初中数学人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程练习

这是一份初中数学人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程练习，共16页。试卷主要包含了+m的解为y＝　 　等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上学期初中数学人教版七年级期末必刷常考题之一元一次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2020秋•清涧县期末）一辆汽车从甲地开往乙地需要5小时，返回时每小时少行驶15千米，多用了1小时，则甲、乙两地间的距离是（　　）
A．300千米 B．450千米 C．550千米 D．650千米
2．（2020秋•费县期末）一项工程，甲单独做需要5天完成，乙单独做需要8天完成．若甲先做1天，然后由甲、乙合作完成此项工程．求甲一共做了多少天？若设甲一共做了x天，则所列方程为（　　）
A．+＝1 B．+＝1 C．﹣＝1 D．﹣＝1
3．（2020秋•九龙坡区校级期末）一辆快车和一慢车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是120km/h，慢车的行驶速度是80km/h，快车比慢车早2h经过B地．设A、B两地间的路程是xkm，由题意可得方程（　　）
A．120x﹣80x＝2 B．﹣＝2 C．80x﹣120x＝2 D．﹣＝2
4．（2020秋•下城区期末）设a，b，c均为实数，且满足（a﹣1）b＝（a﹣1）c，下列说法正确的是（　　）
A．若a≠1，则b﹣c＝0 B．若a≠1，则＝1
C．若b≠c，则a+b≠c D．若a＝1，则ab＝c
5．（2020秋•东台市期末）某品牌服装店在元旦举行促销活动，一次同时售出两件上衣，每件售价都是150元，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则这家商店在这次销售过程中（　　）
A．亏损为20元 B．盈利为20元 C．亏损为18元 D．不亏不盈
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•饶平县校级期末）若关于x的方程的解是正整数，则正整数m的值为 　 　．
7．（2021春•红桥区期末）为牢固树立“绿水青山就是金山银山”的理念，大力推进生态文明建设，某县将一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，则改变后，林地面积比耕地面积多 　 　平方千米．
8．（2020秋•饶平县校级期末）已知（m﹣2）x|m﹣1|﹣6＝0是关于x的一元一次方程，则它的解是　 　．
9．（2020秋•滕州市期末）已知关于x的一元一次方程+3＝2021x+m的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程+3＝2021（1﹣y）+m的解为y＝　 　．
10．（2020秋•增城区期末）已知A、B两站间的距离为480千米，一列慢车从A站出发，一列快车从B站出发，慢车的平均速度为60千米/时，快车的平均速度为100千米/时，如果两车同时出发，慢车在前，快车在后，同向而行，那么出发后　 　小时两车相距80千米．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•北仑区期末）在2020年元旦即将到来之际建湖县大润发和家乐福两超市准备提前庆祝该节日，分别推出如下促销方式：大润发：全场均按八五折优惠；家乐福：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打八八折；超过500元时，其中的500元优惠12%，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样．
（1）当一次性购物总额是400元时，大润发、家乐福两家超市实付款分别是多少？
（2）当购物总额是多少时，大润发、家乐福两家超市实付款相同？
（3）某顾客在家乐福超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由．
12．（2020秋•沙坪坝区校级期末）重庆地铁10号线是重庆市正在运营的一条地铁线路，与重庆轨道交通3号线一起承担主城核心区南北向骨干公共交通的功能．该条线路于2020年9月18日正式通车，起于鲤鱼池站，止于王家庄站，全长约35千米．下表是重庆地铁10号线首班车时刻表，开往王家庄方向和鲤鱼池方向的首班车的速度均为60千米/小时．
重庆地铁10号线首班车时刻表
车站名称
往王家庄方向首班车时间
往鲤鱼池方向首班车时间
鲤鱼池
6：10
…
…
…
…
王家庄
…
6：05
（1）求从王家庄站6：05开出的首班车到达鲤鱼池站的具体时刻．
（2）求由鲤鱼池站和王家庄站开出的首班车第一次相遇的具体时刻．
13．（2021春•嘉祥县期末）为了培育和践行社会主义核心价值观，丰富学生生活，培养学生爱国主义情怀，学校某天组织七年级学生和带队教师共450人外出参加研学游活动，已知学生人数的一半比带队教师人数的10倍还多15人．求参加活动的七年级学生和带队教师各有多少人？
