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2022-2023学年上学期上海市初中数学八年级期末典型试卷1
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这是一份2022-2023学年上学期上海市初中数学八年级期末典型试卷1，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上学期上海市初中数学八年级期末典型试卷1
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
1．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下列各根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣2）2＝2（x﹣2） D．x2+2y＝3
3．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（ ）
A．人的身高与年龄
B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C．正方形的面积与它的边长
D．圆的周长与它的半径
4．（3分）（2020秋•奉贤区期末）已知正比例函数y＝kx和反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象是 （ ）
A．（1）或（3） B．（1）或（4） C．（2）或（3） D．（3）或（4）．
5．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．对顶角相等
C．在一个三角形中，相等的角所对的边也相等
D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
6．（3分）（2021春•澄城县期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B
C．b2＝a2﹣c2 D．a：b：c＝5：12：13
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7．（2分）（2021•瑶海区三模）计算：×＝ ．
8．（2分）（2011•上海）函数的定义域是 ．
9．（2分）（2020秋•奉贤区期末）在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣2＝ ．
10．（2分）（2020秋•奉贤区期末）已知f（x）＝，f（a）＝5，那么a＝ ．
11．（2分）（2021•东营模拟）已知关于x的方程x2﹣4x﹣2k＝0有两个实数根，那么k的取值范围是 ．
12．（2分）（2020秋•奉贤区期末）在直角坐标平面内的两点A（1，6）、B（﹣3，9），那么A、B两点的距离等于 ．
13．（2分）（2020秋•奉贤区期末）正比例函数经过点A（﹣2，y1）、B（5，y2），如果y1＞y2，那么y随x的减小而 ．
14．（2分）（2020秋•奉贤区期末）到点A的距离等于8厘米的点的轨迹是 ．
15．（2分）（2014•江阴市校级二模）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是 ．
16．（2分）（2020秋•奉贤区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D和E，那么∠DBC＝ 度．
17．（2分）（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠B＝52°，那么∠ACD＝ ．
18．（2分）（2021•深圳模拟）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是 ．
三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）
19．（6分）（2020秋•奉贤区期末）计算：+﹣．
20．（6分）（2020秋•奉贤区期末）解方程：x2+1＝4x．
21．（6分）（2020秋•奉贤区期末）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手都完成了比赛，两人的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．
（1）环城越野赛的全程是 千米；
（2）乙选手的行程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式是 ．
（3）乙追上甲时离终点还有 千米．
22．（6分）（2020秋•奉贤区期末）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，在OA上取一点C，连接PC，使PC＝OC，BP＝PC．
（1）求证：PC∥OB；
（2）求∠CPO的度数．
四、解答题（本大题共4小题，8分+8分+8分+10分，满分34分）
23．（8分）（2021•郫都区模拟）某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是50元，若每箱销售80元，每星期可卖200箱．为了促销，该水果店决定降价促销．市场调查反映：若售价每降低1元，每星期可多卖出10箱．设该苹果每箱售价x元（50≤x≤80），每星期的销售量为y箱．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每箱为多少元时，每星期的销售利润达到6000元？
24．（8分）（2020秋•奉贤区期末）已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，△ABC的面积为9．点P为边AB上动点，过点B作BD∥AC，交CP的延长线于点D．∠ACP的平分线交AB于点E．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求PA的长；
（2）如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系．
25．（8分）（2020秋•奉贤区期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（2，m），过点A作x轴的垂线交x轴于点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点C在y＝x的图象上，且△CAB的面积为△OAB面积的2倍，求点C的坐标．
26．（10分）（2020秋•奉贤区期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．
（1）如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；
（2）如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；
（3）假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．
2022-2023学年上学期上海市初中数学八年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
1．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下列各根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；应用意识．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、＝2，故不是最简二次根式，不合题意；
