专题16 圆锥曲线焦点弦 微点2 圆锥曲线焦点弦三角形面积

这是一份专题16 圆锥曲线焦点弦 微点2 圆锥曲线焦点弦三角形面积，共36页。学案主要包含了微点综述，强化训练等内容，欢迎下载使用。

专题16 圆锥曲线焦点弦 微点2 圆锥曲线焦点弦三角形面积
专题16 圆锥曲线焦点弦
微点2 圆锥曲线焦点弦三角形面积
【微点综述】
过有心圆锥曲线一个焦点弦的两个端点与另一个焦点构成的三角形称为有心圆锥曲线的焦点弦三角形.在抛物线中，称抛物线的顶点与焦点弦的两端点构成的三角形为焦点弦三角形.过焦点的弦长确定后，焦点弦三角形便随之确定，焦点弦三角形的面积便可用弦长来表示.计算时可以利用韦达定理，计算量大，尤其是最值问题，学生难以掌握；也可以利用圆锥曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理（或其推论）来计算；还可以巧妙地应用极坐标系下圆锥曲线的焦半径公式快速得出焦点弦三角形面积公式，并结合均值不等式或函数单调性对其最值进行研究.
一、圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式
设直线过圆锥曲线焦点且交圆锥曲线于两点，不妨设，若已知直线倾斜角为，设圆锥曲线半通径为，则
，
即圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式分别为：
①.
二、椭圆焦点弦三角形面积公式及其最值
1.椭圆焦点弦三角形面积公式
【结论1】
1．如图，、为椭圆的左、右焦点，过倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，证明：焦点弦三角形的面积：.

【结论2】
2．如图，为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，且，证明：椭圆焦点弦三角形的面积.

2.椭圆焦点弦三角形面积最大值
对公式②进行化简，得，
令.
对于椭圆，离心率，于是由均值不等式可知
，当且仅当，即时取得最大值，即椭圆焦点弦三角形面积最大值：.
代入，上式可化简为，此时焦点弦所在直线与轴夹角满足（或）.于是我们得如下结论——
【结论3】
3．如图，设直线过焦点且交椭圆于两点，直线倾斜角为，证明：当且仅当时，.

三、双曲线焦点弦三角形面积公式及其最值
1.双曲线同支焦点弦三角形面积公式
【结论4】
4．如图，设直线过焦点且交双曲线于、两点，直线倾斜角为，双曲线的半通径为，证明：双曲线同支焦点弦三角形的面积.

【结论5】
5．如图，为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线右支交于两点，且，证明：焦点弦三角形的面积.

2.双曲线同支焦点弦三角形面积最小值
对于双曲线，同椭圆，③式变形为，
令.
离心率单调递减，，
则即为双曲线焦点弦三角形面积最小值：，代入，上式可化简为，此时焦点弦所在直线与轴夹角为，即焦点弦与轴垂直.
【结论6】
6．如图，设直线过焦点且交双曲线于两点，直线倾斜角为，证明：当且仅当时，.

3.双曲线异支焦点弦三角形面积公式
【结论7】
7．如图，为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线右支、左支分别交于两点，且，证明：焦点弦三角形的面积.

说明：（1）在结论7的证明中，将代入得，解得.又的半周长，因此异支焦点弦三角形的周长.
（2）关于的二次函数在上单调递增，故二次函数没有最大值，也没有最小值，故双曲线异支焦点弦三角形面积没有最大值，也没有最小值.
四、抛物线焦点弦三角形面积公式及其最值
1.抛物线焦点弦三角形面积公式
【结论8】
8．如图，设直线过焦点且与抛物线交于两点，直线倾斜角为，证明：.

2.抛物线焦点弦三角形面积最值
由公式⑥，显然存在最小值：，此时，即，焦点弦所在直线与轴垂直.
【结论9】
9．如图，设直线过焦点且与抛物线交于两点，直线倾斜角为，证明：当且仅当时，.