14．（2021春•瓦房店市期末）某电动汽车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动汽车的任务，若每天生产40辆，则差15辆才能完成任务；若每天生产45辆，则可超额生产25辆，试求预定期限是多少天？计划生产多少辆电动汽车？
15．（2020秋•天桥区期末）如图，已知在数轴上有三个点A、B、C，O是原点，满足OA＝AB＝BC＝20cm，动点P从点O出发向右以每秒2cm的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为v（v＞1）；运动时间为t．

O A B C
（1）求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值．
（2）若Q的速度v为每秒3cm，那么经过多长时间P，Q两点相距30cm？此时|QB﹣QC|是多少？
（3）当|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24时，请直接写出点Q的速度v的值．

2022-2023学年上学期初中数学人教版七年级期末必刷常考题之一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2020秋•清涧县期末）一辆汽车从甲地开往乙地需要5小时，返回时每小时少行驶15千米，多用了1小时，则甲、乙两地间的距离是（　　）
A．300千米 B．450千米 C．550千米 D．650千米
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设甲、乙两地间的距离是x千米，根据“返回时用了6小时，且返回时每小时少行驶15千米”列出方程并解答．
【解答】解：设甲、乙两地间的距离是x千米，
根据题意，得﹣15＝．
解得x＝450．
即甲、乙两地间的距离是450千米．
故选：B．
【点评】本题主要考查一元一次方程应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
2．（2020秋•费县期末）一项工程，甲单独做需要5天完成，乙单独做需要8天完成．若甲先做1天，然后由甲、乙合作完成此项工程．求甲一共做了多少天？若设甲一共做了x天，则所列方程为（　　）
A．+＝1 B．+＝1 C．﹣＝1 D．﹣＝1
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设甲一共做了x天，则乙一共做了（x﹣1）天，然后再根据甲的工作效率×甲的工作时间+乙的工作效率×乙的工作时间＝1，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设甲一共做了x天，
由题意得：+＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
3．（2020秋•九龙坡区校级期末）一辆快车和一慢车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是120km/h，慢车的行驶速度是80km/h，快车比慢车早2h经过B地．设A、B两地间的路程是xkm，由题意可得方程（　　）
A．120x﹣80x＝2 B．﹣＝2 C．80x﹣120x＝2 D．﹣＝2
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设A、B两地间的路程为xkm，根据题意分别求出快车所用时间和慢车所用时间，根据两车时间差为2h即可列出方程．
【解答】解：设A、B两地间的路程为xkm，
根据题意得：﹣＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是根据两车所用时间之差为2小时列出方程，此题难度不大．
4．（2020秋•下城区期末）设a，b，c均为实数，且满足（a﹣1）b＝（a﹣1）c，下列说法正确的是（　　）
A．若a≠1，则b﹣c＝0 B．若a≠1，则＝1
C．若b≠c，则a+b≠c D．若a＝1，则ab＝c
【考点】等式的性质．
【专题】整式；推理能力．
【分析】根据等式的性质解答即可．
【解答】解：A．∵a≠1，
∴a﹣1≠0，
∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，
∴除以（a﹣1）得：b＝c，
∴b﹣c＝0，故本选项符合题意；
B．∵a≠1，
∴a﹣1≠0，
∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，
∴除以（a﹣1）得：b＝c，
如果c＝0，则不成立，题目中没有对c的取值进行限定，因此B选项不符合题意；
C．若b≠c，
∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，
∴a﹣1＝0，b、c的大小关系不能确定，故本选项不符合题意；
D．若a＝1，
∵（a﹣1）b＝（a﹣1）c，
∴a﹣1＝0，b、c的大小关系不能确定，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，注意：等式的性质是：①等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．
