2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级同步经典题精练之直线和圆的位置关系

这是一份2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级同步经典题精练之直线和圆的位置关系，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2020•南京二模）如图，点是外任意一点，、分别是的切线，、是切点．设与交于点．则点是的
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三个角的角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
2．（2019秋•崇川区校级期中）如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点为锐角），与边所在直线交于另一点，且．当边或所在的直线与相切时，的长是
A．8B．4C．12D．12或4
3．（2019•玉田县一模）如图，正方形的边长为8．是的中点，是边上的动点，连接，以点为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，的长为
A．3B．C．3或D．不确定
4．（2019•海安市模拟）如图，是矩形的对角线，是的内切圆，点是边上一点，连接，将绕点旋转，当落到对角线上时，点恰与圆心重合，已知，则下列结论不正确的是
A．B． 的半径是2C．D．
5．（2018秋•瑶海区期末）如图，是的内切圆，若，则
A．B．C．D．
6．（2018秋•南浔区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，点是抛物线的顶点，且与轴相切，点为上一动点．若点为的中点，连接，则的最大值是
A．B．C．D．
7．（2018秋•洛南县期末）如图，在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，若将沿轴向右平移，使得与轴相切，则向右平移的距离为
A．1B．5C．3D．1或5
8．（2018秋•龙岩期末）如图，、、分别切于、、，交、于、两点，若，则的度数为
A．B．C．D．
9．（2018秋•柯桥区期末）如图，，为射线上一点，以点为圆心，长为半径做，要使射线与相切，应将射线绕点按顺时针方向旋转
A．或B．或C．或D．或
二、填空题（共4小题）
10．（2019•海陵区校级三模）中，，为边上的高，为的中点，连接，，．为边上一点，以为圆心，为半径作，当与的一边所在直线相切时，的半径等于 ．
11．（2019•瓜州县二模）如图，已知是的内切圆，且，，则的度数为 ．
12．（2018秋•梁溪区期末）如图，中，，，，点从点开始以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时点从点开始以每秒2个单位的速度沿向点运动，过点作直线交于点，当运动 秒时，直线与以点为圆心，为半径的圆相切．
13．（2018•安徽）如图，菱形的边，分别与相切于点，．若点是的中点，则 ．
三、解答题（共4小题）
14．（2020•南充模拟）如图，是的直径，点是的中点，连接并延长至点，使，点是上一点，且，的延长线交的延长线于点，交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的长．
15．（2019秋•临清市期中）如图，有一块三角形余料，，，，现有两种余料的再利用方案，分别制作正方形和圆形桌面．
方案一，如图1，作正方形使它的四个顶点都在边上；
方案二，如图2，作的内切圆，它与三边分别相切与点、、．
请通过计算，比较哪种方案的利用率高．
16．（2018秋•镇江期末）如图，是的直径，点是外一点，，交于点，交于点，点是的延长线上一点，连接、，且
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）连接，若，，求的半径．
17．（2018秋•宜兴市期末）如图，是的直径，是的弦过点的切线交的延长线于点，若，试求的度数．
2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级同步经典题精练之直线和圆的位置关系
参考答案与试题解析
一、选择题（共9小题）
1．（2020•南京二模）如图，点是外任意一点，、分别是的切线，、是切点．设与交于点．则点是的
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三个角的角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
【考点】：切线的性质
【专题】1：常规题型
【分析】连接、、、，根据切线长定理得出，易证得，得出是的平分线，然后根据圆周角定理证得，，，，即可证得，从而证得结论．
【解答】解：连接、、、，
、分别是的切线，
，
，
易证，
是的平分线，
由圆周角定理可得，，，，
，
点是的三个角的角平分线的交点，
故选：．
【点评】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
2．（2019秋•崇川区校级期中）如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点为锐角），与边所在直线交于另一点，且．当边或所在的直线与相切时，的长是
A．8B．4C．12D．12或4
【考点】：矩形的性质；：圆周角定理；：切线的判定与性质
【专题】：与圆有关的位置关系；67：推理能力
【分析】过点作，垂足为，可得，由，得：，依据勾股定理即可求得的长度．
【解答】解：边所在的直线与相切时，
如图，过点作，垂足为，
，
又，
，
又，
设，则，根据勾股定理得：
，解得：，，
设的半径为，由
得：，
．，
，
又
．
同理，当边所在的直线与相切时，连接，
，
．
又，
．
故选：．
【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．
3．（2019•玉田县一模）如图，正方形的边长为8．是的中点，是边上的动点，连接，以点为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，的长为
A．3B．C．3或D．不确定
【答案】
【考点】正方形的性质；切线的判定
【专题】与圆有关的位置关系
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当与直线相切时；如图2中当与直线相切时．设切点为，连接，则，四边形是矩形；
【解答】解：如图1中，当与直线相切时，设．
在中，，
，
，
，．
如图2中当与直线相切时．设切点为，连接，则，四边形是矩形．
，
，，
在中，．
综上所述，的长为3或．
故选：．
【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
