2022-2023学年上学期初中数学北师大版七年级同步经典题精练之有理数及其运算

这是一份2022-2023学年上学期初中数学北师大版七年级同步经典题精练之有理数及其运算，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2021•泰安）下列各数：，，0，，其中比小的数是
A．B．C．0D．
2．（2019秋•天津期末）下列说法正确的有
①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2019秋•天河区校级期中）若，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
4．（2019秋•平阴县期末）已知有理数、在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是
A．B．C．D．
5．（2019秋•娄星区期末）如果水库的水位高于正常水位时，记作，那么低于正常水位时，应记作
A．B．C．D．
6．（2019秋•常熟市期末）的倒数是
A．B．C．D．
7．（2018•巴中）的结果是
A．B．4C．D．2
8．（2017秋•滕州市校级月考）下列算式正确的是
A．B．
C．D．
9．化简的结果为
A．6B．C．D．
10．如果为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是
A．2017B．2018C．2020D．2023
二、填空题（共7小题）
11．（2019春•温江区校级月考）的相反数是 ．
12．（2016秋•黔东南州期中）若，则 ．
13．的倒数为 ，相反数为 ，绝对值是 ．
14．不大于4的正整数是 ．
15．下列各数中，正数有 ，负数有 ．
①；②；③；④；⑤0；⑥．
16．若，则 ；
若，则 ；
若，则 ．
17．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2019厘米的线段，则线段盖住的整点的个数可以是 ．
三、解答题（共8小题）
18．（2018秋•杨浦区期中）定义：是不为1的数，我们把称为的差倒数，如的差倒数是，已知，是的差倒数，求的值．如果某个数的差倒数是4、，这个数分别是多少？
19．（2017秋•霸州市校级月考）如图所示，已知，，，四个点在一条没有标明原点的数轴上．
（1）若点和点表示的数互为相反数，则原点为 ；
（2）若点和点表示的数互为相反数，则原点为 ；
（3）若点和点表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点的位置．
20．（2013秋•隆昌县校级期中）比较下列各对数的大小．
（1）与
（2）与
（3）与
（4）与．
21．（2012秋•兴化市校级期中）若，，且，求的值．
22．如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点、、、对应的数分别是数、、、，且，那么数轴的原点应是哪一点？
23．在中国地形图上，珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明它们高度的数（单位：米），这个数通常称为海拔高度，它是相对于海平面来说的．请说出8848和表示的实际意义．海平面的高度用什么数表示？
24．如图，下列两个圈内分别表示某个集合，重叠部分是这两个集合所共有的，把有理数，2020，0，37，填入它属于的集合的圈内．
25．已知，求的值．
2022-2023学年上学期初中数学北师大版七年级同步经典题精练之有理数及其运算
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2021•泰安）下列各数：，，0，，其中比小的数是
A．B．C．0D．
【答案】
【考点】有理数大小比较；绝对值
【专题】实数；数感
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：，
，
其中比小的数是．
故选：．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，掌握有理数大小比较法则是解答本题的关键．
2．（2019秋•天津期末）下列说法正确的有
①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】12：有理数
【专题】61：数感；511：实数
【分析】按照有理数的分类对各项进行逐一分析即可．
【解答】解：①正有理数是正整数和正分数的统称是正确的；
②整数是正整数、0和负整数的统称，原来的说法是错误的；
③有理数是正整数、0、负整数、正分数、负分数的统称，原来的说法是错误的；
④0是偶数，也是自然数，原来的说法是错误的；
⑤偶数包括正偶数、负偶数和零是正确的．
故说法正确的有2个．
故选：．
【点评】考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
3．（2019秋•天河区校级期中）若，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【考点】15：绝对值
【专题】61：数感；511：实数
【分析】根据非正数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：，
，
解得．
故选：．
【点评】考查了绝对值，如果用字母表示有理数，则数 绝对值要由字母本身的取值来确定：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零．
4．（2019秋•平阴县期末）已知有理数、在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】有理数的混合运算；数轴
【专题】数形结合
【分析】结合数轴可得出，，，从而结合选项可得出答案．
【解答】解：由题意得，，，，