B、＝，故不是最简二次根式，不合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、＝|a|，故不是最简二次根式，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
2．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣2）2＝2（x﹣2） D．x2+2y＝3
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；模型思想．
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、当a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（ ）
A．人的身高与年龄
B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C．正方形的面积与它的边长
D．圆的周长与它的半径
【考点】正比例函数的定义．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：A、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意；
B、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意；
C、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意；
D、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
4．（3分）（2020秋•奉贤区期末）已知正比例函数y＝kx和反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象是 （ ）
A．（1）或（3） B．（1）或（4） C．（2）或（3） D．（3）或（4）．
【考点】正比例函数的图象；反比例函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用．
【分析】根据反比例函数及正比例函数的图象的性质并结合其系数解答即可．
【解答】解：（1）、函数y＝kx中，k＜0，函数y＝﹣中，k＜0；正确；
（2）、函数y＝kx中，k＜0，函数y＝﹣，k＞0；错误；
（3）、函数y＝kx中，k＞0，函数y＝﹣中，k＜0；错误；
（4）、函数y＝kx中，k＞0，函数y＝﹣中，k＞0；正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
5．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．对顶角相等
C．在一个三角形中，相等的角所对的边也相等
D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而利用举反例判断命题正确性即可．
【解答】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等的逆命题是相等的两个角是对顶角，逆命题是假命题，符合题意；
C、在一个三角形中，相等的角所对的边也相等的逆命题是在一个三角形中，相等的边所对的角也相等，逆命题是真命题，不符合题意；
D、到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题是角的平分线上的点到角的两边距离相等，逆命题是真命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
6．（3分）（2021春•澄城县期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B
C．b2＝a2﹣c2 D．a：b：c＝5：12：13
【考点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°×＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、因为∠C＝∠A﹣∠B，即∠A＝∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以2∠A＝180°，解得∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
C、因为b2＝a2﹣c2，所以a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；
D、因为a：b：c＝5：12：13，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC是直角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7．（2分）（2021•瑶海区三模）计算：×＝ 2 ．
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】计算题．
【分析】根据二次根式的乘法可以解答本题．
【解答】解：＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是明确二次根式乘除法的计算方法．
8．（2分）（2011•上海）函数的定义域是 x≤3 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】计算题．
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即3﹣x≥0，解不等式即可．
【解答】解：依题意，得3﹣x≥0，
解得x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查了函数的自变量取值范围的求法．关键是根据二次根式有意义时，被开方数为非负数建立不等式．
9．（2分）（2020秋•奉贤区期末）在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣2＝ ．
【考点】实数范围内分解因式．
【分析】首先令x2﹣3x﹣2＝0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解．
【解答】解：令x2﹣3x﹣2＝0，
则a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴x＝＝，
∴x2﹣3x﹣2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解．注意掌握公式法解一元二次方程的知识．
10．（2分）（2020秋•奉贤区期末）已知f（x）＝，f（a）＝5，那么a＝ ．
【考点】函数值．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【分析】根据函数值的计算方法得出含有a的方程，解方程即可．
【解答】解：因为f（x）＝，
所以f（a）＝＝5，
解得a＝，
经检验a＝是方程的解，
故答案为：．
【点评】本题考查函数值及其计算方法，理解函数值的意义是解决问题的关键．
11．（2分）（2021•东营模拟）已知关于x的方程x2﹣4x﹣2k＝0有两个实数根，那么k的取值范围是 k≥﹣2 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x﹣2k＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：16+8k≥0，
解得：k≥﹣2，
∴k的取值范围为k≥﹣2．
故答案为：k≥﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