5．（2020秋•东台市期末）某品牌服装店在元旦举行促销活动，一次同时售出两件上衣，每件售价都是150元，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则这家商店在这次销售过程中（　　）
A．亏损为20元 B．盈利为20元 C．亏损为18元 D．不亏不盈
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】常规题型；能力层次．
【分析】设盈利的那件上衣的成本价为x元，亏损的那件上衣的成本为y元，根据利润＝售价﹣成本价，即可得出关于x（y）的一元一次方程，解之即可得出x（y）的值，再将其代入（150﹣x）+（150﹣y）中，即可求出结论．
【解答】解：设盈利的那件上衣的成本价为x元，亏损的那件上衣的成本为y元，
依题意，得：150﹣x＝25%x，150﹣y＝﹣25%y，
解得：x＝120，y＝200，
则（150﹣x）+（150﹣y）＝（150﹣120）+（150﹣200）＝﹣20（元）．
故这家商店在这次销售过程中亏损为20元．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•饶平县校级期末）若关于x的方程的解是正整数，则正整数m的值为 　2或4　．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】把m看做已知数求出x，根据m为正整数，x为正整数，确定出m的值即可．
【解答】解：，
去分母得：3x﹣2x+m＝6﹣x，
移项，合并同类项得：2x＝6﹣m，
系数化为1得：x＝，
∵x，m都是正整数，
∴6﹣m是2的倍数，
∴当6﹣m＝2时，m＝4，
当6﹣m＝4时，m＝2，
∴正整数m的值有2个，是2或4．
故答案为：2或4．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确解一元一次方程并得出6﹣m是2的倍数是关键．
7．（2021春•红桥区期末）为牢固树立“绿水青山就是金山银山”的理念，大力推进生态文明建设，某县将一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，则改变后，林地面积比耕地面积多 　108　平方千米．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】关键描述语是：林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%．
等量关系为：林地面积+耕地面积＝180；耕地面积＝林地面积×25%．根据这两个等量关系，可列方程解答．
【解答】解：设耕地面积x平方千米，林地面积为（180﹣x）平方千米，
根据题意可得：x＝25%（180﹣x），
解得：x＝36，
即耕地面积36平方千米，林地面积为（180﹣36）＝144（平方千米），
∴林地面积比耕地面积多144﹣36＝108（平方千米），
故答案为：108．
【点评】此题考查一元一次方程的应用，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程．
8．（2020秋•饶平县校级期末）已知（m﹣2）x|m﹣1|﹣6＝0是关于x的一元一次方程，则它的解是　x＝﹣3．　．
【考点】绝对值；一元一次方程的定义；一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据一元一次方程的定义知|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，求得m的值，代入方程求解可得．
【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m﹣1|﹣6＝0是关于x的一元一次方程，
∴|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，
解得m＝0．
则方程为﹣2x﹣6＝0，
解得：x＝﹣3，
故答案为：x＝﹣3．
【点评】本题主要考查一元一次方程的定义和解方程的能力，根据一元一次方程的定义得出m的值是解题的关键．
9．（2020秋•滕州市期末）已知关于x的一元一次方程+3＝2021x+m的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程+3＝2021（1﹣y）+m的解为y＝　﹣2　．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据方程的解的定义利用整体代入思想求解．
【解答】解：∵+3＝2021+m的解为x＝3，
∴+3＝2021（1﹣y）+m中，1﹣y＝x＝3，
解得：y＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了方程的解，正确理解方程的解的定义，利用整体思想求解是解题的关键．
10．（2020秋•增城区期末）已知A、B两站间的距离为480千米，一列慢车从A站出发，一列快车从B站出发，慢车的平均速度为60千米/时，快车的平均速度为100千米/时，如果两车同时出发，慢车在前，快车在后，同向而行，那么出发后　10或14　小时两车相距80千米．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】可设出发后x小时两车相距80千米，分两种情况：两车相距80千米时慢车在前；两车相距80千米时快车在前列方程，解方程即可求解．
