MST高考数学二轮复习专题讲义

这是一份MST高考数学二轮复习专题讲义，文件包含5-5无所不在的定比点差docx、6-4同构和异构docx、4概率之决策型问题docx、5-3圆锥曲线与二次方程docx、5-2离心率问题速解docx、2-1数列篇docx、6-2由泰勒展开和经典不等式引发的放缩docx、5-4极坐标与参数方程法docx、6-1导数必杀技之找点探路法docx、1-1三角向量篇docx、1-2解三角形docx、5-6切线问题与阿基米德三角形docx、5-1中垂线和对称问题docx、6-5阶级斗争找点法docx、3-5应用空间解析几何的视角处理立体几何docx、3-2立体几何中的动态问题docx、6-3保值性定理与矛盾区间docx、3-1空间模型问题docx、3-4多面体的内切球问题docx、6-6极值点偏移构造docx、3-3基于隐形线面体的方法处理空间距离和体积问题docx等21份试卷配套教学资源，其中试卷共300页， 欢迎下载使用。
第二讲 由泰勒展开和经典不等式引发的放缩同构和异构，关键在于拆分和判断，到底什么函数是恒成立，在什么位置取等，我们不可能记住所有的函数，但是我们可以通过一些方法去寻找这些函数的特征，导数世界里的元素，就是、、、，，当然还有分式函数，比如，它们之间有哪些关联呢？且听MST森哥来给你分解。想获得本章讲解视频，可以跟本人联系，本人微信号：cysmath.泰勒展开与放缩原理若函数在点存在直至阶导数，则有;即（1)式称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺(Peano)型余项．所以(1)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式．以后用得较多的是泰勒公式(1)在时的特殊形式：，它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式．由此可得近似公式：；由此可以得到高考常考函数在0处的泰勒展开式：由此我们能根据泰勒展开进行放缩，；题型一：关于指数的泰勒展开和经典指数不等式：一切从在恒成立开始，形成，时取“=”此是同构异构常见的母函数.，当时取“=”.对上式子两边进行积分有：要在时取“=”，将代入有.即()，当时取“=”.同理继续有：()，当时取“=”.一直积分下去，即有当时取“=”.  此时延伸出一系列不等式，当知道处泰勒展开，我们可以用代换，可求出处泰勒展开，即知道任意一点处的泰勒.一般高考要求二次，故此处只总结到二次.1：，当时取“=”，时恒成立；2：，当时取“=”，时恒成立，时；3：，当时取“=”，时恒成立；4：，当时取“=”，时恒成立，时；5：，当时取“=”，时恒成立；6：，当时取“=”，时恒成立，时；7：，当时取“=”，时；当时，；注意：，两边取积分，得，代入端点即得，由于并非的切点，故在处时，很明显发现，但不影响的拐点就是，这里还能得到一个弱化的不等式对恒成立.（此不等式会用在2021新高考II卷压轴导数题找点中，详见本章第五讲）8：，当时取“=”，时恒成立；本结论对140分以下的学生不做要求。通过平移得到：9：或，当时取“=”，时恒成立；10：，当时取“=”，时恒成立，时；11：，当或时取“=”，时恒成立，时；（利用指数找基友证明）12：利用代替前面8个母函数，可得到前8个母函数在处的母函数表达式;亦可总结为：在处“=”.例1.(2010・新课改2卷)设函数.(1)若,求的单调区间;(2)若当时,求的取值范围.     【例2】(2014•新课标Ⅱ)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设，当时，，求的最大值； 例3.(2021年雅礼一模22题)已知函数，(其中常数,是自然对数的底数)(1)讨论函数的单调性;(2)证明：对任意的，当时，. 例4.（2021•赣州模拟）已知函数且为自然对数的底数）．（1）当时，求的最小值；（2）若关于的不等式，求整数的最大值． 注意：根据，，两式相加即得，当时取“=”，时恒成立；由此我们能得出一个新的总结归纳，如下：由于①；②①+②得：，结合前面第5和第6的结论，我们综合总结归纳可得：，由于，我们称之为双曲余弦函数，那么它的泰勒展开式我们也随即推导，如果令，则会有（如左图）同理，我们可以得到双曲正弦函数，根据前面结论3和结论4，当，记，令，则会有，最经典的代表就是飘带函数.