吉林省通化梅河口市第五中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题及答案

这是一份吉林省通化梅河口市第五中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题及答案，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
吉林省通化梅河口市第五中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，其中有如下记载：将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.现有如图所示的直径长为2的胶泥球胚，某数学兴趣小组的同学需在此胶泥球胚中切割出底面为正方形，且垂直于底面的侧棱与底面正方形边长相等的阳马模型的几何体（实物体），若要使该阳马体积最大，则应削去的胶泥的体积大约为（）（    ）

A．2.8 B．3.2 C．3.5 D．4.8
5．若直线：与直线：平行，则的值为（    ）
A．3 B． C．3或 D．或4
6．直线被圆截得的弦长的最小值为（    ）
A． B． C． D．
7．已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为-1的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（    ）
A．6 B． C． D．
8．已知，则的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．下列命题中真命题有（    ）
A．若，则是钝角
B．数列的前n项和为，若，则
C．若定义域为的函数是奇函数，函数为偶函数，则
D．若，分别表示的面积，则
10．下列说法中正确的是（    ）
A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B．若随机变量，且，则．
C．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，则
D．已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则
11．给出的下列选项中，正确的是（    ）
A．函数的单调递增区间为
B．将函数的图象向右平移个单位，将得到的图象
C．函数在上有3个零点
D．函数最小正周期为
12．如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（    ）


A． B．若，则
C．若，则的最小值为2 D．

三、填空题
13．“双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开展丰富的课后活动.某校积极开展各种棋类益智活动，某项单人跳棋游戏的规则如下：如图所示，棋子的初始位置为①处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为棋子沿棋盘实线顺时针方向前进的格子数，即玩家掷出的点数为 ，则棋子就按顺时针方向前进i个格子、一直循环下去，现在已知小明同学抛掷3次骰子后棋子恰好又回到起点①处，则其不同的走法数为_________.(用数字作答)

14．已知圆与圆相交于两点，则_________.
15．已知双曲线的右焦点为F，离心率为，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且，延长AF交双曲线C于另一点Q，则___________.
16．已知函数，若在其定义域内总有成立，则实数的取值范围为__________.

四、解答题
17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角的内角的对边分别为，且______.
(1)求；
(2)求的取值范围.
18．已知数列的前项和为，等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
19．已知三棱柱，侧面是边长为2的菱形，，侧面四边形是矩形，且平面平面，点D是棱的中点．

(1)在棱AC上是否存在一点E，使得平面，并说明理由；
(2)当三棱锥的体积为时，求平面与平面夹角的余弦值．
20．随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨．为拉动消费，某市政府分批发行2亿元政府消费券．为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的，没使用过政府消费券的人数占样本总数的．

使用过政府消费券
没使用过政府消费券
总计
45岁及以下
90


45岁以上



总计


200

(1)请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？
(2)现从45岁及以下的样本中按是否使用过政府消费券进行分层抽样，抽取8人做进一步访谈，然后再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记使用过政府消费券的人数为X，求随机变量X的概率分布列与期望．
附：，其中．

0.15
0.10
0.05
0.025

2.072
2.706
3.841
5.024


21．已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于四点，如图，求四边形的面积的取值范围.
22．已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围．

参考答案：
1．B
【分析】解不等式得到集合，，然后求补集和交集即可.
【详解】，．所以.
故选：B．
2．D
【分析】根据复数的模及代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限；
故选：D
3．C
【分析】解对数不等式和一元二次不等式可确定命题对应的区间，根据必要不充分条件的定义可得包含关系，由此可构造不等式组求得结果.
【详解】由得：，解得：，即；
由得：，即；
是的必要不充分条件，Ü，
，解得：，即实数的取值范围为.
故选：C.
4．C
【分析】根据阳马的定义，可借助截出阳马的正方体来求解体积，要使阳马体积最大，则原正方体的体积应该最大，即球的内接正方体，此时体对角线的长等于球的直径.
【详解】
如图正方体中，四棱锥即为阳马.
设正方体边长为，体积为，显然，
所以，当该正方体体积最大时，该阳马体积最大.
在球的内部，任意构造一个正方体，显然球的内接正方体体积最大，应有正方体的对角线等于球的直径，即.
又，所以，则，则，
所以.
又球的体积为，
所以，应削去的胶泥的体积为.
故选：C.
5．A
【分析】由两直线平行得到方程，求出或，通过检验舍去不合要求的解.
【详解】因为，直线：与直线：平行，
所以，解得：或，
当时，：，：，，符合题意；
当时，：，：，均可化为，即，重合，舍去.
故.
故选：A.
6．B
【分析】确定直线过定点，当时，直线被圆截得的弦长最短，计算即可.
【详解】直线，即，直线过定点，
圆的圆心为，，当时，直线被圆截得的弦长最短.
因为，所以弦长的最小值为.
故选：B
7．D
【分析】由过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，可得；由过点且斜率为-1的直线与相交于两点，且恰好是的中点，可得.综上可得，后可得答案.
【详解】由题可得，其中，且.
又由椭圆对称性可知，在正上方且位于椭圆上的点到F距离为，即此点坐标为.
将其代入椭圆方程有：，又，可知；
设，因过点且斜率为-1的直线与相交于两点，且恰好是的中点，
则.
又A，B两点在椭圆上，则.
两式相减得：
又，得.
又，则，又，且，则.
故椭圆方程为：，.设，其中.
则.
.因，
有，当且仅当
，即M为椭圆右顶点时取等号.
则椭圆上一点到的距离的最大值为.
故选：D
8．B
【分析】利用中间值法比较与，与的大小关系，再通过构造函数，然后通过的单调性比较与的大小关系.
【详解】，；；
又，.
令，，
由于中，，所以，故在上恒成立，
得在单调递增.
故，即，即得证：，故得.
综上所述得.
故选：B
【点睛】方法点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
9．CD
【分析】根据数量积的知识可判断A，对于B，由条件可得当时有，然后可得，即可判断，对于C，利用奇函数的知识和可判断，对于D，设线段的中点分别为，连接，根据条件可得点是线段靠近点的三等分点，然后可判断.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，因为，所以当时有，
两式相减可得，即，
当时，，所以，故B错误；
对于C，因为函数为偶函数，所以，所以，
因为是定义域为的奇函数，所以，故C正确；
对于D，如图，设线段的中点分别为，连接，
因为，所以，
所以，即，
即点是线段靠近点的三等分点，
所以，故D正确；