【解答】解：设出发后x小时两车相距80千米，当慢车在前时，
100x﹣60x＝480﹣80，
解得x＝10，
当快车在前时，
100x﹣60x＝480+80，
解得x＝14，
答：出发后10小时或14小时两车相距80千米．
故答案为10或14．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键，注意分类讨论．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•北仑区期末）在2020年元旦即将到来之际建湖县大润发和家乐福两超市准备提前庆祝该节日，分别推出如下促销方式：大润发：全场均按八五折优惠；家乐福：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打八八折；超过500元时，其中的500元优惠12%，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样．
（1）当一次性购物总额是400元时，大润发、家乐福两家超市实付款分别是多少？
（2）当购物总额是多少时，大润发、家乐福两家超市实付款相同？
（3）某顾客在家乐福超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）根据两超市的促销方式，可分别求出在大润发、家乐福两家超市购买所需费用；
（2）设当购物总额是x元时，大润发、家乐福两家超市实付款相同，根据两超市的促销方式及实付款相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设该顾客购物总额为y元，利用在家乐福超市购买实付款＝500×0.88+0.8×超过500元的部分，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再将其代入0.85y中即可求出结论．
【解答】解：（1）大润发：400×0.85＝340（元），
家乐福：400×0.88＝352（元），
答：大润发、家乐福两家超市实付款分别是340元和352元；
（2）设购物总额是x元时，大润发、家乐福两家超市实付款相同，
当x≤500时，两家超市不可能相同，
当x＞500时，0.85x＝500×0.88+0.8（x﹣500），
解得x＝800，
答：当购物总额是 800元时，大润发、家乐福两家超市实付款相同；
（3）不划算，理由如下：
∵500×0.88＝440＜482，
∴该顾客购物实际金额多于 500．
设该顾客购物金额为y元，由题意得：
500×0.88+0.8（ y﹣500）＝482，
解得 y＝552.5，
若顾客在大润发超市购物，则实际付款金额为：552.5×0.85＝469.625（元），
469.625＜482，
故不划算．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12．（2020秋•沙坪坝区校级期末）重庆地铁10号线是重庆市正在运营的一条地铁线路，与重庆轨道交通3号线一起承担主城核心区南北向骨干公共交通的功能．该条线路于2020年9月18日正式通车，起于鲤鱼池站，止于王家庄站，全长约35千米．下表是重庆地铁10号线首班车时刻表，开往王家庄方向和鲤鱼池方向的首班车的速度均为60千米/小时．
重庆地铁10号线首班车时刻表
车站名称
往王家庄方向首班车时间
往鲤鱼池方向首班车时间
鲤鱼池
6：10
…
…
…
…
王家庄
…
6：05
（1）求从王家庄站6：05开出的首班车到达鲤鱼池站的具体时刻．
（2）求由鲤鱼池站和王家庄站开出的首班车第一次相遇的具体时刻．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）求出首班车行驶全程所需的时间即可得出结论；
（2）设由鲤鱼池站和王家庄站开出的首班车第一次相遇的时间为x小时，则等量关系为：两列首班车行驶的路程和＝35，依题等量关系列出方程即可求解．
【解答】解：（1）∵首班车行驶全程所需的时间为：35÷60＝（小时）＝35（分钟），
∴从王家庄站6：05开出的首班车到达鲤鱼池站的具体时刻为：6：40．
（2）设两列首班车在由鲤鱼池站开出的首班车开出x小时后第一次相遇，则：
60x+60（x+）＝35，
解得：x＝．
∴在由鲤鱼池站开出的首班车开出小时后两列首班车第一次相遇．
∵小时＝15分钟，
∴由鲤鱼池站和王家庄站开出的首班车第一次相遇的具体时刻为：6：25．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，从题干中找出等量关系是解题的关键．
13．（2021春•嘉祥县期末）为了培育和践行社会主义核心价值观，丰富学生生活，培养学生爱国主义情怀，学校某天组织七年级学生和带队教师共450人外出参加研学游活动，已知学生人数的一半比带队教师人数的10倍还多15人．求参加活动的七年级学生和带队教师各有多少人？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】可设带队教师人数为x人，则参加活动的七年级学生有2（10x+15）人，根据等量关系：七年级学生和带队教师共450人，可以列出相应的方程，从而可以求得参观活动的七年级学生和带队教师各有多少人．