另外，由于双曲余弦函数是偶函数，双曲正弦函数是奇函数，易知当时，（如右图），而依然成立.              1.（2021•哈尔滨模拟）已知且．（1）若是函数的极值点，求实数的值，并求此时在，上的最小值；（2）当时，求证：． 2.（2021•乌鲁木齐模拟）已知函数．（Ⅰ）讨论在区间，上的单调性；（Ⅱ）证明：当时，． 3.（2021•呼兰区校级四模）已知曲线在处的切线方程为，且．（1）求的解析式；（2）求函数的极值；（3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 4.（2021•深圳月考）已知函数，．（1）当，时，证明：．（2）当时，恒成立，求的取值范围． 5.（2021•射洪市模拟）已知函数，，其中，．（Ⅰ）若函数无极值，求的取值范围；（Ⅱ）当取（Ⅰ）中的最大值时，求函数的最小值；（Ⅲ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 题型二：关于对数的泰勒展开和飘带函数放缩：；；还是可用代换，可得出在处的泰勒展开.如果需要处的泰勒放缩，则利用替换，即先求出处的表达式.如，时取“=”求出在处切线.1：,当时取“=”；,当时取“=”；,当时；当时取“=”；2： ,当时；当时取“=”；当时；3： ,当时取“=”；4：,当时取“=”；5：,当时取“=”；6：,当时取“=”；7：指对互换,当时取“=”；或,当时取“=”；令，；，；8：，当时取“=”；9：,当时；当时；当时；10：,当时；当时；当时；注意：9和10均为飘带函数放缩，属于常见式.11：,当时；当时；当时；12：,当时；当时；当时；13：,当时；当取；当时；14： ，当时，当，；15：，当时，当，；16：,当时取“=”；【例5】(2021•锦州模拟)已知函数，对任意的，都有，则实数的取值范围是(  )A． B． C． D． 【例6】(2021•河南月考)已知函数对任意有成立，则的最小值为(   )A． B． C． D． 例7.（2021•湖北模拟）已知函数，其中．（1）当，讨论函数的单调性；（2）若时，恒成立，求的取值范围．       例8.（2021・厦门一模）已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若,证明.      例9.（2021•上饶三模）已知函数．（1）曲线在点，处的切线斜率为0，求的值；（2）若恒成立，求的取值范围．          6.（2021•全国Ⅱ卷模拟）已知函数．（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）求证：． 7.(2021•郊区校级三模)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,证明. 8.(2021•抚顺一模)已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,证明:. 9.(2021•恩施模拟)已知函数．(1)讨论函数的单调性．(2)证明:． 10.(河北衡水中学2021高三七调理20)已知函数，其中.(1)若，求函数的极值;(2)设，若在上恒成立，求实数的取值范围. 题型三：关于三角的泰勒展开和经典三角不等式放缩：观察发现，为奇函数，只有奇次项；为偶函数，只有偶次项；如果需处的三角泰勒，只需代替即可，最后提示一下多项式函数，利用(，)展开放缩.常见母函数构造：1.，时，时；时；2.，时，时；3.，时，时；时；4.，时，时；时；5.，时，时；时；6. ，时，时；7.是偶函数，在单调递减；8.是奇函数，时，在单调递增；9.，时，；10.，时，时；11.对恒成立；12.对恒成立;13.对恒成立；例10.(2021•巴南区校级模拟)设．(1)证明：；(2)若，求的取值范围．    【例11】(2021•天心区模拟)已知函数．(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；   例12.