2022-2023学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之用树状图或表格求概率

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2022-2023学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之用树状图或表格求概率
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•盐湖区校级期末）现有4根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能够组成三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021春•法库县期末）下列事件发生的概率为0的是（　　）
A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上
B．今年冬天黑龙江会下雪
C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为18
D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域
3．（2021春•垦利区期末）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号1﹣5的小正方形中任意一个涂黑，则3个被涂黑的正方形组成的图案是一个轴对称图形的概率是（　　）

A．1 B． C． D．
4．（2020秋•龙华区期末）一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2020秋•沙坪坝区校级期末）不透明的盒子里有3个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标记数字1、2、3，从中随机抽出一个小球，放回后再随机抽出1个小球，把第1次抽出的小球上的数字作为两位数a的十位数字，第2次抽出的小球上的数字作为两位数a的个位数字，则两位数a是3的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•集贤县期末）学校组织团员同学参加实践活动，共安排2辆车，小王和小李随机上了一辆车，结果他们同车的概率是　 　．
7．（2021•海城市模拟）甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率是　 　．
8．（2021春•沙坪坝区校级期末）现有三张分别标有数字﹣2、﹣1、1的卡片，它们除了数不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a；放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则一次函数y＝ax+b的图象经过第一象限的概率为 　 　．
9．（2021春•浦东新区校级期末）在一个布袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个红球的概率是 　 　．
10．（2021春•渝中区校级期末）如图，用两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配出紫色，那么可配成紫色的概率是　 　．

三．解答题（共5小题）
11．（2021春•高港区期末）一个不透明的袋中装有2个白球，3个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀．
（1）①从中任意摸出1个球是黑球；②从中任意摸出1个球是白球；③从中任意摸出1个球是红球；④从中任意摸出3个球，其中有红球．
上述事件是随机事件的是 　 　，是确定事件的是 　 　（只填序号）．将它们的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 　 　．
（2）现往袋中放入黑、白两种球共4个，每个球与袋中的球除颜色外都相同，将球摇匀，此时从中任意摸出1个球，摸到三种颜色的球的概率都相等，则放入的黑球个数为 　 　，白球的个数为 　 　．
12．（2021春•新城区校级期末）一个不透明的口袋中放有14个白球，16个黑球，若干个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）某同学从袋子里每次随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子，然后再摸出一个球，记下颜色后放回袋子…，如此一共摸球20次，其中摸出红球的次数为4次，求这次摸球活动中红球出现的频率；
（2）若袋子中白球的数量比红球的数量的2倍还多2个，求从袋中任取一个球是黑球的概率．
13．（2020秋•雁塔区校级期末）防疫期间，全市所有学校都严格落实测温进校的防控要求．我校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，小颖和小明将随机通过测温通道进入校园．
（1）小颖通过A通道进入校园的概率是 　 　；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小颖和小明通过同一通道进入校园的概率．
14．（2021春•漳州期末）一个袋中装有4个红球，6个白球，8个黑球，每个球除颜色外其余完全相同．
（1）求从袋中随机摸出一个球是白球的概率；
（2）从袋中摸出6个白球和a（a＞2）个红球，再从剩下的球中摸出一个球．
①若事件“再摸出的球是红球”为不可能事件，求a的值；
②若事件“再摸出的球是黑球”为随机事件，求这个事件的概率．
15．（2021春•崇川区期末）某单位组织员工进行新冠疫苗接种，现有A，B，C三辆车去医院，它们出发的先后顺序随机，财务科的王会计要早点出发，她只坐第一个出发的那辆车，张会计手上还有一些事务需要处理，她要坐第三个出发的那辆车．
请你运用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）这两人中，谁乘坐到A车的可能性大？请说明理由．

2022-2023学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之用树状图或表格求概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•盐湖区校级期末）现有4根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能够组成三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角形三边关系；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】列举出从4根木棒中任取三根木棒，所有可能出现的结果情况，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：从中任取三根木棒所有可能的情况为（4、6、8），（4、6、10），（6、8、10），（4、8、10）4种情况，
其中（4、6、8），（6、8、10），（4、8、10）这3种能构成三角形，
所以能够构成三角形的概率是，
故选：C．
【点评】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
2．（2021春•法库县期末）下列事件发生的概率为0的是（　　）
A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上
B．今年冬天黑龙江会下雪
C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为18
D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域
【考点】随机事件；概率的意义；概率公式；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1；必然事件概率为1；不可能事件概率为0．
【解答】解：A、是随机事件，概率大于0并且小于1，不符合题意；
B、是随机事件，概率大于0并且小于1；是必然事件，概率＝1，不符合题意；
C、是不可能事件，概率＝0，符合题意；
D、是随机事件，概率大于0并且小于1，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1．事件发生的可能性越大，概率越接近于1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
3．（2021春•垦利区期末）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号1﹣5的小正方形中任意一个涂黑，则3个被涂黑的正方形组成的图案是一个轴对称图形的概率是（　　）

