专题14 圆锥曲线切线方程 微点2 圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用

这是一份专题14 圆锥曲线切线方程 微点2 圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用，共34页。学案主要包含了微点综述，强化训练，方法点晴等内容，欢迎下载使用。
专题14 圆锥曲线切线方程 微点2 圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用
专题14 圆锥曲线切线方程
微点2 圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用
【微点综述】
求解过某一点的圆锥曲线切线方程及相关问题题型，是在高等数学的学习中使用隐函数求导需要解决的常规问题，也是中学的解析几何的常见的较为困难的解题类型.解决这一类性的问题，常用到一个有趣的式子：，简便起见，把它表示为．下面主要探讨圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用．
一、圆锥曲线切线方程的常用结论
【结论1】（1）经过圆上一点的切线方程为．
（2）当在圆外时，过M点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为．
【结论2】（1）若圆心不在原点，圆的方程：，若为圆上一点，则过切线方程：
（2）若在圆外，过M点切线有两条：切点弦所在直线方程：
方便记忆，求切线和切点弦的方法，统一称为“代一留一”．
【结论3】（1）过圆上一点切线方程为；
（2）当在椭圆的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为．
证明：（1）的两边对x求导，得，得，由点斜式得切线方程为，即，又所求的切线方程为．
（2）设过椭圆外一点引两条切线，切点分别为，．由（1）可知过两点的切线方程分别为：，．又因是两条切线的交点，∴有，．观察以上两个等式，发现，满足直线，∴过两切点两点的直线方程为．
同理可得焦点在轴上的情形．
【结论4】（1）过圆上一点切线方程为；
（2）当在椭圆的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为．
【结论5】（1）过双曲线上一点处的切线方程为；
（2）当在双曲线的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：．
证明：（1）的两边对x求导，得，得，由点斜式得切线方程为，即，又所求的切线方程为．
（2）设过双曲线外一点引两条切线，切点分别为、．由（1）可知过两点的切线方程分别为：．又因是两条切线的交点，∴有．观察以上两个等式，发现，满足直线，∴过两切点两点的直线方程为．
同理可得焦点在轴上的情形．
【结论6】（1）过双曲线上一点处的切线方程为；
（2）当在双曲线的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：．
【结论7】（1）过抛物线上一点处的切线方程为；过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：；
（2）过抛物线上一点处的切线方程为；过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：；
（3）过抛物线上一点处的切线方程为；过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：．
（4）过抛物线上一点处的切线方程为；过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：．
证明：（1）由，求导数得，不妨设y≠0，则，由导数的几何意义知过点M（x0，y0）的切线的斜率为，故所求切线方程为，化简得即，又M（x0，y0）在抛物线上，∴，所以切线方程为 (可验证对y0=0，此方程也适用)．同理可证情形（2）～（4）．
下面的结论是从斜率的角度得到已知曲线的切线方程．
【结论8】（1）斜率为k的双曲线的切线方程为；
（2）斜率为k的双曲线的切线方程为．
证明：（1）设切线方程为，联立方程得：
，
若即，，
令化简可得： ，，故切线方程为．
同理可证情形（2）．
【评注】，，过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．
【结论9】（1）抛物线的斜率为k的切线方程为；
（2）抛物线的斜率为k的切线方程为；
（3）抛物线的斜率为k的切线方程为；
（4）抛物线的斜率为k的切线方程为．
证明：（1）设切线方程为，联立方程得，
，化简可得： ，故切线方程为．
同理可证情形（2）～（4）．
二、圆锥曲线切线方程的常用结论的应用
例1．
1．已知抛物线的一条切线的斜率为3，求这条切线方程．
例2．
2．设椭圆：，点．求椭圆C在点P处的切线的方程．
例3．
3．设双曲线上点P，求双曲线C在点P处的切线的方程．
例4．
4．已知双曲线的一条切线的斜率为2，求这条切线方程．
例5．（2022天津）
5．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
例6．
6．已知椭圆与直线相切于点，且点在第一象限，若直线与轴、轴分别交于点、．若过原点O的直线与垂直交与点， 证明：定值．

【强化训练】
7．若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（   ）
A． B． C． D．
8．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ）
A． B． C． D．
9．过点作抛物线的两切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（   ）
A． B． C． D．
10．抛物线上的点到直线的最短距离是______．
11．抛物线过点的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
12．已知圆O：，点P为直线上一动点，过点P向圆O引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点______．
13．已知抛物线的一条切线的斜率为3，求这条切线方程．
14．过点作抛物线：的两条切线，切点分别为A，B，求直线的方程．
15．设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程．
16．过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．
17．已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；
(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．
（2022石家庄期末）
18．已知椭圆C：的上顶点为，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)从椭圆C上一点M向圆上引两条切线，切点分别为A、B，当直线AB分别与轴、轴交于P、Q两点时，求的最小值．
（2022大连二模）
19．已知椭圆：的离心率是，以的长轴和短轴为对角线的四边形的面积是.
(1)求的方程；
(2)直线与交于，两点，是上一点，，若四边形是平行四边形，求的坐标.
20．已知直线经过椭圆的一个顶点E和一个焦点F．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求过与椭圆相切的直线方程．
21．椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k2≠0，证明为定值，并求出这个定值．
22．如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．