故选：CD
10．BD
【分析】根据第百分位数的计算公式可判断A项；根据正态分布的对称性可求解，判断B项；根据条件概率的公式求解相应概率，可判断C项；将代入回归方程，即可判断D项.
【详解】对于A，共有10个数，，所以数据的第80百分位数为17和20的平均数，即为18.5，故A错误；
对于B，因为随机变量，且，
所以，
所以，
所以，故B正确；
对于C，由题意可知，，
所以，故C错误；
对于D，因为线性回归方程是经过样本点的中心，所以有，解得，故D正确.
故选：BD.
11．BC
【分析】对于A，化简函数得，再由求解即可得函数的单调递增区间；
对于B，由图象的平移公式可得平移后的函数的解析式为，再由诱导公式化简得，从而即可判断；
对于C，利用二倍角公式化简得，解得函数在上的零点即可判断；
对于D，利用二倍公式化简得，令，由此可得，即可判断.
【详解】解：对于A，因为，由，可得：，
即函数的单调递增区间为，故错误；
对于B，将函数的图象向右平移个单位，将得到的图象，故正确；
对于C，，
令，则有或，又因为，
所以解得或或，
所以函数在上有3个零点，故正确；
对于D，，
令，则有，
由此可得函数的最小正周期不是，故错误.
故选：BC.
12．ACD
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A；由余弦定理计算判断B，C；由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D作答.
【详解】依题意，，解得，A不正确；
令，由余弦定理得： ，
当时，，即，因此，B正确；
当时，，即，有，
而，则有，解得，C不正确；
，
，于是得，
解得，而，因此，D不正确.
故选：ACD
13．27
【分析】根据题意得到3次投掷骰子的点数之和为8，3次投掷的点数可以为1，1，6；1，2，5；1，3，4；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6；然后分情况求走法数即可.
【详解】根据题意可知抛掷3次骰子后恰好回到起点①处需要8步或16步，所以3次投掷骰子的点数之和为8或16，则3次投掷的点数可以为1，1，6；1，2，5；1，3，4；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6；
当点数为1，1，6；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6时，有种情况；
当点数为1，2，5；1，3，4时，有种情况；
综上可得不同的走法数为12+15=27.
故答案为：27.
14．
【分析】两圆方程相减，即可求出直线AB的方程为，求出圆心到直线AB的距离d，进而根据几何法得弦.
【详解】解：因为圆与圆相交于两点，

所以直线AB的方程为：，
即，
圆心到弦AB的距离，
所以，
故答案为：.
15．
【分析】在中，由勾股定理可求得、用含有a的代数式表示，在中，由勾股定理可求得用含有a的代数式表示，在中，由勾股定理可求得可用含有a的代数式表示，进而求得结果.
【详解】如图所示，

∵ ，则 ，，
由双曲线的对称性知：， ，
又∵，
∴四边形 为矩形，
设 ，则由双曲线的定义知：，
在中，，即： ，
整理得：，即： ，
∵，∴ ，
∴
设 ，则由双曲线的定义知：，
在中，，即：，
解得： ，即：，
又∵，
∴在中，
∴
故答案为：.
16．
【分析】将转化为，构造，由的单调性，将问题转化为，求出的最大值，即可求出a的取值范围.
【详解】由题，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，因为为增函数，
所以，即在上恒成立，
设，，
因为，所以时，，单调递增，
时，，单调递减，，
所以，即.
故答案为：.
【点睛】利用将原不等式变形为，构造函数，利用单调性转化为解决问题.
17．(1)
(2)