A．1 B． C． D．
【考点】轴对称图形；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：1处，2处，4处，5处，选择的位置共有4处，
其概率为．
故选：B．
【点评】考查了概率公式的知识，解题的关键是了解轴对称的定义及概率的求法，难度不大．
4．（2020秋•龙华区期末）一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【分析】根据题意画出树状图，由概率公式即可得两次都摸到红球的概率．
【解答】解：画出树状图：

根据树状图可知：所有等可能的结果共有6种，其中两次都摸到红球的有2种，
∴两次都摸到红球的概率是＝；
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，解决本题的关键是画出树状图．
5．（2020秋•沙坪坝区校级期末）不透明的盒子里有3个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标记数字1、2、3，从中随机抽出一个小球，放回后再随机抽出1个小球，把第1次抽出的小球上的数字作为两位数a的十位数字，第2次抽出的小球上的数字作为两位数a的个位数字，则两位数a是3的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据题意画出树状图，利用概率公式求解．
【解答】解：画树状图得：

共有9种等可能的情况，其中能被3整除的有12，21，33共3种情况，
所以两位数a是3的倍数的概率为＝，
故选：A．
【点评】考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是能够将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•集贤县期末）学校组织团员同学参加实践活动，共安排2辆车，小王和小李随机上了一辆车，结果他们同车的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】2辆车分别用A、B表示，则利用树状图可展示所有4种等可能的结果数，再找出他们同车的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：2辆车分别用A、B表示，
画树状图：

共有4种等可能的结果数，其中他们同车的结果数为2，
所以他们同车的概率＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
7．（2021•海城市模拟）甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两个球都是红的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，取出的两个球都是红的有1种情况，
∴取出的两个球都是红的概率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（2021春•沙坪坝区校级期末）现有三张分别标有数字﹣2、﹣1、1的卡片，它们除了数不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a；放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则一次函数y＝ax+b的图象经过第一象限的概率为 　　．
【考点】一次函数的性质；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下

﹣2
﹣1
1
﹣2
（﹣2，﹣2）
（﹣1，﹣2）
（1，﹣2）
﹣1
（﹣2，﹣1）
（﹣1，﹣1）
（1，﹣1）
1
（﹣2，1）
（﹣1，1）
（1，1）
由表知，共有9种等可能结果，其中一次函数y＝ax+b的图象经过第一象限的有5种结果，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一象限的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了一次函数的性质．
9．（2021春•浦东新区校级期末）在一个布袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个红球的概率是 　　．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，摸到的两个红球的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有12个等可能的结果，摸到的两个红球的有2种结果，
∴摸到的两个红球的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
10．（2021春•渝中区校级期末）如图，用两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配出紫色，那么可配成紫色的概率是　　．

