2022宿州十三所重点中学高一上学期期中联考试题数学含解析

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宿州市十三所重点中学2021-2022学年度期中质量检测高一数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，，，则（    ）A  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集和补集计算方法计算即可.详解】，.故选：B.2. 函数的定义域为（    ）A 且 B. 或C.  D. 且【答案】D【解析】【分析】解不等式组即得解.【详解】解：由题得且.所以函数的定义域为且故选：D3. 命题“”的否定是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】因为命题“”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即“”，故选：A4. 函数和函数在同一坐标系下的图像可能是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】按照和的图像特征依次判断4个选项即可.【详解】必过，必过，D错误；A选项：由图像知，由图像可知，A错误；B选项：由图像知，由图像可知，B错误；C选项：由图像知，由图像可知，C正确.故选：C.5. 函数与轴的交点个数为（    ）A. 至少1个 B. 至多一个C. 有且只有一个 D. 与有关，不能确定【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义，即可判断选项.【详解】由函数定义可知，定义域包含时，则与轴有1个交点，当定义域不包含时，则与轴无交点，所以函数与轴的交点个数为0个.故选：B6. 已知函数对任意实数都有，并且对任意，都有，则下列说法正确的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得到函数关于对称，且在区间上单调递减函数，在区间上单调递增函数，结合函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数对任意实数都有，可得函数关于对称，又由对任意，都有，可得函数在区间上单调递减函数，则在区间上单调递增函数，由，所以，所以A不正确；由，所以，所以B不正确；由，所以，所以C正确；由，所以，所以D不正确.故选：C.7. 函数在区间上不单调的一个充分不必要条件为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先根据函数在区间上不单调解出的范围，在4个选项中选择真子集即可.【详解】，函数在区间上不单调，故，又因为充分不必要条件，故为的真子集，只有D选项符合.故选：D.8. 已知函数，若都有成立，则实数的取值范围是（    ）A. 或 B.  C. 或 D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式可得单调性和奇偶性，再利用性质可得答案.【详解】当时，则，，当时，则，，，所以为奇函数， 因为时为增函数，又为奇函数，为上单调递增函数，的图象如下，由得，所以，即在都成立，即，解得.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 下列运算正确的有（    ）A.  B. C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】对于A、B：利用幂的运算性质直接计算；对于C、D：利用对数恒等式和幂的运算性质直接计算.【详解】对于A、B：.故A正确，B错误；对于C、D：.故C正确，D错误. 故选：AC10. 下列函数是同一函数的是（    ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】按照定义域和对应关系依次判断4个选项即可.【详解】A选项：定义域为，定义域为，不是同一函数，A错误；B选项：定义域都为，对应关系相同，是同一函数，B正确；C选项：定义域都为，对应关系相同，是同一函数，C正确；D选项：，定义域为，，定义域为或，不是同一函数，D错误.故选：BC.11. 对于函数，若存在集合，且在集合，上的值域相同，则称集合，为函数的“同族等值集合”，若，则下列集合是函数的“同族等值集合”的有（    ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】利用“同族等值集合”的定义判断.【详解】A. 因为，对于所对应的值域都为，故是“同族等值集合”；B. 因为，对于所对应的值域都为，故是“同族等值集合”；C.因为 ，对于所对应的值域分别为，故不是“同族等值集合”；D.因为 ，对于所对应的值域都为，故是“同族等值集合”；故选：ABD12. 使得的数称为方程的解，也称为函数的零点.即的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.已知二次函数在上有两个零点，且.下列说法正确的有（   ）A. 且B. C. D. 和至少有一个小于【答案】AD【解析】【分析】根据零点的定义结合二函数的性质逐个分析判断【详解】对于A，因为二次函数在上有两个零点，且，所以，即，所以A正确，对于B，当时，，所以B错误，对于C，若，则，此时，则，所以C错误，对于D，当时，，即，所以和中至少有一个小于1，当时，或，当时，则，当时，则，所以D正确，故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若幂函数为奇函数，则_____________【答案】-1【解析】【分析】先根据函数为幂函数，求得m，再由奇偶性验证即可.