专题15 圆锥曲线焦点三角形 微点1 焦点三角形角度与离心率问题

专题15  圆锥曲线焦点三角形  微点1  焦点三角形角度与离心率问题

专题15  圆锥曲线焦点三角形

微点1  焦点三角形角度与离心率问题

【微点综述】

离心率是椭圆中一个非常重要的定形的量，它的定义式早已被大家所熟悉．笔者从焦点三角形的角度作了探究，发现了椭圆的离心率与焦点三角形中的某些量存在关系，现论述如下：

定理一、如图1，在椭圆中，为左、右焦点，为椭圆上任意一点，是角平分线与轴的交点，则椭圆的离心率．

图1                      图2                     图3                  图4

证明：是平分线，．

定理二、如图2，在椭圆中，为左、右焦点，为椭圆上任意一点，是△的内心，是的延长线与轴的交点，则椭圆的离心率．

证明：连接．所在的直线是角平分线，

．

定理三、如图3，在椭圆中，为左、右焦点，为椭圆上任意一点，，则椭圆的离心率．

证明：在△中，

．

同理可证，双曲线的结论：

定理四、如图4，在双曲线中，为左、右焦点，为双曲线上任意一点，，则双曲线的离心率．

证明：如图4，在△中，．

定理五、如图5，在椭圆中，为左、右焦点，为椭圆上任意一点，是外角平分线与轴的交点，且，则椭圆的离心率．

     图5                          图6

证明：根据定理三易证．

定理六、如图6，在椭圆中，为左、右焦点，为椭圆上任意一点，是过右焦点的焦点弦，为焦点弦的垂线与轴的交点，则．        

证明：设，中点．

．

都在上，

由点差法得，则直线的中垂线的方程为：，

．

结论：在椭圆中，在双曲线中．

证明：运用正弦定理即可证明

．

典型例题

1．椭圆两焦点为，，以为直径的圆与椭圆的一个交点为，且，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

2．已知，是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得，则该椭圆的离心率的取值范围是　　

A． B． C． D．

3．已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为_____________.

（2022·广西柳州·模拟预测（理））

4．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【评注】求双曲线离心率的三种方法：

①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

5．已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

（2022·河南开封·高二期末）

6．已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【强化训练】

7．已知，分别为椭圆的左、右两个焦点，是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且，则这个椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

（2022·重庆一中高一期末）

8．已知A，B为椭圆E的左，右焦点，点M在E上，为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（    ）

A． B． C．或 D．或

（2022·贵州遵义·高二期末）

9．椭圆C：左右焦点分别为，，P为C上除左右端点外一点，若，，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）

10．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（    ）

A． B． C． D．

（2022·四川成都·模拟预测）

11．椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，点在椭圆上，满足，则椭圆的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

（2022·江西上饶·高二期末）

12．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末）

13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，的延长线交于，，则的离心率（    ）

A． B． C． D．

参考答案：

1．D

【分析】由题意，根据圆的性质，可得焦点三角形另外一角为直角，结合三角函数以及椭圆的定义，整理齐次方程，可得答案.

【详解】∵是以为直径的圆与椭圆的一个交点，∴，

∵，∴，，

∴，∴，，∴，∴，

故选：D．

2．B

【详解】根据椭圆的对称性，若椭圆上存在点使得，三角

形OBF中， ，所以 即

，因为椭圆的离心率小于1，所以选B．

3．

【分析】先求出椭圆的长半轴长以及半焦距长，再由双曲线和椭圆的定义求出的长度，利用余弦定理即可求解.

【详解】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为，

根据椭圆及双曲线的定义：，

所以，，

由余弦定理可得，，

整理得，

.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，正确解题的关键是要熟练掌握椭圆及双曲线的定义，注意在三角形中建立等量关系式.

4．B

【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.

【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，

设，则，显然有，，

，因此，，在，，

即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，

所以E的离心率为.

故选：B

【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

5．C

【分析】由正弦定理得，，可得在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，根据在双曲线右支上，得关于的不等式，从而求出的范围

【详解】解：由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义，

在中，由正弦定理得，

又，

∴，即，

∵在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，

∴，即，

由双曲线的几何性质，知，∴，即，

∴，解得，又，双曲线离心率的范围是．

故选：C．

6．A

【分析】由角平分线的性质定理有，再根据线段之间的关系建立不等式可求解.

【详解】因为是的中点，是的中点，所以，

因为平分，所以，

因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是．

故选：A．

7．A

【分析】由几何关系得，再由椭圆性质求解

【详解】由题意为直角三角形，，而，则，又，

∴，，由椭圆的定义知，，

∴离心率为．

故选：A

8．D

【分析】依题意设椭圆方程为，对等腰三角形的顶角分两种情况讨论，结合图形及椭圆的性质计算可得.

【详解】解：依题意设椭圆方程为，

①若为等腰三角形的顶角，则在椭圆的上（下）顶点，如下图所示：

则，所以，则，

又，所以，所以；

②若（或）为等腰三角形的顶角，不妨取为顶角，如下图所示：

即，，又，

所以，

由余弦定理，

即，

即，

所以，解得或（舍去）

综上可得或.

故选：D．

9．D

【分析】根据图形在中，利用余弦定理解出，再由椭圆的定义式，整理出关于的式子，最后代入已知三角函数值中，得到关于得二次式，从而可求椭圆离心率.

【详解】解：如图在中，

，即①

，即②

且，

故①+②得：，即.

所以 ，代入到中，整理得：

，故两边除以得：

解得：或，又，所以.

即椭圆C的离心率为.

故选：D.

10．B

【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．

【详解】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，

由椭圆和双曲线的定义可知，设，，，

椭圆和双曲线的离心率分别为，，

因是它们的一个公共点，且，则由余弦定理可得：

……①

在椭圆中，由定义知，①式化简为：……②

在双曲线中，由定义知，①式化简为：……③

由②③两式消去得：，等式两边同除得，

即，

由柯西不等式得，

.

故选：B

11．B

【分析】根据相似可得，根据椭圆定义以及焦点三角形中余弦定理，可得，因式分解即可求解.

【详解】由，得 ,故，即，故， ，在△中，由余弦定理可得： ，

，化简得

，即，则，，因为 ，所以

解得或（舍），

故选：B.

12．C

【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建立齐次式求解.

【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可得，

因为，所以，在中，，

由余弦定理得，

即所以所以的离心率.

故选：C

13．D

【分析】设，利用几何法表示出，在中表示出；在中，，表示出，得到a、b、c的齐次式，即可求得.

【详解】由椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，

可得：.如图示：

.

设，则.

由椭圆的定义可得：，即，解得：.

所以在中，，所以.

在中，，所以.

所以，即，所以，所以（舍去）.

故选：D