、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，故本选项正确．
、，故本选项错误．
故选：．
【点评】此题考查了数轴的知识，解答本题的关键是理解数轴上各点的大小关系，掌握原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，难度一般．
5．（2019秋•娄星区期末）如果水库的水位高于正常水位时，记作，那么低于正常水位时，应记作
A．B．C．D．
【答案】
【考点】正数和负数
【专题】实数
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：如果水库的水位高于正常水位时，记作，那么低于正常水位时，应记作．
故选：．
【点评】此题主要考查正负数的意义，关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
6．（2019秋•常熟市期末）的倒数是
A．B．C．D．
【考点】17：倒数
【专题】66：运算能力；511：实数
【分析】直接利用倒数的定义求出倒数即可
【解答】解：的倒数是，
故选：．
【点评】本题考查了倒数．熟练掌握倒数的求法是解题的关键．
7．（2018•巴中）的结果是
A．B．4C．D．2
【考点】19：有理数的加法
【专题】11：计算题
【分析】根据有理数的加法解答即可．
【解答】解：，
故选：．
【点评】此题考查有理数的加法，关键是根据法则计算．
8．（2017秋•滕州市校级月考）下列算式正确的是
A．B．
C．D．
【考点】15：绝对值；：有理数的减法
【专题】1：常规题型
【分析】根据有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数进行计算即可．
【解答】解：、，故原题计算错误；
、，故原题计算错误；
、，故原题计算错误；
、，故原题计算正确；
故选：．
【点评】此题主要考查了有理数的减法，关键是掌握有理数的减法法则．
9．化简的结果为
A．6B．C．D．
【考点】14：相反数
【专题】66：运算能力；511：实数
【分析】依据相反数的定义化简括号即可．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了相反数的定义．掌握相反数的定义是解题的关键．
10．如果为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是
A．2017B．2018C．2020D．2023
【答案】
【考点】16：非负数的性质：绝对值
【专题】511：实数；66：运算能力
【分析】直接利用绝对值的性质得出的最小值为0．进而得出答案．
【解答】解：为有理数，式子存在最大值，
时，的最大为2020，
故选：．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键．
二、填空题（共7小题）
11．（2019春•温江区校级月考）的相反数是 ．
【考点】15：绝对值；14：相反数
【专题】511：实数
【分析】根据绝对值和相反数的定义解答即可．
【解答】解：的相反数是，
故答案为：
【点评】此题考查绝对值和相反数，关键是根据绝对值和相反数的定义解答．
12．（2016秋•黔东南州期中）若，则 1 ．
【考点】16：非负数的性质：绝对值
【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，，
解得，，
所以．
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
13．的倒数为 ，相反数为 ，绝对值是 ．
【考点】14：相反数；17：倒数；15：绝对值
【专题】511：实数；66：运算能力
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】解：根据倒数、相反数和绝对值的定义得：
的倒数是，相反数是，绝对值是．
故答案为：，，．
【点评】本题考查了倒数，相反数，绝对值．解题的关键是掌握绝对值、相反数、倒数的定义，的相反数是，的倒数是，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，难度适中．
14．不大于4的正整数是 1，2，3，4 ．
【答案】1，2，3，4．
【考点】有理数大小比较
【专题】实数；运算能力
【分析】不大于4的正整数有1，2，3，4，进而解答即可．
【解答】解：不大于4的正整数有1，2，3，4．
故答案为：1，2，3，4．
【点评】此题考查有理数大小比较，关键是根据正整数的概念解答．
15．下列各数中，正数有 ①③④ ，负数有 ．
①；②；③；④；⑤0；⑥．
【答案】①③④；②⑥．
【考点】正数和负数
【专题】实数；符号意识
【分析】根据正数，负数的定义进行分类即可求解．
【解答】解：正数有①；③；④．
负数有：②；⑥．
故答案为：①③④；②⑥．
【点评】本题考查了有理数的分类．根据正数，负数的定义解答是解题关键．
16．若，则 8 ；
若，则 ；
若，则 ．
【考点】14：相反数
【专题】511：实数；62：符号意识
【分析】直接利用相反数的定义分别得出答案．
【解答】解：若，则；
若，则；
若，则．
故答案为：8；；10．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．
17．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2019厘米的线段，则线段盖住的整点的个数可以是 2019 ．
【考点】13：数轴
【专题】511：实数；69：应用意识
【分析】依据数轴直观得出答案．
【解答】解：如图，，当线段的一个端点在整数上时，共有个整数点，
当线段在数轴上平移时，因此线段盖住的整点的个数是，
故答案为：2019．
【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解整数点的意义是正确解答的关键．