23．如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．

（1）已知直线的斜率为，用，，表示点的坐标；
（2）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为．
24．已知椭圆与直线相切于点，且点在第一象限，若直线与轴、轴分别交于点、，求线段的最小值．

25．如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为．

（2022·全国·高三专题练习）
26．已知椭圆.
(1)定义：若某直线与椭圆有且仅有一个公共点，则称该直线与椭圆相切，该公共点为切点.若点在椭圆C上，证明，直线与椭圆C相切；
(2)设曲线的切线l与椭圆C交于A，B两点，且以A，B为切点的椭圆C的切线交于M点，求面积的取值范围.
（2022·黑龙江·哈师大附中三模）
27．已知椭圆C：，点，过点E作斜率大于0的直线与椭圆C相切，切点为T.
(1)求点T的坐标；
(2)过线段ET的中点C作直线l交椭圆C于A，B两点，直线EA与椭圆C的另一个交点为M，直线EB与椭圆C的另一个交点为N.
（i）当直线l的斜率为时，求直线MN的斜率；
（ii）写出直线MN与ET的位置关系（不必说明理由）.




参考答案：
1．.
【分析】设出切线方程，联立抛物线方程后利用求出，得到切线方程.
【详解】设切线方程为，与抛物线方程联立得：，
由得：，
所以这条切线方程为，即．
2．.
【分析】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为，代入椭圆方程中整理化简，令判别式等于零，可求出的值，从而可求得切线方程
【详解】因为满足，所以在椭圆上，
可知切线的斜率存在，所以设切线方程为，
将代入中得，
，
化简整理得，
令，
化简整理得，即，解得，
所以切线方程为，即.
3．.
【分析】将双曲线在某点的切线方程转化为曲线在某点的切线方程，利用导数求出在某点的切线斜率，进一步求出切线的方程.
【详解】由可得，
根据题目条件，可知求曲线在点P处的切线的方程，

∴曲线在点P处的切线斜率为
∴曲线在点P处的切线方程为
化简得
∴双曲线C在点P处的切线的方程为．
4．.
【分析】设出切线方程，与双曲线方程联立后用求出，从而求出切线方程.
【详解】设出切线方程为，
与联立得：，
由，
解得：，代入得切线方程为．
5．（1）；（2）.
【分析】（1）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.

在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即.
【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；
（2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切.
6．证明见解析.
【分析】先求得直线的方程，由此求得两点的坐标，进而求得.求得直线的方程，利用点到直线的距离公式求得，进而求得为定值.
【详解】依题意点在第一象限，
由于过点的切线方程为，斜率为，
直线与轴、轴分别交于点，
所以，则．
由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，其中，
所以点P到直线l1的距离，
即，
为定值（为椭圆的半焦距）．
7．C
【分析】先求得切线的方程，从而求得两点的坐标，进而求得直线的方程，求得右焦点和上顶点的坐标，进而求得，从而求得椭圆的方程.秒杀解法：根据切点弦方程求得直线的方程，然后求得右焦点和上顶点的坐标，进而求得，从而求得椭圆的方程.
【详解】①当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x＝1，恰好与圆相切于点A（1，0）；
②当直线l与x轴不垂直时，
设过点的圆的切线为l：，即，
原点到直线l的距离为：，解之得，
此时直线l的方程为，
，
所以l切圆相切于点；
因此，直线AB斜率为，直线AB方程为，
∴直线AB交x轴交于点A（1，0），交y轴于点C（0，2）．
即椭圆的右焦点为（0，1），上顶点为（0，2），
∴c＝1，b＝2，可得，椭圆方程为.
秒杀解法：
由切点弦方程可知AB方程：，
故右焦点为（1，0），上顶点为（0，2）．
∴b＝2 ，c＝1，，
∴椭圆的方程.
故选：C
8．A
【解析】求出以、为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦的方程．
【详解】圆的圆心为，半径为1，
以、为直径的圆的方程为，
因为过点圆的两条切线切点分别为A，B，
所以，是两圆的公共弦，
将两圆的方程相减可得公共弦的方程，
故选：A．
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
9．A
【分析】求导可得过，两点的切线的斜率，写出切线方程，代入点，由两点确定一条直线，分析即得解
【详解】设切点为，，又，
则切线PA的方程为：，即，
切线PB的方程为：，即，
由是PA、PB交点可知：，，由两点确定一条直线，
可得过A、B的直线方程为，即
故选：A
10．##
【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答.
【详解】设抛物线上的点，则点P到直线的距离：
，当且仅当时取等号，
所以所求最短距离为.
故答案为：
11．D
【分析】设出切线方程，与抛物线联立，结合判别式，即得解
【详解】由于不为的切线，故切线斜率存在；
不妨设切线的斜率为，故切线的方程为
，即
故，解得
故切线方程为：
故选：D
12．
【分析】由几何关系得点A、B在以OP为直径的圆上，得出两圆的公共弦直线方程后求解
【详解】设，∵圆O：的两条切线分别为PA、PB，切点分别为A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，设这个圆为圆C，即AB是圆O与圆C的公共弦，
则圆心C的坐标是，且半径的平方是，
∴圆C的方程是，
则公共弦AB所在的直线方程为：，即，
则，得，，∴直线AB经过定点．
故答案为：
13．.
【分析】设切线方程，与抛物线联立，结合判别式即得解
【详解】由题意，设切线方程为，与抛物线联立：
，则，
故，解得，
故切线方程．
14．
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，结合切线过以及，分析即得解
【详解】抛物线可写成：且
设，则两条切线的斜率分别为
两条切线的方程为：