12．（2分）（2020秋•奉贤区期末）在直角坐标平面内的两点A（1，6）、B（﹣3，9），那么A、B两点的距离等于 5 ．
【考点】两点间的距离公式；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】根据两点间的距离公式计算即可．
【解答】解：A、B两点的距离＝＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是勾股定理，坐标与图形性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
13．（2分）（2020秋•奉贤区期末）正比例函数经过点A（﹣2，y1）、B（5，y2），如果y1＞y2，那么y随x的减小而 增大 ．
【考点】正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】先把各点代入正比例函数的解析式，得出y1，y2的表达式，再由y1＞y2，列出关于k的不等式，求出k的的符号即可．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），
∵正比例函数经过点A（﹣2，y1）、B（5，y2），
∴y1＝﹣2k，y2＝5k，
∵y1＞y2，
∴﹣2k＞5k，
解得k＜0，
∴y随x的减小而增大，
故答案为增大．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14．（2分）（2020秋•奉贤区期末）到点A的距离等于8厘米的点的轨迹是 以点A为圆心，8厘米长为半径的圆 ．
【考点】轨迹．
【专题】动点型；应用意识．
【分析】根据圆的定义解答．
【解答】解：到点A的距离等于8厘米的点的轨迹是：以点A为圆心，2厘米长为半径的圆．
故答案为：以点A为圆心，8厘米长为半径的圆．
【点评】本题考查了轨迹，主要是对圆的轨迹定义的考查，比较简单．
15．（2分）（2014•江阴市校级二模）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是 13 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】常规题型．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC＝2MF＝2EM，所以MF＝EM，然后列式整理得到△EFM的周长＝BC+EF，代入数据进行计算即可．
【解答】解：∵在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，
∴BC＝2MF，BC＝2EM，
∴MF＝EM，
△EFM的周长＝MF+EM+EF＝BC+EF，
∴EF＝5，BC＝8，
∴△EFM的周长＝8+5＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
16．（2分）（2020秋•奉贤区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D和E，那么∠DBC＝ 15 度．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠ABD＝∠A＝50°，结合图形计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．（2分）（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠B＝52°，那么∠ACD＝ 52° ．
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得出∠B+∠A＝90°，∠A+∠ACD＝90°，求出∠ACD＝∠B，再求出答案即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠B＝52°，
∴∠ACD＝52°，
故答案为：52°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，注意：直角三角形的两锐角互余．
18．（2分）（2021•深圳模拟）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是 30 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【分析】根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+42＝25，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+12＝5，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝30，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）
19．（6分）（2020秋•奉贤区期末）计算：+﹣．
【考点】分母有理化；二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先分母有理化，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣（2+）+5﹣
＝﹣2﹣+5﹣
＝﹣2﹣+5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（6分）（2020秋•奉贤区期末）解方程：x2+1＝4x．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x2﹣4x+1＝0，
这里a＝1，b＝﹣4，c＝1，
∵b2﹣4ac＝16﹣4＝12＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
21．（6分）（2020秋•奉贤区期末）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手都完成了比赛，两人的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．
（1）环城越野赛的全程是 20 千米；
（2）乙选手的行程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式是 y＝10x ．
（3）乙追上甲时离终点还有 10 千米．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）根据乙的函数图象，可以求得环城越野赛的全程；
（2）根据函数图象中的数据，可以求得乙选手的行程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式；
（3）根据函数图象中的数据，可以写出乙追上甲时离终点的距离．
【解答】解：（1）由图象可得，
环城越野赛的全程是（10÷1）×2＝10×2＝20（千米），
故答案为：20；
（2）设乙选手的行程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式是y＝kx，
∵函数y＝kx过点（1，10），
∴k＝10×1＝10，
即乙选手的行程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式是y＝10x，
故答案为：y＝10x；
（3）由图象可得，
乙追上甲时离终点还有20﹣10＝10（千米），
故答案为：10．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（6分）（2020秋•奉贤区期末）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，在OA上取一点C，连接PC，使PC＝OC，BP＝PC．
（1）求证：PC∥OB；
（2）求∠CPO的度数．
【考点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠AOP＝∠CPO，根据角平分线的定义得出∠AOP＝∠BOP，求出∠BOP＝∠CPO即可；
（2）根据角平分线的性质得出AP＝BP，求出AP＝PC，求出∠ACP＝30°，根据平行线的性质得出∠AOB＝∠ACP＝30°，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵PC＝OC，
∴∠AOP＝∠CPO，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，
∴∠BOP＝∠CPO，
∴PC∥OB；
（2）解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴AP＝BP，
∵BP＝PC，
∴AP＝PC，
∵PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠ACP＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠AOB＝∠ACP＝30°，
∵∠AOP＝∠BOP＝∠CPO，
∴∠CPO＝30°＝15°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，角平分线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
四、解答题（本大题共4小题，8分+8分+8分+10分，满分34分）
23．（8分）（2021•郫都区模拟）某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是50元，若每箱销售80元，每星期可卖200箱．为了促销，该水果店决定降价促销．市场调查反映：若售价每降低1元，每星期可多卖出10箱．设该苹果每箱售价x元（50≤x≤80），每星期的销售量为y箱．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每箱为多少元时，每星期的销售利润达到6000元？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【专题】销售问题；应用意识．
【分析】（1）根据每星期的销售量＝200+10×降低的价格，即可找出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每星期的利润＝每箱的利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：y＝200+10（80﹣x）＝1000﹣10x（50≤x≤80），即y＝1000﹣10x（50≤x≤80）；
（2）依题意得：（x﹣50）（1000﹣10x）＝6000，
整理得：x2﹣150x+5600＝0，
解得：x1＝70，x2＝80．
答：当每箱售价为70或80元时，每星期的销售利润达到6000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（8分）（2020秋•奉贤区期末）已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，△ABC的面积为9．点P为边AB上动点，过点B作BD∥AC，交CP的延长线于点D．∠ACP的平分线交AB于点E．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求PA的长；
（2）如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【分析】（1）根据三角形的面积公式得出CP，进而利用勾股定理得出PA即可；
（2）延长BD，过A作AO∥BC，利用平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，△ABC的面积为9，AB＝6，
∴，
∴CP＝3，
由勾股定理得：PA＝；
（2）延长BD，过A作AO∥BC，
∵BD∥AC，AO∥BC，
∴四边形AOBC是平行四边形，
∵E是AB的中点，
∴延长CE肯定可以过点O点，
∴∠OCD＝∠ACO＝∠COD，
∴CD＝DO，
∵DO+DB＝AC，
∴AC＝CD+DB．
【点评】考查了全等三角形的判定和性质和平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质进行解答，属于中考常考题型．
25．（8分）（2020秋•奉贤区期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（2，m），过点A作x轴的垂线交x轴于点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点C在y＝x的图象上，且△CAB的面积为△OAB面积的2倍，求点C的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）把A的坐标为（2，m）代入y＝x，求得m，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据题意得到C的横坐标，代入y＝x求得纵坐标，即可得到C的坐标．
【解答】解：（1）∵点A在函数y＝x的图象上，点A的坐标为（2，m），
∴m＝1，
∴点A坐标为（2，1）．
∵点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴1＝，解得k＝2．
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由题意可知点C到AB的距离＝2OB，
∵点A坐标为（2，1）．
∴C的横坐标为6或﹣2，
把x＝6代入y＝x得y＝3；把x＝﹣2代入y＝x得y＝﹣1，
∴C的坐标为（6，3）或（﹣2，﹣1）．
【点评】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（10分）（2020秋•奉贤区期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．
（1）如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；
（2）如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；
（3）假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）解直角三角形得到AC＝2，∠A＝60°，根据等边三角形的性质得到∠DCE＝60°，求得∠ACD＝30°，得到CD＝AC＝3，于是得到结论；
（2）根据线段的和差得到CF+BE＝BC﹣EF＝6﹣3＝3，根据等边三角形的性质得到∠DEF＝60°，求得EG＝BE，根据等式的性质得到CF＝DG；
（3）根据y＝S△DFE﹣S△DHG，求解即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，
∴AC＝2，∠A＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∴CD＝AC＝3，
∴△DEF的周长＝9；
（2）解：结论：CF＝DG．
理由：∵BC＝6，EF＝DF＝DE＝3，
∴CF+BE＝BC﹣EF＝6﹣3＝3，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，
∵∠DEF＝∠B+∠EGB，
∴∠B＝∠EGB＝∠DGE＝30°，
∴EG＝BE，
∵EG+DG＝CF+BE＝3，
∴CF＝DG；
（3）∵S△DEF＝×32＝，
S△DGH＝•GH•DH＝•x•x＝x2，
y＝S△DFE﹣S△DHG＝﹣x2（0≤x≤3）．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2022-2023学年上学期上海市初中数学八年级期末典型试卷1
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
1．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下列各根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣2）2＝2（x﹣2） D．x2+2y＝3
3．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（ ）
A．人的身高与年龄
B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C．正方形的面积与它的边长
D．圆的周长与它的半径
4．（3分）（2020秋•奉贤区期末）已知正比例函数y＝kx和反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象是 （ ）
A．（1）或（3） B．（1）或（4） C．（2）或（3） D．（3）或（4）．
5．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．对顶角相等
C．在一个三角形中，相等的角所对的边也相等
D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
6．（3分）（2021春•澄城县期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B
C．b2＝a2﹣c2 D．a：b：c＝5：12：13
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7．（2分）（2021•瑶海区三模）计算：×＝ ．
8．（2分）（2011•上海）函数的定义域是 ．
9．（2分）（2020秋•奉贤区期末）在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣2＝ ．
10．（2分）（2020秋•奉贤区期末）已知f（x）＝，f（a）＝5，那么a＝ ．
11．（2分）（2021•东营模拟）已知关于x的方程x2﹣4x﹣2k＝0有两个实数根，那么k的取值范围是 ．
12．（2分）（2020秋•奉贤区期末）在直角坐标平面内的两点A（1，6）、B（﹣3，9），那么A、B两点的距离等于 ．
13．（2分）（2020秋•奉贤区期末）正比例函数经过点A（﹣2，y1）、B（5，y2），如果y1＞y2，那么y随x的减小而 ．
14．（2分）（2020秋•奉贤区期末）到点A的距离等于8厘米的点的轨迹是 ．
15．（2分）（2014•江阴市校级二模）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是 ．
16．（2分）（2020秋•奉贤区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D和E，那么∠DBC＝ 度．
17．（2分）（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠B＝52°，那么∠ACD＝ ．
18．（2分）（2021•深圳模拟）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是 ．
三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）
19．（6分）（2020秋•奉贤区期末）计算：+﹣．
20．（6分）（2020秋•奉贤区期末）解方程：x2+1＝4x．
21．（6分）（2020秋•奉贤区期末）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手都完成了比赛，两人的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．
（1）环城越野赛的全程是 千米；
（2）乙选手的行程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式是 ．
（3）乙追上甲时离终点还有 千米．
22．（6分）（2020秋•奉贤区期末）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，在OA上取一点C，连接PC，使PC＝OC，BP＝PC．
（1）求证：PC∥OB；
（2）求∠CPO的度数．
四、解答题（本大题共4小题，8分+8分+8分+10分，满分34分）
23．（8分）（2021•郫都区模拟）某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是50元，若每箱销售80元，每星期可卖200箱．为了促销，该水果店决定降价促销．市场调查反映：若售价每降低1元，每星期可多卖出10箱．设该苹果每箱售价x元（50≤x≤80），每星期的销售量为y箱．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每箱为多少元时，每星期的销售利润达到6000元？
24．（8分）（2020秋•奉贤区期末）已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，△ABC的面积为9．点P为边AB上动点，过点B作BD∥AC，交CP的延长线于点D．∠ACP的平分线交AB于点E．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求PA的长；
（2）如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系．
25．（8分）（2020秋•奉贤区期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（2，m），过点A作x轴的垂线交x轴于点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点C在y＝x的图象上，且△CAB的面积为△OAB面积的2倍，求点C的坐标．
26．（10分）（2020秋•奉贤区期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．
（1）如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；
（2）如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；
（3）假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．
2022-2023学年上学期上海市初中数学八年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
1．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下列各根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；应用意识．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、＝2，故不是最简二次根式，不合题意；
B、＝，故不是最简二次根式，不合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、＝|a|，故不是最简二次根式，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
2．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣2）2＝2（x﹣2） D．x2+2y＝3
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；模型思想．
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、当a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（ ）
A．人的身高与年龄
B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C．正方形的面积与它的边长
D．圆的周长与它的半径
【考点】正比例函数的定义．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：A、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意；
B、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意；
C、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意；
D、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
4．（3分）（2020秋•奉贤区期末）已知正比例函数y＝kx和反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象是 （ ）
A．（1）或（3） B．（1）或（4） C．（2）或（3） D．（3）或（4）．
【考点】正比例函数的图象；反比例函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用．
【分析】根据反比例函数及正比例函数的图象的性质并结合其系数解答即可．
【解答】解：（1）、函数y＝kx中，k＜0，函数y＝﹣中，k＜0；正确；
（2）、函数y＝kx中，k＜0，函数y＝﹣，k＞0；错误；
（3）、函数y＝kx中，k＞0，函数y＝﹣中，k＜0；错误；
（4）、函数y＝kx中，k＞0，函数y＝﹣中，k＞0；正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
5．（3分）（2020秋•奉贤区期末）下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．对顶角相等
C．在一个三角形中，相等的角所对的边也相等
D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而利用举反例判断命题正确性即可．
【解答】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等的逆命题是相等的两个角是对顶角，逆命题是假命题，符合题意；
C、在一个三角形中，相等的角所对的边也相等的逆命题是在一个三角形中，相等的边所对的角也相等，逆命题是真命题，不符合题意；
D、到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题是角的平分线上的点到角的两边距离相等，逆命题是真命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
6．（3分）（2021春•澄城县期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B
C．b2＝a2﹣c2 D．a：b：c＝5：12：13
【考点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°×＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、因为∠C＝∠A﹣∠B，即∠A＝∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以2∠A＝180°，解得∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
C、因为b2＝a2﹣c2，所以a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；
D、因为a：b：c＝5：12：13，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC是直角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7．（2分）（2021•瑶海区三模）计算：×＝ 2 ．
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】计算题．
【分析】根据二次根式的乘法可以解答本题．
【解答】解：＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是明确二次根式乘除法的计算方法．
8．（2分）（2011•上海）函数的定义域是 x≤3 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】计算题．
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即3﹣x≥0，解不等式即可．
【解答】解：依题意，得3﹣x≥0，
解得x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查了函数的自变量取值范围的求法．关键是根据二次根式有意义时，被开方数为非负数建立不等式．
9．（2分）（2020秋•奉贤区期末）在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣2＝ ．
【考点】实数范围内分解因式．
【分析】首先令x2﹣3x﹣2＝0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解．
【解答】解：令x2﹣3x﹣2＝0，
则a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴x＝＝，
∴x2﹣3x﹣2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解．注意掌握公式法解一元二次方程的知识．
10．（2分）（2020秋•奉贤区期末）已知f（x）＝，f（a）＝5，那么a＝ ．
【考点】函数值．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【分析】根据函数值的计算方法得出含有a的方程，解方程即可．
【解答】解：因为f（x）＝，
所以f（a）＝＝5，
解得a＝，
经检验a＝是方程的解，
故答案为：．
【点评】本题考查函数值及其计算方法，理解函数值的意义是解决问题的关键．
11．（2分）（2021•东营模拟）已知关于x的方程x2﹣4x﹣2k＝0有两个实数根，那么k的取值范围是 k≥﹣2 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x﹣2k＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：16+8k≥0，
解得：k≥﹣2，
∴k的取值范围为k≥﹣2．
故答案为：k≥﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
12．（2分）（2020秋•奉贤区期末）在直角坐标平面内的两点A（1，6）、B（﹣3，9），那么A、B两点的距离等于 5 ．