4．（2019•海安市模拟）如图，是矩形的对角线，是的内切圆，点是边上一点，连接，将绕点旋转，当落到对角线上时，点恰与圆心重合，已知，则下列结论不正确的是
A．B． 的半径是2C．D．
【答案】
【考点】矩形的性质；三角形的内切圆与内心；旋转的性质
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质
【分析】是的内切圆，设半径为，切点分别为、、，连接、，则四边形是正方形，得出，由旋转的性质得：，，，得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程得出，，，选项、、正确；由勾股定理得：，选项不正确．
【解答】解：是的内切圆，设半径为，切点分别为、、，连接、，如图：
则四边形是正方形，
，
由旋转的性质得：，，，
，
，
，
由切线长定理得：，，，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，，，
，的半径是2，
所以选项、、正确；
由勾股定理得：，选项不正确；
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、矩形的性质、旋转的性质、切线长定理、勾股定理等知识；熟练掌握切线长定理和旋转的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
5．（2018秋•瑶海区期末）如图，是的内切圆，若，则
A．B．C．D．
【考点】：三角形的内切圆与内心
【专题】：正多边形与圆
【分析】利用三角形内心性质得到，，则根据三角形内角和得到，然后利用三角形内角和得到，再把代入计算即可．
【解答】解：是的内切圆，
平分，平分，
，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．
6．（2018秋•南浔区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，点是抛物线的顶点，且与轴相切，点为上一动点．若点为的中点，连接，则的最大值是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点；线段的性质：两点之间线段最短；三角形中位线定理；直线与圆的位置关系；切线的性质
【专题】二次函数图象及其性质；与圆有关的位置关系；推理能力
【分析】如图，取点，连接，由待定系数法可求抛物线解析式，可得点坐标，可得半径为4，由三角形中位线的定理可求，当点在上时，有最大值，即可求解．
【解答】解：如图，取点，连接，
抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，
解得：
抛物线解析式为：
顶点，
半径为3，
，，
，
最大时，有最大值，
当点在上时，有最大值，
最大值为，
的最大值为：，
故选：．
【点评】本题考查了切线的性质，二次函数的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
7．（2018秋•洛南县期末）如图，在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，若将沿轴向右平移，使得与轴相切，则向右平移的距离为
A．1B．5C．3D．1或5
【考点】：坐标与图形变化平移；：切线的判定与性质
【专题】67：推理能力；：与圆有关的位置关系；558：平移、旋转与对称
【分析】分圆在轴的左侧与轴相切、圆在轴的右侧与轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．
【解答】解：当圆在轴的左侧与轴相切时，平移的距离为，
当圆在轴的右侧与轴相切时，平移的距离为，
综上所述，向右平移的距离为1或5；
故选：．
【点评】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论．
8．（2018秋•龙岩期末）如图，、、分别切于、、，交、于、两点，若，则的度数为
A．B．C．D．
【考点】：切线长定理
【专题】66：运算能力；67：推理能力；64：几何直观
【分析】由、、分别切于、、，交、于、两点，根据切线长定理即可得：，，然后由等边对等角与三角形外角的性质，可求得，，继而求得的度数．
【解答】解：、、分别切于、、，交、于、两点，
，，
，，
，，
，，
即，，
，
．
故选：．
【点评】此题考查了切线长定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
9．（2018秋•柯桥区期末）如图，，为射线上一点，以点为圆心，长为半径做，要使射线与相切，应将射线绕点按顺时针方向旋转
A．或B．或C．或D．或
【答案】
【考点】旋转的性质；切线的判定
【专题】平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质
【分析】设旋转后与相切于点，连接，则可求得，再利用角的和差可求得的度数．
【解答】解：如图，设旋转后与相切于点，连接，
，
，
当点在射线上方时，，
当点在射线下方时，，
故选：．
【点评】本题主要考查切线的性质和旋转的性质，利用过切点的半径与切线垂直求得的度数是解题的关键，注意分类讨论．
二、填空题（共4小题）
10．（2019•海陵区校级三模）中，，为边上的高，为的中点，连接，，．为边上一点，以为圆心，为半径作，当与的一边所在直线相切时，的半径等于 或或 ．
【考点】：直角三角形斜边上的中线；：切线的判定与性质
【专题】：与圆有关的位置关系；：图形的相似
【分析】先根据直角三角形的有关性质求出、、、，再分与相切、与相切及与所在直线相切这三种情况，依据相似三角形的判定与性质分别求解可得．
【解答】解：，是中点，
，
又，
，
则，
，
如图1，若与相切，
则的半径；
如图2，若与相切，
则，，
由知，
，
，即，
解得；
如图3，若与所在直线相切，切点，
则，即，，
，
，
，
，即，
解得；
综上，当与的一边所在直线相切时，的半径等于或或，
故答案为：或或．
【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质及直角三角形的有关性质．
11．（2019•瓜州县二模）如图，已知是的内切圆，且，，则的度数为 ．
【考点】：三角形的内切圆与内心
【专题】：与圆有关的位置关系
【分析】根据三角形的内心的概念得到，，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：是的内切圆，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．
12．（2018秋•梁溪区期末）如图，中，，，，点从点开始以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时点从点开始以每秒2个单位的速度沿向点运动，过点作直线交于点，当运动 秒时，直线与以点为圆心，为半径的圆相切．