典型例题：
例1
10．分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点.
(1)若的面积为，求的长；
(2)求面积的最大值及此时直线的方程.
例2
11．已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点为，曲线的左焦点.
（1）求的值；
（2）若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.
例3
12．已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于、两点，且的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在直线使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
例4
（2022全国·高二课时练习）
13．阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家､物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求面积的最大值；
（3）设椭圆E的左､右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点，试问B，Q，F三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由.
例5
（2022四川省华蓥中学高二月考）
14．已知椭圆的短轴长为，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若分别是椭圆的左､右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值．
例6
（2022黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））
15．已知椭圆的左､右焦点分别为､，过点的直线交椭圆于两点.
（1）若的周长为，面积的最大值为，求椭圆的标准方程；
（2）设分别为椭圆的左､右顶点，直线，的斜率分别为，若，求椭圆的离心率的取值范围.
【强化训练】
一、单选题
（2023·山西大同·高三月考）
16．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（    ）
A． B． C． D．
（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模（理））
17．设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（    ）


A． B． C． D．
（2022·江西·模拟预测（理））
18．设椭圆的左右焦点分别为，直线l过且与C交于A，B两点，则内切圆半径的最大值为(    )
A． B． C． D．1
19．设，分别是双曲线的左、右焦点，过点，且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
（2022马鞍山二中郑蒲港分校）
20．过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
（2022安徽安庆·高三）
21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若为边长为4的等边三角形，则的面积为（    ）
A． B． C． D．
二、填空题
（2022福建省漳州第一中学高二期末）
22．过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________.
（2022·辽宁·大连市一0三中学高三开学考试）
23．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于A，B两点，若是等腰三角形，且，则的面积为___________.
三、解答题
24．已知椭圆和圆分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示），当时，弦的长为．

（1）求圆和椭圆的方程
（2）若点是圆上一点，求当成等差数列时，面积的最大值．
（2022·上海市第三女子中学高二期末）
25．已知椭圆：的离心率为，其左右焦点为、，斜率为1的直线经过右焦点，与椭圆交于不同的两点A、B，的周长为12．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积．
（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）
26．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，设是第一象限内椭圆C上的一点，的延长线分别交椭圆C于点．当时，的面积为．

(1)求椭圆C的方程；
(2)分别记和的面积为和，求的最大值．
（2022·广西·钦州一中高二期中（文））
27．已知椭圆C：的短轴长为2，且点在C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程．
（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））
28．已知椭圆C的标准方程为，右焦点为F，离心率为，直线：与椭圆C交于A､B两点，当时，AB的长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当时，求三角形ABF的面积.
29．已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.

(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；
(2)若恰好被平分，求面积的最大值
（2022安徽亳州二中）
30．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上、下顶点分别是、，离心率为，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆交于不同的两点、，若，试求内切圆的面积.


参考答案：
1．证明见解析
【分析】连接、，过作于，则，再根据焦点弦公式得到，最后根据计算可得.
【详解】证明：如图，为原点，连接、，过作于，

所以，又，
（其中）.
2．证明见解析.
【分析】根据椭圆的定义，结合秦九韶—海伦公式、余弦定理进行求解证明即可；
【详解】证明：令，则，的半周长，由秦九韶—海伦公式得.
又，由余弦定理推论，得，

3．证明见解析.
【分析】利用结论2即③式，结合均值不等式得到焦点弦三角形面积的最大值.
【详解】证明： 由结论2可得，
，当且仅当，
即，即，解得，
当且仅当时，.
4．证明见解析
【分析】计算出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可证得结论成立.
【详解】证明：由题意可知，点到直线的距离为，则点到直线的距离为，
设直线的方程为，其中，
设点、，
联立可得，
由题意可知，即，
，
由韦达定理可得，所以，，
，
所以，
.
5．证明见解析.
【分析】先设，再由双曲线的定义可得的每条边长，然后利用秦九韶—海伦公式球三角形的面积，再利用余弦定理把设出来的用表示出来，进而得到答案.
【详解】证明：令，由双曲线的定义可得，，的半周长，
由秦九韶—海伦公式得.
又，由余弦定理推论，得，