又两条切线过点，所以


所以直线AB的方程为：，即.
15．.
【分析】将双曲线在某点的切线方程转化为曲线在某点的切线方程，利用导数求出在某点的切线斜率，进一步求出切线的方程.
【详解】由可得，
根据题目条件，可知求曲线在点P处的切线的方程，

∴曲线在点P处的切线斜率为
∴曲线在点P处的切线方程为
化简得
∴双曲线C在点P处的切线的方程为．
16．
【分析】设，求得直线的方程为，同理的方程为，通过在切线上，可得到直线的方程
【详解】解：设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为，
则，联立方程，消去可得：，
整理可得：，
因为与双曲线相切，
所以，
，
即，
，代入可得：，即，
所以，
即，
同理，切线的方程为，
在切线上，所以有，
满足直线方程，而两点唯一确定一条直线，
直线AB的方程为
17．(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)
【详解】试题分析：（1）设拋物线的方程为，利用点到直线的距离,求出,得到抛物线方程；（2）对抛物线方程求导,求出切线的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线的方程；（3）由拋物线定义可知，联立直线与抛物线方程,消去,得到一个关于的一元二次方程,由韦达定理求得的值,还有,将表示成的二次函数的形式,再求出最值.
试题解析: 解：（1）依题意，设拋物线的方程为，由结合，
解得，所以拋物线的方程为.
（2）拋物线的方程为，即，求导得，
设(其中)则切线的斜率分别为，
所以切线的方程为，即，即，
同理可得切线的方程为，
因为切线均过点，所以 ，，
所以为方程的两组解，
所以直线的方程为.
（3）由拋物线定义可知，
联立方程，消去整理得.
由一元二次方程根与系数的关系可得，
所以
又点在直线上，所以，
所以，
所以当时，取得最小值,且取得最小值为.
考点：1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.
【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线的斜率等知识点,属于中档题.第一问很容易,第二问中,利用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程,判别式等于的方法要好,步骤少,花的时间也少.从切线的方程,得出直线的方程;第三问先用抛物线定义把的值表示出来,联立直线与抛物线方程,得到的值, 将表示成的二次函数的形式,再求出最值.

18．(1)；
(2).

【分析】（1）根据椭圆的的顶点及离心率列出方程求解即可得解；
（2）求出圆的切线方程，再由切点分别为A、B及切线过，可得直线的方程，求出的坐标可得，利用均值不等式求最值即可得解.
（1）
∵椭圆C：的上顶点为，且离心率为，
∴，解得，
∴椭圆C的方程为．
（2）
设切点为，
当切线斜率存在时，设切线方程为，
∵，∴切线方程为，∴，
当k不存在时，切点坐标为，对应切线方程为，
符合，综上知切线方程为，
设点，是圆的切线，切点，，
过点的圆的切线为，过点B的圆的切线为，
∵两切线都过点，∴，，
∴切点弦的方程为，
由题意知，∴，，
∴
，当且仅当，时，取等号，
∴，∴的最小值为．
19．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意可得，解之可得的方程；
（2）联立直线与椭圆，结合韦达定理，以及，可得坐标，代入椭圆方程即得解
（1）
令椭圆长轴长，短轴长，

由已知，得    ∴解得
∴椭圆的方程是．
（2）
设，，

由得，
，解得，
，，
四边形是平行四边形，∴，
∴，
∴，，
代入椭圆方程，得，
即，
∴，解得，
又，
∴，
∴ ，
∴点的坐标是．
20．(1)
(2)

【分析】（1）由椭圆的性质求解，
（2）由导数的几何意义求解
（1）
依题意可知：椭圆焦点在x轴上，
直线与坐标轴的交点为：，，
∴，F（2，0），∴，c＝2，，
∴椭圆的标准方程为．
（2）
由（1）可知椭圆，在椭圆上，
求导，整理得：，
由导数的几何意义可知：椭圆在切线方程的斜率，
则直线的切线方程为：，整理得：，
∴过与椭圆相切的直线方程为．
21．（1）；（2）－