【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题43　统计与统计案例

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1.(2022·全国乙卷)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h)，得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是( )
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
答案 C
解析 对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为eq \f(7.3＋7.5,2)＝7.4，A选项结论正确；
对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为
eq \f(1,16)×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)＝8.506 25>8，B选项结论正确；
对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值eq \f(6,16)＝0.3750.6，D选项结论正确.故选C.
2.(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案 B
解析 对于A，讲座前问卷答题的正确率的中位数是eq \f(70%＋75%,2)＝72.5%，所以A错误；
对于B，讲座后问卷答题的正确率分别是80%，85%，85%，85%，85%，90%，90%，95%，100%，100%，其平均数显然大于85%，所以B正确；
对于C，由题图可知，讲座前问卷答题的正确率波动较大，讲座后问卷答题的正确率波动较小，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后问卷答题的正确率的标准差，所以C错误；
对于D，讲座前问卷答题的正确率的极差是95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差是100%－80%＝20%，所以讲座前问卷答题的正确率的极差大于讲座后问卷答题的正确率的极差，所以D错误.故选B.
3.(2022·全国甲卷)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，
解 (1)由题表可得A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为eq \f(240,240＋20)＝eq \f(12,13)，
B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为eq \f(210,210＋30)＝eq \f(7,8).
(2)K2＝eq \f(500×（240×30－20×210）2,（240＋20）×（210＋30）×（240＋210）×（20＋30）)≈3.205＞2.706，
所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
4.(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
并计算得eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝0.038，eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))yeq \\al(2,i)＝1.615 8，eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))xiyi＝0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附：相关系数r＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2))，eq \r(1.896)≈1.377.
解 (1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(0.6,10)＝0.06(m2)，
样本中10棵这种树木的材积量的平均值eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(3.9,10)＝0.39(m3)，
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39 m3.
(2)r＝eq \f(\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2))＝eq \f(\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))xiyi－10\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\r(（\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－10\(x,\s\up6(－))2）（\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))yeq \\al(2,i)－10\(y,\s\up6(－))2）))
＝eq \f(0.247 4－10×0.06×0.39,\r(（0.038－10×0.062）（1.615 8－10×0.392）))＝eq \f(0.013 4,\r(0.000 189 6))
≈eq \f(0.013 4,0.013 77)≈0.97.
(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得eq \f(0.06,0.39)＝eq \f(186,Y)，
解得Y＝1 209.
则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3.
热点一 用样本估计总体
1.用样本的频率分布估计总体的频率分布.
(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示eq \f(频率,组距)，频率＝组距×eq \f(频率,组距).
(2)在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
2.用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本数据：x1，x2，…，xn.
(1)标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，
s＝eq \r(\f(1,n)[（x1－\(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\(x,\s\up6(－))）2]).
(2)方差：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \(x,\s\up6(－)))2](xn是样本数据，n是样本容量，eq \(x,\s\up6(－))是样本平均数).
(3)若a>0，数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的标准差为as，方差为a2s2.
考向1 统计图表与数字特征的应用
例1 (1)(2022·柳州二模)某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组的取值区间均为左闭右开区间)，画出频率分布直方图(如图)，下列说法不正确的是( )
A.在被抽取的学生中，成绩在区间[90，100)内的学生有10人
B.这100名学生成绩的众数为85
C.估计全校学生成绩的平均分数为78
D.这100名学生成绩的中位数为80
(2)(2022·开封模拟)甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天产品的次品数的茎叶图如图所示，下列判断错误的是( )
A.甲的中位数大于乙的中位数B.甲的众数大于乙的众数
C.甲的方差大于乙的方差D.甲的性能优于乙的性能
答案 (1)D (2)D
解析 (1)选项A，成绩在区间[90，100)的频率为0.01×10＝0.1，则人数为100×0.1＝10，故正确；
选项B，由频率分布直方图可知，学生成绩的众数为85，故正确.
选项C，全校学生成绩的平均分数为
0.01×55×10＋0.015×65×10＋0.02×75×10＋0.045×85×10＋0.01×95×10＝78，故正确.
选项D，成绩在区间[50，60)的频率为0.1，成绩在区间[60，70)的频率为0.15，
成绩在区间[70，80)的频率为0.2，
成绩在区间[80，90)的频率为0.45，
由0.1＋0.15＋0.2＝0.45