故：得证.
6．见解析
【分析】当直线的斜率不存在时，此时，求出；当直线的斜率不存在时，设为，设，，，，联立双曲线方程结合韦达定理求，，表示出，可得无最值，即可证明.
【详解】设，，，，直线过焦点，
当直线的斜率不存在时，，此时，，
所以，
当直线的斜率不存在时，设为
联立，消去可得：，
，
所以，，
，
令，且，则

令，则在上单调递减，在单调递增，
当趋近于时，趋近于，趋近于正无穷，
当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，趋近于0，
故无最值.
所以当且仅当时，.
7．证明见解析.
【分析】令，则，由秦九韶—海伦公式得，再将用表示即可得出答案.
【详解】证明：令，则，的半周长，由秦九韶—海伦公式得.
又，由余弦定理推论，得，

8．证明见解析.
【分析】由抛物线的性质可求出线段，过原点作于，可求出，结合三角形面积公式即可证明.
【详解】证明：过做垂直准线于点，过做垂直准线于点，则，，因为直线倾斜角为，所以有，所以，同理，，则；
过原点作于，于是；
.

9．证明见解析.
【分析】设直线的方程为，联立直线方程，结合韦达定理，
将，代入计算，即可得证.
【详解】不妨设，
因为直线过焦点，可设直线的方程为，
代入抛物线的方程可得，
所以
且

（当且仅当时，即轴时）
所以当且仅当时，.
10．(1)或
(2)4；或

【分析】（1）设，代入公式③，即可得解；
（2）解法1：由公式④可知，当且仅当时，面积取最大值4；由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程；
解法2：由公式③可知，当时，面积取最大值4；再设直线方程为，利用面积公式求得，进而求得直线的方程.
【详解】（1）设，由上述结论2，代入公式③，得，解得或.
（2）解法1：由结论3，代入公式④，得当且仅当时，面积取最大值：，此时直线的斜率，所以所求直线的方程为，即或.
解法2：由上述结论2，代入公式③，得，得当时，，
设的面积最大时点到直线的距离为，设直线的方程为，即，则，所以，
从而有，解得，
故所求直线的方程为或.
11．（1）；（2）最大值为.
【分析】（1）根据椭圆和双曲线的焦点即可列出式子求解；
（2）设出直线的方程，与椭圆联立，利用韦达定理可表示出三角形的面积，即可求出最值.
【详解】解：（1）由题意：，
，解得即
（2）由（1）知，曲线，点，
设直线的方程为：，
联立得：，
，又，，
设，
，，
，
面积，
令，，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
12．（1） （2）存在，直线的方程为或.
【分析】（1）根据离心率公式、椭圆定义，结合椭圆性质，解方程组即可求出椭圆方程；
（2）分两种情况讨论，当斜率不存在时，其面积为，不符题意，当斜率存在时，可设出直线方程，代入椭圆方程可得，结合韦达定理代入三角形面积公式，即可得解.
【详解】解：（1）由题意得 ∴
故椭圆的标准方程为.
（2）存在直线满足题意，由（1）知右焦点，
当直线的斜率不存在时，此时，，，
，不符合题意，
故设直线的方程为，设，，
联立方程组消去得.
∵，∴，，
∴，
∴，
∴，∴，∴或（舍去），
∴，故直线的方程为或.
【点睛】本题考查了利用椭圆定义、性质、离心率求椭圆方程，主要考查韦达定理在直线和圆锥曲线中的应用，考查了转化思想和较高的计算能力，属于较难题.
13．（1）；（2）；（3）共线，证明见解析.
【分析】（1）根据条件列出关于a,b,c的方程组，并注意a,b,c的平方关系，求解即得a,b的值，进而得到方程；
（2）设直线的方程为，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理，弦长公式求得面积关于t的函数表达式，适当换元，整理变形，可利用对勾函数的单调性求得最大值；
（3）先求得直线方程，进而求得它与直线交于点，
然后证明，即可得到结论.
【详解】（1）由题意可得：，
解得，，，
所以椭圆方程为.
（2）设直线的方程为，，，
由，整理得，
，
，
令()，则，
设，函数在区间单调递增，知，
即当，即时，取到最大值.