(2020佛山二模)已知函数,其中.(1)当时,求证:过原点且与曲线相切的直线有且只有一条;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.       例13.（2021•重庆模拟）已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）求证：当，时，；（2）若不等式对成立，求实数的值．          例14.（2021•广陵区模拟）已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，对，，①证明：；②若恒成立，求实数的范围；（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．        11.(2006•湖南)已知函数，数列满足：，，，，．．．证明：(1)；(2)．12.(2008•全国卷Ⅱ)设函数．(1)求的单调区间；(2)如果对任何，都有，求的取值范围．13.（2021•汕头三模）已知函数，．（1）当时，求证：当时，；（2）若在，上恒成立，求的取值范围．14.（2021•5月份模拟）已知函数．（1）当时，证明：；（2）当，时，，求的取值范围．题型四：关于任意函数的构造和放缩：不等式和恒成立的母函数是同构异构的根基，下面我们来介绍一种探索新型不等式的方法：绅士(森氏)回穿法.首先我们来介绍最基本的切线方程构造的不等式，即，我们看图左，始终在图像的上方；我们再看中图，对切点处的和反向求积分，也可以这么理解，，，，此时相切两曲线为和，代入点可得：.根据单调性和图像综合分析，我们发现当时，在图像上方，当时，在图像下方，那么在原始的切线切点处通过求导逆运算构造的曲线穿越性切于点，那么在这个基础上再积分一次，或者说求导逆运算一次会怎样呢？我们如右图所示，我们通过运算得到了始终在图像上方，这样两个曲线切于一点，不断反向求导构造，就会产生这样一穿一回的现象，这样去构造不等式，我们称之为绅士(森氏)回穿法.                    当然，会有读者朋友们产生一个疑问，为什么要反向求导（积分），而不能正向求导呢？刚刚的求导后变成，再跟相切，我们这里再拿个函数来说明：于相切于点，求导后变成，显然与相交，但是我们发现，，故与穿越相切于点(如右图),当然，还能继续求导逆运算（积分）下去，一回一穿；              回到我们本讲介绍的双曲正弦和双曲余弦函数的泰勒展开式，其实就是完全符合这个回穿原理，双曲正弦为穿越切线，双曲余弦则为单侧切线，也可以理解为相切后回弹，三角也是，正弦函数切线穿，余弦函数切线回，乐此不疲.    我们来尝试解释一个相对冷门的不等式，这个不等式会在后面极值偏移中发挥巨大作用，就是飘带函数，我们知道，当时，，当时，，我们可以理解为与穿越相切，根据绅士回穿法，由于，，那么这次就是回，即，代入得，即恒成立（如图），考试时，直接构造这个不等式，并求导证明即可，本类型题证明不难，难在逆向思维;所以，无论怎么理解导数，求导证明，反向求导得积分证明，都需要求切线方程，所以求切线方程成为重中之重，我们必须通过求切线之后才能反向积分，我们介绍几个常见可求切线也方便反向求导的例子.通式：，这个大家都清楚的.关于的切线和放缩式：1.,当且仅当时等号成立;2.，当且仅当时等号成立；或者（（））当且仅当时等号成立；3.，当时等号成立；4.，当且仅当时等号成立；5.，可以理解为；6.对恒成立；对恒成立；                       7.对恒成立；对恒成立；8.对恒成立；对恒成立；9.对恒成立，恒成立；总结：本质都是找点探路后的泰勒展开式，如果能熟练掌握泰勒展开式，可以写出式子后再证明，如果不能熟记，就可以尝试绅士回穿法，一切殊途同归！例15.(2021武汉三调)已知函数.(1)当时，求的最小值.(2)证明:当时，恒成立      例16.（2021•九江一模）已知函数，（1）当时，求证:在上单调递增；（2）当时，，求的取值范围.       15.（MST读者供题）已知函数，.(1)若在点处的切线过原点，求的值;(2)在(1)的条件下，若恒成立，求的取值范围.16.(赣州模拟导数压轴)证明: