【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题42　随机变量及其分布

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1.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________.
答案 0.14
解析 因为X～N(2，σ2)，
所以P(X>2)＝0.5，
所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(20，若随机变量ξ的分布列如下：
则下列方差值中最大的是( )
A.D(ξ) B.D(|ξ|)
C.D(2ξ－1) D.D(2|ξ|＋1)
答案 (1)D (2)C
解析 (1)由分布列的性质知，a＋b＋eq \f(1,2)＝1，eq \f(2,3)＋m＝1，
所以a＋b＝eq \f(1,2)，m＝eq \f(1,3)，
所以E(X)＝0×eq \f(1,2)＋1×a＋2×b＝a＋2b，E(Y)＝eq \f(1,a)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,b)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3a)＋eq \f(1,3b)，
所以E(X)·E(Y)＝(a＋2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3a)＋\f(1,3b)))＝eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)＋eq \f(4b,3a)＋eq \f(a,3b)≥eq \f(4,3)＋2eq \r(\f(4b,3a)×\f(a,3b))＝eq \f(8,3)，
当且仅当eq \f(4b,3a)＝eq \f(a,3b)，即a＝2b时等号成立，
故E(X)·E(Y)的最小值为eq \f(8,3).
(2)由题意知a＋2a＋3a＝1，a＝eq \f(1,6)，
E(ξ)＝－1×eq \f(1,6)＋0×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,6)，
E(|ξ|)＝1×eq \f(1,6)＋0×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(7,6)，
D(ξ)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(5,6)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(5,6)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(5,6)))eq \s\up12(2)＝eq \f(53,36)，
D(|ξ|)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,6)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(7,6)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(7,6)))eq \s\up12(2)＝eq \f(29,36).
D(ξ)>1>D(|ξ|)，
D(2ξ－1)＝4×eq \f(53,36)＝eq \f(53,9)，
D(2|ξ|＋1)＝4×eq \f(29,36)＝eq \f(29,9).
其中D(2ξ－1)最大.
热点二 随机变量的分布列
1.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
2.二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
考向1 二项分布
例2 (2022·遵义二模)为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示.
减排器等级分布如表.
(1)若从这100件甲型号减排器中按等级用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；
(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E(ξ).
解 (1)由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为
0.08×5＋0.04×5＝0.6，
用分层抽样的方法抽取10件，
则抽取一级品为10×0.6＝6(件)，
则至少有2件一级品的概率P＝eq \f(Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(4,6),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(37,42).
(2)由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为eq \f(7,10)，二级品的概率为eq \f(1,4)，三级品的概率为eq \f(1,20)，
若从乙型号减排器中随机抽取3件，
则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,4)))，
所以P(ξ＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(0)＝eq \f(27,64)；P(ξ＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(1)＝eq \f(27,64)；
P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,64)；P(ξ＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,64).
所以ξ的分布列为
所以数学期望
E(ξ)＝0×eq \f(27,64)＋1×eq \f(27,64)＋2×eq \f(9,64)＋3×eq \f(1,64)＝eq \f(3,4)，或E(ξ)＝3×eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
考向2 超几何分布
例3 (2022·沈阳重点高中联考)北京冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者培训活动，并在培训结束后进行一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩得到的统计图表如下所示.
女志愿者考核成绩频率分布表
男志愿者考核成绩频率分布直方图
若参加这次考核的志愿者考核成绩在[90，100]内，则考核等级为优秀.
(1)分别求出m，a，b的值，以及这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数；
(2)若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到男志愿者的人数为X，求X的分布列及数学期望.
解 (1)由女志愿者考核成绩的频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为
2÷0.050＝40.
因为0.050＋0.325＋m＋0.100＋0.075＝1，
所以m＝0.45.
a＝40×0.100＝4，b＝40×0.075＝3.
因为被抽取的志愿者人数是80，所以被抽取的男志愿者人数是80－40＝40.
由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为(0.010＋0.015)×5＝0.125，则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为
40×0.125＝5.
