【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题35　导数与函数的零点

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[高考真题] (2022·全国乙卷改编)已知函数f(x)＝ax－eq \f(1,x)－(a＋1)ln x.若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.
解 由f(x)＝ax－eq \f(1,x)－(a＋1)ln x(x＞0)，
得f′(x)＝a＋eq \f(1,x2)－eq \f(a＋1,x)＝eq \f(（ax－1）（x－1）,x2)(x＞0).
当a＝0时，f(x)＝－eq \f(1,x)－ln x，x>0，
f′(x)＝eq \f(1－x,x2)，故f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(1)＝－10，a∈R，证明：函数y＝f(x)有两个不同的零点.
证明 由题知f′(x)＝a(x－1)ex＋2(x－1)＝(x－1)(aex＋2)，
当a>0时，aex＋2>0，
由f′(x)1，
所以f(x)在(1，＋∞)上为增函数，
而f(1)＝－ae0，
所以f(x)在(1，＋∞)上有唯一零点，
且该零点在(1，2)上.
取b0，
所以f(x)在(－∞，1)上有唯一零点，
且该零点在(b，1)上，
所以当a>0时，f(x)恰好有两个零点.
样题2 (2022·太原模拟)已知函数f(x)＝(x－a)2eeq \f(x,a).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若方程f(x)－4e＝0有三个零点，求实数a的取值范围.
解 (1)函数定义域为R，f′(x)＝eq \f(1,a)eeq \f(x,a)(x－a)(x＋a)，
当a>0时，f(x)在(－∞，－a)和(a，＋∞)上递增，在(－a，a)递减；
当a0时，f(x)的递增区间为(－∞，－a)和(a，＋∞)，递减区间是(－a，a)；当a0时，f(x)在(－∞，－a)和(a，＋∞)上递增，在(－a，a)递减，
∴函数极大值f(－a)＝eq \f(4a2,e)，函数极小值f(a)＝0，
又当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，
若使f(x)－4e＝0有三个零点，只需eq \f(4a2,e)>4e，解得：a>e；
当a4e，解得a0).
①当a≤1时，f′(x)≥0在[1，e2]上恒成立，f(x)在[1，e2]上单调递增.
∵f(1)＝a－1≤0，f(e2)＝e2＋eq \f(a,e2)－2a，
(ⅰ)当a≤0时，f(e2)＝e2＋eq \f(a,e2)－2a
＝e2＋aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)－2))>0；
(ⅱ)当02eq \r(a)－2a＝2eq \r(a)(1－eq \r(a))≥0，
∴f(e2)>0，
∴由零点存在定理知f(x)在[1，e2]上有1个零点；
②当1