【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，从中找出能配成紫色的情况，即可求出配紫的概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有2种，
所以，能配成紫色的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•高港区期末）一个不透明的袋中装有2个白球，3个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀．
（1）①从中任意摸出1个球是黑球；②从中任意摸出1个球是白球；③从中任意摸出1个球是红球；④从中任意摸出3个球，其中有红球．
上述事件是随机事件的是 　②③　，是确定事件的是 　①④　（只填序号）．将它们的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 　①②③④　．
（2）现往袋中放入黑、白两种球共4个，每个球与袋中的球除颜色外都相同，将球摇匀，此时从中任意摸出1个球，摸到三种颜色的球的概率都相等，则放入的黑球个数为 　3　，白球的个数为 　1　．
【考点】随机事件；列表法与树状图法．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【分析】（1）根据题意，可以写出各个小题中的概率和相应的事件，从而可以解答本题；
（2）根据摸到三种颜色的球的概率都相等，可知三种颜色的球的数量相等，从而可以得到放入的黑球个数和白球个数．
【解答】解：（1）①从中任意摸出1个球是黑球的概率为0，是不可能事件，是确定事件；
②从中任意摸出1个球是白球的概率是，是随机事件；
③从中任意摸出1个球是红球的概率是，是随机事件；
④从中任意摸出3个球，其中有红球概率是1，是必然事件，是确定事件；
故答案为：②③，①④，①②③④；
（2）∵一个不透明的袋中装有2个白球，3个红球，又往袋中放入黑、白两种球共4个，从中任意摸出1个球，摸到三种颜色的球的概率都相等，
∴三种颜色的球的数量相等，
∴放入的黑球个数为3，白球个数为1，
故答案为：3，1．
【点评】本题考查概率、随机事件与必然事件、等可能事件，解答本题的关键是求出相应的概率，写出相应的事件．
12．（2021春•新城区校级期末）一个不透明的口袋中放有14个白球，16个黑球，若干个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）某同学从袋子里每次随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子，然后再摸出一个球，记下颜色后放回袋子…，如此一共摸球20次，其中摸出红球的次数为4次，求这次摸球活动中红球出现的频率；
（2）若袋子中白球的数量比红球的数量的2倍还多2个，求从袋中任取一个球是黑球的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】一次方程（组）及应用；概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【分析】（1）用摸到红球的次数除以摸球的总次数即可；
（2）设口袋中红球的个数为x，根据“白球的数量比红球的数量的2倍还多2个”建立方程求出x的值，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次摸球活动中红球出现的频率为4÷20＝0.2；
（2）设口袋中红球的个数为x，
根据题意，得：2x+2＝14，
解得x＝6，
∴袋中红球的个数为6，
∴从袋中任取一个球是黑球的概率为＝．
【点评】本题考查的是概率公式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（2020秋•雁塔区校级期末）防疫期间，全市所有学校都严格落实测温进校的防控要求．我校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，小颖和小明将随机通过测温通道进入校园．
（1）小颖通过A通道进入校园的概率是 　　；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小颖和小明通过同一通道进入校园的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小颖从A测温通道通过的概率为，
故答案为：；
（2）列表格如下：

A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
由表可知，共有9种等可能的结果，其中小颖和小明从同一个测温通道通过的有3种可能，
所以小颖和小明从同一个测温通道通过的概率为＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（2021春•漳州期末）一个袋中装有4个红球，6个白球，8个黑球，每个球除颜色外其余完全相同．
（1）求从袋中随机摸出一个球是白球的概率；
（2）从袋中摸出6个白球和a（a＞2）个红球，再从剩下的球中摸出一个球．
①若事件“再摸出的球是红球”为不可能事件，求a的值；
②若事件“再摸出的球是黑球”为随机事件，求这个事件的概率．
【考点】随机事件；概率公式；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；模型思想；应用意识．
【分析】（1）袋中共装18个球，其中白球有6个，占总数的，即可求出摸出白球的概率；
（2）①袋子中如果没有红球，即“再摸出的球是红球”为不可能事件，此时a＝4；
②根据题意可知，若事件“再摸出的球是黑球”为随机事件，此时袋中有1个红球，8个黑球，求出摸出黑球的概率即可．
【解答】解：（1）袋中共有4+6+8＝18个球，其中白球有6个，
所以从袋中随机摸出一个球是白球的概率为＝；
（2）①袋中如果没有红球，即“再摸出的球是红球”为不可能事件，此时a＝4；
②根据题意可知，
若事件“再摸出的球是黑球”为随机事件，
此时袋中有1个红球，8个黑球，
所以摸出黑球的概率为＝．
【点评】本题考查简单随机事件的概率，理解概率的意义，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
15．（2021春•崇川区期末）某单位组织员工进行新冠疫苗接种，现有A，B，C三辆车去医院，它们出发的先后顺序随机，财务科的王会计要早点出发，她只坐第一个出发的那辆车，张会计手上还有一些事务需要处理，她要坐第三个出发的那辆车．
请你运用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）这两人中，谁乘坐到A车的可能性大？请说明理由．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；模型思想．
【分析】（1）利用树状图表示所有可能出现的结果情况即可；
（2）分别求出王会计、张会计乘坐A车的概率，进而得出结论．
【解答】解：（1）用树状图表示所有可能出现的结果如下：

（2）王会计、张会计乘坐A车的可能性是相等的，
理由：王会计乘坐A车的可能性为：，
张会计乘坐A车的可能性为：＝，
因此王会计、张会计乘坐A车的可能性是相等的．
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是求相应概率的关键．

考点卡片
1．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
2．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
3．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
4．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
5．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
6．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
7．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举