(2)由题中表可知，这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为4＋3＝7，故样本中考核等级为优秀的志愿者人数为5＋7＝12，则X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,7),Ceq \\al(3,12))＝eq \f(35,220)＝eq \f(7,44)，P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,7),Ceq \\al(3,12))＝eq \f(105,220)＝eq \f(21,44)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,7),Ceq \\al(3,12))＝eq \f(70,220)＝eq \f(7,22)，P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,5),Ceq \\al(3,12))＝eq \f(10,220)＝eq \f(1,22)，
所以X的分布列为
故E(X)＝0×eq \f(7,44)＋1×eq \f(21,44)＋2×eq \f(7,22)＋3×eq \f(1,22)＝eq \f(5,4).
规律方法 求随机变量X的均值与方差的方法及步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值对应的概率，写出随机变量X的分布列；
(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.
训练2 (2022·茂名二模)冰壶是冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为eq \f(1,3)，eq \f(1,4)；甲、乙得2分的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(1,2)；甲、乙得1分的概率分别为eq \f(1,5)，eq \f(1,6).
(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望.
解 (1)由题意知，甲得0分的概率为1－eq \f(1,3)－eq \f(2,5)－eq \f(1,5)＝eq \f(1,15)，
乙得0分的概率为1－eq \f(1,4)－eq \f(1,2)－eq \f(1,6)＝eq \f(1,12)，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,5)×eq \f(1,6)＋eq \f(1,15)×eq \f(1,12)＝eq \f(29,90).
(2)X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则P(X＝0)＝eq \f(1,15)×eq \f(1,12)＝eq \f(1,180)，
P(X＝1)＝eq \f(1,15)×eq \f(1,6)＋eq \f(1,5)×eq \f(1,12)＝eq \f(1,36)，
P(X＝2)＝eq \f(1,15)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,5)×eq \f(1,6)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,12)＝eq \f(1,10)，
P(X＝3)＝eq \f(1,15)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,12)＝eq \f(19,90)，
P(X＝4)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,4)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,6)＝eq \f(11,36)，
P(X＝5)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(4,15)，
P(X＝6)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12)，
所以，随机变量X的分布列为：
所以E(X)＝0×eq \f(1,180)＋1×eq \f(1,36)＋2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(19,90)＋4×eq \f(11,36)＋5×eq \f(4,15)＋6×eq \f(1,12)＝eq \f(47,12).
热点三 正态分布
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴x＝μ.
(2)样本标准差σ.
(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.
例4 (2022·重庆一诊)2020年8月，教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》.某校积极响应国家号召，组织全校学生加强实心球项目训练，规定该校男生投掷实心球6.9米达标，女生投掷实心球6.2米达标，并拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次，一旦达标无需再投.从该校任选5名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，则该校学生还需加强实心球项目训练，已知该校男生投掷实心球的距离ξ1服从正态分布N(6.9，0.25)，女生投掷实心球的距离ξ2服从正态分布N(6.2，0.16)(ξ1，ξ2的单位：米).
(1)请你通过计算，判断该校学生是否还需加强实心球项目训练；
(2)为提高学生考试达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校女生投掷实心球的距离ξ2服从正态分布N(6.516，0.16)，且P(X≤6.832)＝0.785.此时，请判断该校女生投掷实心球的考试达标率能否达到99%？并说明理由.(eq \r(3,10)≈2.15)
解 (1)依题意该校男生投掷实心球的距离ξ1服从正态分布N(6.9，0.25)，女生投掷实心球的距离ξ2服从正态分布N(6.2，0.16)，
所以男生和女生的达标概率为eq \f(1,2)，不达标概率为eq \f(1,2)，
所以从该校任选5名学生进行测试，如果有2人不达标的概率为
Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(10,32)＝eq \f(5,16)>0.1，
所以该校学生还需加强实心球项目训练.
(2)ξ2～N(6.516，0.16)，
即ξ2～N(6.2＋0.316，0.42)，
且P(X≤6.832)＝0.785，
即P(X≤6.516＋0.316)＝0.785，
所以P(X≥6.2)＝P(X≤6.832)＝0.785，
eq \r(3,10)≈2.15，eq \f(\r(3,10),10)≈0.215，eq \f(10,1 000)≈0.2153，0.2153≈0.01，
则女生达标率为1－(1－0.785)3＝1－0.2153≈0.99.
所以该校女生投掷实心球的考试达标率能达到99%.
规律方法 利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的活用：
(1)对任意的a，有P(Xμ＋a).
(2)P(X