先利用位似的性质得到∽，然后根据相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换：两个位似图形是相似形；对应点的连线都经过同一点．也考查了相似三角形的性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
所以可以取．
故选：．
先根据根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据菱形的性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形邻角互补和每一条对角线平分一组对角解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为．
，，
．
在中，
，，
又，
．
．
故选：．
过点作，垂足为根据等腰三角形的性质先求出，再在直角中求出，求与的差可得结论．
本题考查了等腰三角形的性质及解直角三角形，掌握等腰三角形的三线合一和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，积是正数的有种情况，
积是正数的概率是：．
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与积是正数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线中，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
点的对称点为，
又，即、、三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小．
，
故选：．
先求出二次函数的对称轴，开口方向，然后根据抛物线的增减性来判断函数值的大小关系．
本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．
 

9.【答案】中心 

【解析】解：台灯照射书本所形成的影子属于中心投影．
故答案为：中心．
根据中心投影的定义判断即可．
本题考查中心投影，判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有一个根是，
，
解得：，
故答案为：．
把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

11.【答案】个 

【解析】解：个，
故答案为：个．
黄球的个数除以它占总数的比例即为球的总数．
考查了利用频率估计概率的知识，总体部分的个数除以它占的比例．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示．
点为线段的中点，，，
点为线段的中点．
，
．
反比例函数在第一象限有图象，
．
故答案为：．
过点作于点，由点为线段的中点利用三角形中位线定理即可得出点为线段的中点，再根据三角形的面积结合反比例函数系数的几何意义即可得出，解之即可得出值，由反比例函数在第一象限有图象即可确定值，此题得解．
本题考查了反比例函数系数的几何意义、三角形的面积以及三角形中位线定理，根据三角形的面积结合反比例函数系数的几何意义得出是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于，连接，
四边形是正方形，
，
，
点是边上的中点，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
是边上的中点，
．
故答案为：．
连接并延长交于，根据正方形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，推出是等腰直角三角形，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】解：


． 

【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
，
或，
解得：，． 

【解析】先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

16.【答案】解：四边形是菱形，，，
，，，，
，
，
即，
菱形的周长是． 

【解析】根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，再求出菱形的周长即可．
本题考查了菱形的性质，能熟记菱形的性质是解此题的关键，菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相平分且垂直．
 

17.【答案】解：抛物线经过点，
，解得，
抛物线的解析式为；

，
抛物线的开口向上，顶点坐标为． 

【解析】将点代入，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
利用配方法将解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标．
此题主要考查待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
．
是的平分线，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形． 

【解析】由平行四边形的性质得，则，再由角平分线定义证出则即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
 

19.【答案】解：二次函数，且该函数图象的对称轴为直线．
．
解得；
由知，，则该抛物线解析式是：．
将该二次函数图象向左平移个单位的函数的表达式是，即． 

【解析】利用轴对称根式求得的值即可．
将的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
本题考查了二次函数图象上的点的坐标，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移的规律是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：过点作交的延长线于点，

则，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设，则，，
． 

【解析】过点作交的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义计算即可．
本题考查的是解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质、正切的定义是解题的关键．
 

21.【答案】解：设与的函数表达式为：，
当时，．

，
，
当时，；
把代入，得
，
解得：，
答：为了能在内完成任务，至少需要人参加植树． 

【解析】首先求出反比例函数解析式，进而利用当时，得出的值，进而得出答案；
利用时，求出的值进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
 

22.【答案】解：，，
，，
∽，
，
即，
解得，
树高． 

【解析】根据相似三角形的性质得到，据此可得的长，再根据线段的和差即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得∽．
 

23.【答案】 

【解析】解：从这三张卡片中随机挑选一张，是“冰墩墩”的概率是，
故答案为：；

画树状图如图：

共有个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有个，
．
直接根据概率公式求解即可；
画出树状图，共有个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】解：过点作，垂足为，

由题意得：
米，，米，，，
设米，
米，
在中，米，
米，
在中，，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
米，
雕像的高约为米． 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，，米，，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出米，从而可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意得：在反比例函数的图象上，则，
解得．
故该反比例函数的解析式为；

设点的坐标是．
一次函数的图象与轴交于点，
当时，，
解得．
点的坐标是，即．
．
的面积等于，
，
解得：，
，，
点的坐标是，． 

【解析】把点的坐标代入反比例函数解析式，列出关于系数的方程，通过解方程来求的值；
由一次函数解析式可以求得点的坐标，然后根据三角形的面积公式来求点的坐标．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用函数图象上点的坐标特征求得相关点的坐标，然后由坐标与图形的性质得到相关线段的长度是解题的关键．
 

26.【答案】证明：，是的高，
，
，，
，
又，
∽．
证明：由知，∽，
，
，
，，
，
又，
∽，
，即，
．
解：，，
又，∽，
，即，
，
，
． 

【解析】根据垂直的定义得到，根据余角的关系证明，即可证得结论；
由∽，推出，证明∽，推出，即可得到．
证明∽，得到，代入数值即可求出的长．
此题考查了相似三角形的判定和性质，正确掌握相似三角形的判定定理及性质定理，并熟练进行推理论证是解题的关键．