（3）由（2）知点在直线的方程为上，且.
易知椭圆的左､右顶点分别为，，直线方程为：，
它与直线交于点，则，
由于，都存在，且

，
故于是于是B，Q，F三点共线.
【点睛】注意（2）中的直线的设法是为和求面积相适应的；注意求最值中的换元思想和函数思想的运用；注意（3）中的利用韦达定理的结论进行化简及运算的准确性.
14．（1）；（2）3．
【解析】（1）由题意, 列出方程组，求得，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设，设直线的方程为，根据根与系数的关系，求得
，结合三角形的面积公式，得到，利用换元法，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）由题意, 椭圆的短轴长为，离心率．
可得  ，解得，故椭圆的标准方程为.
（2）设，
因为直线的斜率不为零，可设直线的方程为，
由，得，
所以，
又因直线与椭圆交于不同的两点，故，即，
则，
令，则，
则．
令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，
即当时，在上单调递增，因此有，所以，
即当时，最大，
故当直线的方程为时，面积的最大值为3．
【点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：
1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；
2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
15．（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）由椭圆定义可得，即可求得a值，当点P位于短轴端点时，的面积最大，代入公式，即可得，根据a，b，c的关系，即可求得b，c的值，即可得答案.
（2）根据题意，设，，，与椭圆联立，结合韦达定理，可得，的表达式，又，根据题意，可得，代入斜率表达式及韦达定理，化简整理，可得，即可得，根据范围，即可得答案.
【详解】（1）由椭圆定义得：，所以，
又当点P位于短轴端点时，的面积最大，
此时，即，
又，解得①时，椭圆的标准方程为，
②时，椭圆的标准方程为.
（2）设，，，
由题意知直线斜率不为，且过，设，
联立，整理得，
所以()，且，
由题知，
则有，
将()代入整理得：


所以，
所以
【点睛】解题的关键是根据题意，得到表达式，代入韦达定理，化简整理，计算难度大，属中档题.
16．B
【分析】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
则斜率为的直线方程为：，与抛物线方程联立得：
，
设，不妨设，，
则，
点O到直线AB的距离为，
所以△AOB的面积为
故选：B
17．B
【分析】利用焦点三角形的面积公式及椭圆的定义可得，进一步得F1PQ为等边三角形，且轴，从而可得解.
【详解】由椭圆的定义，，
由余弦定理有：
，
化简整理得：，
又，
由以上两式可得：

由，得，∴，
又，所以F1PQ为等边三角形，由椭圆对称性可知轴，
所以.
故选：B.
18．C
【分析】根据等面积法表示出内切圆半径r的表达式，在利用韦达定理求的最大值即可.
【详解】由题知a＝2，c＝1，设，，设△内切圆半径为r，
则，
∴，即，∴.
设的方程为：，代入椭圆方程可得：(，
∵，∴，
∴，
设则，
时，该表达式对应的函数是减函数，∴时，取得最大值3，∴最大值为.
故选：C.
19．D
【分析】先求出A点的坐标，进而求出的长，再根据面积可列出一个关于a、c的等式，化简可得答案.
【详解】设，，则，
又，则，即．
所以=
又的面积为，所以，即，
故双曲线的离心率为．
故选:D．
20．D
【分析】由题意设为，联立抛物线结合韦达定理求得，，再由线段的数量关系求，最后由列方程求p，写出抛物线方程即可.
【详解】由题设，令为，联立抛物线方程并整理得，
∴若，则，，又易得，
∴，则，即，
∴，
又，而，
∴，即，又，则，故.
故选：D
21．A
【分析】利用双曲线的定义求出，进而得出，再由三角形的面积公式即可求解.
【详解】∵，∴，
∵，∴，
因为，所以，，