【考点】两点间的距离公式；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】根据两点间的距离公式计算即可．
【解答】解：A、B两点的距离＝＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是勾股定理，坐标与图形性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
13．（2分）（2020秋•奉贤区期末）正比例函数经过点A（﹣2，y1）、B（5，y2），如果y1＞y2，那么y随x的减小而 增大 ．
【考点】正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】先把各点代入正比例函数的解析式，得出y1，y2的表达式，再由y1＞y2，列出关于k的不等式，求出k的的符号即可．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），
∵正比例函数经过点A（﹣2，y1）、B（5，y2），
∴y1＝﹣2k，y2＝5k，
∵y1＞y2，
∴﹣2k＞5k，
解得k＜0，
∴y随x的减小而增大，
故答案为增大．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14．（2分）（2020秋•奉贤区期末）到点A的距离等于8厘米的点的轨迹是 以点A为圆心，8厘米长为半径的圆 ．
【考点】轨迹．
【专题】动点型；应用意识．
【分析】根据圆的定义解答．
【解答】解：到点A的距离等于8厘米的点的轨迹是：以点A为圆心，2厘米长为半径的圆．
故答案为：以点A为圆心，8厘米长为半径的圆．
【点评】本题考查了轨迹，主要是对圆的轨迹定义的考查，比较简单．
15．（2分）（2014•江阴市校级二模）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是 13 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】常规题型．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC＝2MF＝2EM，所以MF＝EM，然后列式整理得到△EFM的周长＝BC+EF，代入数据进行计算即可．
【解答】解：∵在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，
∴BC＝2MF，BC＝2EM，
∴MF＝EM，
△EFM的周长＝MF+EM+EF＝BC+EF，
∴EF＝5，BC＝8，
∴△EFM的周长＝8+5＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
16．（2分）（2020秋•奉贤区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D和E，那么∠DBC＝ 15 度．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠ABD＝∠A＝50°，结合图形计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．（2分）（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠B＝52°，那么∠ACD＝ 52° ．
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得出∠B+∠A＝90°，∠A+∠ACD＝90°，求出∠ACD＝∠B，再求出答案即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠B＝52°，
∴∠ACD＝52°，
故答案为：52°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，注意：直角三角形的两锐角互余．
18．（2分）（2021•深圳模拟）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是 30 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【分析】根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+42＝25，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+12＝5，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝30，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）
19．（6分）（2020秋•奉贤区期末）计算：+﹣．
【考点】分母有理化；二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先分母有理化，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣（2+）+5﹣
＝﹣2﹣+5﹣
＝﹣2﹣+5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（6分）（2020秋•奉贤区期末）解方程：x2+1＝4x．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x2﹣4x+1＝0，
这里a＝1，b＝﹣4，c＝1，
∵b2﹣4ac＝16﹣4＝12＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
21．（6分）（2020秋•奉贤区期末）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手都完成了比赛，两人的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．
（1）环城越野赛的全程是 20 千米；
（2）乙选手的行程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式是 y＝10x ．
（3）乙追上甲时离终点还有 10 千米．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）根据乙的函数图象，可以求得环城越野赛的全程；
（2）根据函数图象中的数据，可以求得乙选手的行程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式；
（3）根据函数图象中的数据，可以写出乙追上甲时离终点的距离．
【解答】解：（1）由图象可得，
环城越野赛的全程是（10÷1）×2＝10×2＝20（千米），
故答案为：20；
（2）设乙选手的行程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式是y＝kx，
∵函数y＝kx过点（1，10），
∴k＝10×1＝10，
即乙选手的行程y（千米）关于时间x（时）的函数解析式是y＝10x，
故答案为：y＝10x；
（3）由图象可得，
乙追上甲时离终点还有20﹣10＝10（千米），
故答案为：10．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（6分）（2020秋•奉贤区期末）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，在OA上取一点C，连接PC，使PC＝OC，BP＝PC．
（1）求证：PC∥OB；
（2）求∠CPO的度数．
【考点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠AOP＝∠CPO，根据角平分线的定义得出∠AOP＝∠BOP，求出∠BOP＝∠CPO即可；