【解答】解：设带队教师人数为x人，则参加活动的七年级学生有2（10x+15）人，依题意有
x+2（10x+15）＝450，
解得x＝20，
则2（10x+15）＝2×（200+15）＝430．
故参加活动的七年级学生有430人，带队教师有20人．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程的知识解答．
14．（2021春•瓦房店市期末）某电动汽车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动汽车的任务，若每天生产40辆，则差15辆才能完成任务；若每天生产45辆，则可超额生产25辆，试求预定期限是多少天？计划生产多少辆电动汽车？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设预定期限为x天，根据按原计划每天生产20辆，则差100辆不能完成任务．现在每天生产25辆，结果比原计划多生产50辆，可列方程求解．
【解答】解：设预定期限为x天，
40x+15＝45x﹣25．
解得x＝8．
40×8+15＝335（辆）．
答：预定期限是8天，计划生产335辆电动汽车．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键设出天数，以车辆数作为等量关系列方程求解．
15．（2020秋•天桥区期末）如图，已知在数轴上有三个点A、B、C，O是原点，满足OA＝AB＝BC＝20cm，动点P从点O出发向右以每秒2cm的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为v（v＞1）；运动时间为t．

（1）求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值．
（2）若Q的速度v为每秒3cm，那么经过多长时间P，Q两点相距30cm？此时|QB﹣QC|是多少？
（3）当|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24时，请直接写出点Q的速度v的值．
【考点】数轴；绝对值；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系，即可求出时间t；
（2）分相遇前相距30cm和相遇后相距30cm两种情况进行分类讨论，即可得出答案；
（3）由|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24得出|PA+PB|＝24，|QB﹣QC|＝12，进而可知点P对应的数为18或42，点Q对应的数为44或56，再分①点P对应的数为18，点Q对应的数为44或56，②点P对应的数为42，点Q对应的数为44或56，两种情况进行分类讨论，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知：OC＝OA+AB+BC＝20+20+20＝60（cm），
∴当P运动到点C时，t＝60÷2＝30（秒）；
（2）①当点P、Q还没有相遇时，
2t+3t＝60﹣30，
解得：t＝6，
此时，QC＝3×6＝18（cm），QB＝BC﹣QC＝20﹣18＝2（cm），
∴|QB﹣QC|＝|2﹣18|＝16（cm），
②当点P、Q相遇后，
2t+3t＝60+30，
解得：t＝18，
此时，QC＝3×18＝54（cm），QB＝QC﹣BC＝54﹣20＝34（cm），
∴|QB﹣QC|＝|34﹣54|＝20（cm），
综上所述，经过6秒或18秒 P，Q两点相距30cm，此时|QB﹣QC|是16cm或20cm；
（3）∵|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24，
∴|PA+PB|＝24，|QB﹣QC|＝12，
∵在数轴上，点A对应的数为20，点B对应的数为40，点C对应的数为60，
∴点P对应的数为18或42，点Q对应的数为44或56，
①点P对应的数为18时，OP＝18（cm），t＝18÷2＝9（s），
若点Q对应的数为44时，CQ＝60﹣44＝16（cm），
v＝16÷9＝（cm/s），
若点Q对应的数为56时，CQ＝60﹣56＝4（cm），
v＝4÷9＝（cm/s）（舍弃），
②点P对应的数为42时，OP＝42（cm），t＝42÷2＝21（s），
若点Q对应的数为44时，CQ＝60﹣44＝16（cm），
v＝16÷21＝（cm/s）（舍弃），
若点Q对应的数为56时，CQ＝60﹣56＝4（cm），
v＝4÷21＝（舍弃）（cm/s），
综上所述，点Q的运动速度为：．
【点评】本题考查了一元一次方程、数轴、绝对值等知识点，根据题意对问题进行正确地分类讨论是解决问题的关键．

考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
4．一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
5．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
6．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
7．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句