三、解答题（共8小题）
18．（2018秋•杨浦区期中）定义：是不为1的数，我们把称为的差倒数，如的差倒数是，已知，是的差倒数，求的值．如果某个数的差倒数是4、，这个数分别是多少？
【考点】倒数
【专题】实数；运算能力
【分析】根据差倒数的定义，即可解答．
【解答】解：，
所以的值是．
，；
，，
所以某个数的差倒数是4、，这个数分别是，．
【点评】本题考查了倒数，解决本题的关键是读懂题意，明确什么是差倒数．
19．（2017秋•霸州市校级月考）如图所示，已知，，，四个点在一条没有标明原点的数轴上．
（1）若点和点表示的数互为相反数，则原点为 ；
（2）若点和点表示的数互为相反数，则原点为 ；
（3）若点和点表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点的位置．
【考点】13：数轴；14：相反数
【分析】（1）（2）根据相反数的定义可求原点；
（3）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点的位置即可．
【解答】解：（1）若点和点表示的数互为相反数，则原点为；
（2）若点和点表示的数互为相反数，则原点为；
（3）如图所示：
故答案为：；．
【点评】此题主要考查了相反数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，要求学生首先正确理解题意，才能利用数形结合的思想解题．
20．（2013秋•隆昌县校级期中）比较下列各对数的大小．
（1）与
（2）与
（3）与
（4）与．
【考点】18：有理数大小比较
【分析】据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，比较大小即可
【解答】解：（1）的绝对值是，的绝对值是，而，
；
（2），，
；
（3），，，
，；
（4），，
．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
21．（2012秋•兴化市校级期中）若，，且，求的值．
【考点】绝对值
【分析】先根据，且，即可确定，的值，从而可求的值．
【解答】解：因为，
由，可知，，即．
（1）当时，；
（2）当时，．
所以的值为1或5．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质，若，且，则，根据任何数的绝对值一定是非负数，正确确定，的大小关系，确定，的值，是解决本题的关键．
22．如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点、、、对应的数分别是数、、、，且，那么数轴的原点应是哪一点？
【考点】13：数轴
【分析】此题用排除法进行分析：分别设原点是点或或或．
【解答】解：若原点是，则，，此时，和已知不符，排除；
若原点是点，则，，此时，和已知相符，正确．
故数轴的原点应是点．
【点评】此题主要考查了数轴知识点，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．注意学会用排除法．
23．在中国地形图上，珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明它们高度的数（单位：米），这个数通常称为海拔高度，它是相对于海平面来说的．请说出8848和表示的实际意义．海平面的高度用什么数表示？
【考点】11：正数和负数
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：比海平面高出记为正，则比海平面低记为负，海平面记为0，直接得出结论即可．
【解答】解：8848表示的实际意义是珠穆朗玛峰高出海平面8848米；表示的实际意义是吐鲁番盆地低于海平面155米；海平面的高度用数0表示．
【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．在中国地形图上，比海平面高出记为正，则比海平面低记为负，海平面记为0．
24．如图，下列两个圈内分别表示某个集合，重叠部分是这两个集合所共有的，把有理数，2020，0，37，填入它属于的集合的圈内．
【答案】
【考点】有理数
【专题】实数；数感
【分析】分别根据整数、负数的定义得出即可．
【解答】解：
【点评】此题主要考查了有理数的有关定义，熟练掌握相关的定义是解题关键．
25．已知，求的值．
【考点】16：非负数的性质：绝对值
【专题】66：运算能力；511：实数
【分析】根据非负数的性质可求出、的值，再将它们代入中求解即可．
【解答】解：，
，，
，，
则．
【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
3．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
4．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
5．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
6．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
7．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
注意：0没有倒数．
8．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
9．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
10．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
11．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置