【分析】（1）选①，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后根据恒等变换化简即可求出角；
选②，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后将代入，最后根据恒等变换化简即可求出角；
选③，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后根据恒等变换化简求出，即可求出角.
（2）首先将代入，然后利用恒等变换将其化简成正弦型函数，最后根据正弦函数的性质求解取值范围即可.
【详解】（1）选①
，所以，
所以，
整理得.
因为，所以.因为，所以.
选②
因为，所以，
所以，整理得.
因为，所以，因为，所以.
选③
因为，
所以，
所以，
整理得.
因为，所以.
因为，所以，.
（2）因为，
所以.
因为，所以，所以，
所以，所以，故.
18．(1)，
(2)

【分析】（1）由 可得，设等差数列的公差为d，再根据等差数列的基本量法求解通项公式即可；
（2）求等差数列乘以等比数列的前n项和通过错位相减法可得结果.
【详解】（1）当时，；
当时，，当时也符合，所以.
由题意，，
设等差数列的公差为d，则，，故.
综上，
（2）由（1）知：，
∵
∴  ①
    ②
∴得：
即：，
∴.
19．(1)存在，理由见解析
(2)

【分析】（1）取的中点F，连接EF，DF ，易得 ，则四边形DFEA是平行四边形，从而AD∥EF，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）根据四边形是矩形，结合平面平面，得到面，由，得到，再由，得到，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量，由求解.
【详解】（1）解：存在，当E为AC的中点时，AD∥平面，理由如下：
如图所示：

取的中点F，连接EF，DF ，
∵DF是的中位线，
  ∴，
又  ，
∴  ，
∴四边形DFEA是平行四边形 ，
∴AD∥EF，
又面，面  ，
∴AD∥平面．
（2）∵四边形是矩形，
∴，，
又∵平面平面，
∴面，
∵，
∴  ，
∵侧面是菱形，，
∴是正三角形 ，
∵E是AC的中点，
∴，
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则，，
∴ ，
又平面的一个法向量，
  ∴，
∴平面与平面的夹角的余弦值是.
20．(1)表格见解析，有90%的把握
(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据已知条件填写列联表，计算的值，由此做出判断.
（2）结合超几何分布的知识计算出分布列并求得数学期望.
【详解】（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为人，
没使用过政府消费券的人数为人，
完成表格如下：

使用过政府消费券
没使用过政府消费券
总计
45岁及以下
90
30
120
45岁以上
50
30
80
总计
140
60
200

由列联表可知，
因为3.571＞2.706，所以有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关.
（2）由题意可知，从45岁及以下的市民中采用分层抽样的方法可以抽取使用过政府消费券的市民6人
∵X是使用过政府消费券的人数，
∴X＝1，2，3，
，，，
故随机变量X的概率分布列为：
X
1
2
3





其期望为.
21．(1)
(2)

【分析】（1）利用等边三角形的特点以及点到直线的距离公式结合的关系求解；（2）根据韦达定理表示出，并表示出面积，利用基本不等式讨论范围求解.
【详解】（1）因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，
所以，即，
又因为直线与圆相切，
所以结合解得，
所以椭圆.
（2）(i)若垂直于轴，则与轴重合，
由解得，所以，
又因为
同理垂直于轴，则与轴重合时.
(ii)若都不与轴平行或垂直，
设直线，
得：
与椭圆相交于两点，
则，


当时，直线，
将的替换为可得，

，
因为，所以，
当且仅当，即时“=”成立，

综上
所以四边形的面积的取值范围为.
22．(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）先求导数，分类讨论，利用导数的符号判定函数的单调性；
（2）分离参数，构造新函数，利用新函数的单调性求解最值或者利用换元法求解最值，可得答案.
【详解】（1）由可得，
当时，，
当时，，当时，，
从而的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，由得，，，
①若，即时，恒成立，故在R上单调递增：
②若，即时，由可得，或．
令可得，
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③若，即时，由可得，或，
令可得，
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，在R上单调递增；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）不等式，可得对恒成立，
即对任意的恒成立，
令，
则，
令，则，则在上单调递减，
又，故在上有唯一的实根，
不妨设该实根为，
故当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
故，
又因为，所以，，，
所以，
由题意知，解得，故a的取值范围为．
另解：（2）由不等式，可得对恒成立，
即，对任意的恒成立，
令，，则，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故，
由题意知，解得，故a的取值范围为．
【点睛】本题主要考查导数的应用，单调性的判定主要利用导数的符号来判定，注意分类讨论的不重不漏，参数范围的求解一般利用分离参数法来进行，借助导数求解新函数的最值.