【详解】因为函数幂函数，所以，解得或，当时，为偶函数，不符合题意；当时，为奇函数，符合题意，所以-1，故答案为：-114. 设集合，，函数，则_______【答案】##0.125【解析】【分析】根据分段函数解析式，先求的值，从而可求出答案.【详解】解：由，得，所以.故答案为：.15. 已知且，则的最小值为________【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求出最小值.【详解】因为且，所以，即，解得：（当且仅当即时取“=”号）.所以的最小值为8.故答案为：816. 若，则_________（用含有的表达式作答）；若对正数有，则__________（用数字作答）.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】第一个空，由可得，从而即可求解；第二个空，设，则，从而即可求解.【详解】解：因为，所以，所以；设，则，所以.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 化简求值（1）（2）【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解；（2）根据对数的运算法则，准确运算，即可求解.【小问1详解】解：根据指数幂的运算法则，可得：原式.【小问2详解】解：根据对数的运算公式，可得：原式 .18. 设集合，，.（1）求.（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先解出集合，再计算即可；（2）由得，再按照两根的大小分类讨论解不等式即可.【小问1详解】，，则；【小问2详解】，由得，①当时，即时，，只需，即；②当时，即时，，满足条件；③当时，即时，，只需，即；综上可得：的取值范围是.19. 已知函数对任意，总有，且对，都有.（1）判断并用定义证明函数的单调性；（2）解关于的不等式.【答案】（1）函数是上的减函数，证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）任取，设，根据已知条件可得，从而由函数单调性的定义即可证明；（2）由已知条件及（1）问函数的单调性即可求解.【小问1详解】解：函数是上的减函数，证明如下：由题意，令，有，解得，任取，不妨设，则，因为，则，所以，即，所以函数是上的减函数；【小问2详解】解：因为函数对任意，总有，所以不等式，即，也即，又由（1）可知函数为上的减函数，所以，解得，所以原不等式的解集为.20. 已知函数，集合．（1）当时，函数的最小值为，求实数的取值范围；（2）若，当       时，求函数的最大值以及取到最大值时的取值．在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）    （2）答案见解析【解析】【分析】（1）令，，结合二次函数的对称轴求解即可；（2）选择条件后，根据的范围和对称轴求最大值即可.【小问1详解】由题知，令，，当时，函数的最小值为，等价于时函数的最小值为.易知二次函数的对称轴方程为且，故函数最小值为则要求，即.【小问2详解】选择①，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.选择②，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.选择③，由（1）知，，此时函数的最大值为，取最大值时，即.21. 已知函数（1）判断并用定义证明函数的奇偶性；（2）解关于的不等式【答案】（1）函数为定义域上的奇函数，证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，准确化简、运算，即可求解；（2）由，当时，，当时，可得，解不等式，转化为和，即可求解.【小问1详解】解：判断函数为奇函数，下证明：函数，令，解得，即函数的定义域为，关于原点对称，又由，则，即，所以函数为定义域上的奇函数.【小问2详解】解：由，当时，可得，所以，因为函数为奇函数，所以当时，可得，①当时，由不等式，即，整理得，解得；②当时， 由不等式，即，整理得，解得，综上可得，不等式的解集为.22. 第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在中国北京举办，届时北京将成为首个同时举办了夏季奥运会和冬季奥运会的城市，进一步增强了民族自信.同时央行发行各种收藏类纪念币和纪念钞.某网店获准销售一种圆形金质纪念币，每枚进价80元，预计这种纪念币以每枚100元的价格销售时该店一天可销售40枚，经过市场调研发现每枚纪念币的销售价格在每枚100元的基础上每减少1元则增加销售4枚，而每增加1元则减少销售1枚，现设每枚纪念章的销售价格为元（且为整数）．（1）写出该专营店一天内销售这种纪念章所获利润(元)与每枚纪念章的销售价格(元)的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；（2）当每枚纪念章销售价格为多少元时，该专营店一天内利润(元)最大，并求出最大值．【答案】（1）且.    （2）每枚纪念章售价为元或者元时，该专营店的一天内利润最大，最大利润为元.【解析】分析】（1）理解题意后分段写出函数关系式（2）分段函数，在每一段上求出最大值后比较【小问1详解】由题意可得，当单价范围是时，销量为枚，此时利润为元；当单价范围是时，销量为枚，此时利润为元.所以函数关系式为且.【小问2详解】当时，，对称轴方程为，因为，此时.           当时，，当且仅当时，可以取到最大值. 综上可得，每枚纪念章售价为元或者元时，该专营店的一天内利润最大，最大利润为元.