【考点】：平行线的性质；：切线的判定
【专题】559：圆的有关概念及性质
【分析】如图，作于，设直线与相切于点，连接．利用相似三角形的性质求出，根据，构建方程求出即可．
【解答】解：如图，作于，设直线与相切于点，连接．
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
【点评】本题考查切线的性质与判定，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
13．（2018•安徽）如图，菱形的边，分别与相切于点，．若点是的中点，则 60 ．
【考点】：菱形的性质；：切线的性质
【专题】17：推理填空题
【分析】连接，根据菱形的性质得到是等边三角形，根据切线的性质求出，同理计算即可．
【解答】解：连接，
四边形是菱形，
，
与相切于点，
，
点是的中点，
直线是线段的垂直平分线，
，
是等边三角形，
与相切于点，
，
，
同理，，
，
故答案为：60．
【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键
三、解答题（共4小题）
14．（2020•南充模拟）如图，是的直径，点是的中点，连接并延长至点，使，点是上一点，且，的延长线交的延长线于点，交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的长．
【考点】：切线的判定与性质
【专题】11：计算题
【分析】（1）先判断出，再判断出，即可得出结论；
（2）先利用相似三角形求出，进而利用勾股定理求出，最后利用面积即可得出结论．
【解答】证明：（1）连接，
是的直径，点是的中点，
，
，，
是是中位线，
，
，
，
点在上，
是的切线；
解：（2）由（1）知，，
，
，
，
，，，
，
，
在中，，根据勾股定理得，，
，
，
，
．
【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出是解本题的关键．
15．（2019秋•临清市期中）如图，有一块三角形余料，，，，现有两种余料的再利用方案，分别制作正方形和圆形桌面．
方案一，如图1，作正方形使它的四个顶点都在边上；
方案二，如图2，作的内切圆，它与三边分别相切与点、、．
请通过计算，比较哪种方案的利用率高．
【考点】：正方形的性质；：三角形的内切圆与内心
【分析】设，再由相似三角形的性质得出的长，进而可得出正方形的面积；先根据勾股定理求出的长，再连接，，，，，由三角形的面积公式得出的半径，求出圆的面积，进而可得出结论．
【解答】解：设，则，
，
，
，即，解得，
；
中，，，，
．
点是的内心，
，
，即，解得，
．
，
方案二利用率高．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点是解答此题的关键．
16．（2018秋•镇江期末）如图，是的直径，点是外一点，，交于点，交于点，点是的延长线上一点，连接、，且
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）连接，若，，求的半径．
【考点】：圆周角定理；：直线与圆的位置关系
【专题】：与圆有关的位置关系
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，得到，根据切割线定理计算即可．
【解答】解：（1）与相切
理由如下：是的直径，
，
又，
是线段的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
与相切；
（2），
，
，
，
，，
，
由切割线定理得，，即，
解得，，
，
，
的半径为4.5．
【点评】本题考查的是切线的判定定理、全等三角形的判定和性质，切割线定理的应用，掌握切线的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17．（2018秋•宜兴市期末）如图，是的直径，是的弦过点的切线交的延长线于点，若，试求的度数．
【考点】圆周角定理；切线的性质
【专题】计算题；圆的有关概念及性质
【分析】连接，由过点的切线交的延长线于点，推出，推出，即，由，推出，推出，可得，推出，即可解决问题
【解答】解：连接，
为的切线
又
又，
，
而，
．
【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．
考点卡片
1．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
2．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
3．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
4．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
5．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
6．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
7．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
8．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
9．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
10．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
11．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
12．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
13．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
14．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
15．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
16．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
17．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
18．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
19．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样