∴.
故选：A
22．24
【分析】利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可.
【详解】由双曲线定义知：，
所以，，而，
故，故的周长为.
故答案为：24
23．
【分析】根据题意可知，，再结合，即可求出各边，从而求出的面积．
【详解】，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面积为．
故答案为：．
24．（1）；（2）
【分析】（1）由直线被圆截得的弦长为，运用垂径定理建立关于等式即可求解；
（2）求直线的方程，因为直线已经经过，只要再求一点或斜率，即可得到方程，因为成等差数列，结合椭圆的定义，可求得的长，从而可求得的坐标，最终可求得直线的方程．
【详解】（1）取的中点，连接
由，可得，
∵，∴
∴
∴圆的方程为，椭圆的方程为

（2）∵成等差数列，所以,又因为，
∴
设，则，得，
∴
∴到的距离为，
又圆上一点到直线的距离的最大值为
∴的面积的最大值为．
25．(1)
(2)

【分析】（1）根据椭圆的几何性质结合离心率，利用待定系数法求解椭圆方程即可.
（2）由（1）可得焦点、的坐标，利用点斜式得直线的方程，联立椭圆的方程和直线的方程，消去，求解的值，进而得到的值，利用即可求解.
【详解】（1）解：由题可知，的周长为12，即，所以，
又椭圆的离心率为，即，所以，
又，所以，所以椭圆的方程为.
（2）解：由（1）得，则直线的方程为，
设,且，
由消去，得，，
则，
所以，
因为
所以.
即的面积为.

26．(1)
(2)

【分析】（1）设，由椭圆定义，面积为得，在中，由余弦定理得，即求得，可得答案；
（2）设点P的坐标为，则直线的方程为，将其代入椭圆方程中利用韦达定理可得，同理可求得，
，利用基本不等式再求的最值可得答案.
（1）
设，则，
的面积为，解得，
在中，，由余弦定理，
即，
所以，则，椭圆C的方程为．
（2）
设点P的坐标为，则直线的方程为，
将其代入椭圆方程中可得，
所以，所以，同理可求得，
，

，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
27．(1)；
(2)或.

【分析】(1)根据短轴长求出b，根据M在C上求出a；
(2)根据题意设直线l为，与椭圆方程联立得根与系数关系，根据＝即可求出m的值.
（1）
∵短轴长为2，∴，∴，
又∵点在C上，∴，∴，
∴椭圆C的标准方程为；
（2）
由(1)知，
∵当直线l斜率为0时，不符合题意，
∴设直线l的方程为：，
联立，消x得：，
∵，
∴设，，则，
∵，∴，∴，
即，解得，
∴直线l的方程为：或.
28．(1)；
(2).

【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合椭圆弦长公式进行求解即可；
（2）根据椭圆弦长公式，结合三角形面积公式进行求解即可.
（1）
因为椭圆C的离心率为，所以，所以，
即椭圆C的方程为，与联立消去y得，
，且，
设，，
当时，得，，
因为AB的长为，所以，
所以，解得，
经检验：符合，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）
由（1）得，，设AB与x轴交于点E，则，
由与，联立消去y得，，
则三角形ABF的面积为
.
【点睛】关键点睛：利用椭圆弦长公式是解题的关键.
29．(1)4
(2)．

【分析】（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得的值；
（2）设直线方程为，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．
【详解】（1）在椭圆中，， 所以，；
（2）设直线方程为，代入抛物线方程得，
设，中点为，则，，
，，
设，则，两式相减得，
所以，，，
所以，解得，
点在椭圆内部，所以，得，
因为，所以或，
，
时，，时，，
所以面积的最大值为．
【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线民椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．
30．（1）；（2）.
【分析】（1）本题首先可根据的周长为求出，然后根据离心率为求出，即可求出椭圆的标准方程；
（2）首先可根据椭圆的标准方程得出直线的斜率为，然后根据得出直线的方程为，再然后与椭圆方程联立，得出，，最后求出的面积与周长，通过即可求出内切圆半径与面积.
【详解】（1）因为的周长为，所以结合椭圆的定义可知，，，
因为离心率为，所以，，
故椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆的标准方程为易知，，
则直线的斜率为，
因为，所以直线的斜率为，
则直线的方程为，即，
联立，整理得，
设，，则，，
的面积，周长，
因为，所以内切圆半径，内切圆面积为.