（2）根据角平分线的性质得出AP＝BP，求出AP＝PC，求出∠ACP＝30°，根据平行线的性质得出∠AOB＝∠ACP＝30°，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵PC＝OC，
∴∠AOP＝∠CPO，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，
∴∠BOP＝∠CPO，
∴PC∥OB；
（2）解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴AP＝BP，
∵BP＝PC，
∴AP＝PC，
∵PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠ACP＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠AOB＝∠ACP＝30°，
∵∠AOP＝∠BOP＝∠CPO，
∴∠CPO＝30°＝15°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，角平分线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
四、解答题（本大题共4小题，8分+8分+8分+10分，满分34分）
23．（8分）（2021•郫都区模拟）某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是50元，若每箱销售80元，每星期可卖200箱．为了促销，该水果店决定降价促销．市场调查反映：若售价每降低1元，每星期可多卖出10箱．设该苹果每箱售价x元（50≤x≤80），每星期的销售量为y箱．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每箱为多少元时，每星期的销售利润达到6000元？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【专题】销售问题；应用意识．
【分析】（1）根据每星期的销售量＝200+10×降低的价格，即可找出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每星期的利润＝每箱的利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：y＝200+10（80﹣x）＝1000﹣10x（50≤x≤80），即y＝1000﹣10x（50≤x≤80）；
（2）依题意得：（x﹣50）（1000﹣10x）＝6000，
整理得：x2﹣150x+5600＝0，
解得：x1＝70，x2＝80．
答：当每箱售价为70或80元时，每星期的销售利润达到6000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（8分）（2020秋•奉贤区期末）已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，△ABC的面积为9．点P为边AB上动点，过点B作BD∥AC，交CP的延长线于点D．∠ACP的平分线交AB于点E．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求PA的长；
（2）如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【分析】（1）根据三角形的面积公式得出CP，进而利用勾股定理得出PA即可；
（2）延长BD，过A作AO∥BC，利用平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，△ABC的面积为9，AB＝6，
∴，
∴CP＝3，
由勾股定理得：PA＝；
（2）延长BD，过A作AO∥BC，
∵BD∥AC，AO∥BC，
∴四边形AOBC是平行四边形，
∵E是AB的中点，
∴延长CE肯定可以过点O点，
∴∠OCD＝∠ACO＝∠COD，
∴CD＝DO，
∵DO+DB＝AC，
∴AC＝CD+DB．
【点评】考查了全等三角形的判定和性质和平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质进行解答，属于中考常考题型．
25．（8分）（2020秋•奉贤区期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（2，m），过点A作x轴的垂线交x轴于点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点C在y＝x的图象上，且△CAB的面积为△OAB面积的2倍，求点C的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）把A的坐标为（2，m）代入y＝x，求得m，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据题意得到C的横坐标，代入y＝x求得纵坐标，即可得到C的坐标．
【解答】解：（1）∵点A在函数y＝x的图象上，点A的坐标为（2，m），
∴m＝1，
∴点A坐标为（2，1）．
∵点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴1＝，解得k＝2．
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由题意可知点C到AB的距离＝2OB，
∵点A坐标为（2，1）．
∴C的横坐标为6或﹣2，
把x＝6代入y＝x得y＝3；把x＝﹣2代入y＝x得y＝﹣1，
∴C的坐标为（6，3）或（﹣2，﹣1）．
【点评】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（10分）（2020秋•奉贤区期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．
（1）如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；
（2）如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；
（3）假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）解直角三角形得到AC＝2，∠A＝60°，根据等边三角形的性质得到∠DCE＝60°，求得∠ACD＝30°，得到CD＝AC＝3，于是得到结论；
（2）根据线段的和差得到CF+BE＝BC﹣EF＝6﹣3＝3，根据等边三角形的性质得到∠DEF＝60°，求得EG＝BE，根据等式的性质得到CF＝DG；
（3）根据y＝S△DFE﹣S△DHG，求解即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，
∴AC＝2，∠A＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∴CD＝AC＝3，
∴△DEF的周长＝9；
（2）解：结论：CF＝DG．
理由：∵BC＝6，EF＝DF＝DE＝3，
∴CF+BE＝BC﹣EF＝6﹣3＝3，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，
∵∠DEF＝∠B+∠EGB，
∴∠B＝∠EGB＝∠DGE＝30°，
∴EG＝BE，
∵EG+DG＝CF+BE＝3，
∴CF＝DG；
（3）∵S△DEF＝×32＝，
S△DGH＝•GH•DH＝•x•x＝x2，
y＝S△DFE﹣S△DHG＝﹣x2（0≤x≤3）．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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