【最新】2023版高中高考数学二轮专题复习微专题44　坐标系与参数方程

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高考定位 本节内容在高考中主要考查极坐标、参数方程与普通方程的相互转化，以及直线与曲线的位置关系等，中等难度.
1.(2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2＋t,6)，,y＝\r(t)))(t为参数)，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(2＋s,6)，,y＝－\r(s)))(s为参数).
(1)写出C1的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cs θ－sin θ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标.
解 (1)由y＝eq \r(t)，得t＝y2(y≥0)，代入x＝eq \f(2＋t,6)，可得x＝eq \f(2＋y2,6)，
即y2＝6x－2(y≥0)，
所以曲线C1的普通方程为y2＝6x－2(y≥0).
(2)曲线C3的极坐标方程可化为2ρcs θ－ρsin θ＝0，
所以普通方程为y＝2x.
由y＝－eq \r(s)，得s＝y2(y≤0)，
代入x＝－eq \f(2＋s,6)，可得x＝－eq \f(2＋y2,6)，即y2＝－6x－2(y≤0).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝6x－2（y≥0），,y＝2x，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，))
所以C3与C1交点的直角坐标为(eq \f(1,2)，1)，(1，2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝－6x－2（y≤0），,y＝2x，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2，))
所以C3与C2交点的直角坐标为(－eq \f(1,2)，－1)，(－1，－2).
2.(2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs 2t，,y＝2sin t))(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋eq \f(π,3))＋m＝0.
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围.
解 (1)直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋eq \f(π,3))＋m＝0，
即ρsin θ＋eq \r(3)ρcs θ＋2m＝0，根据eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))
得l的直角坐标方程为eq \r(3)x＋y＋2m＝0.
(2)曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs 2t，,y＝2sin t))(t为参数)，
将sin t＝eq \f(y,2)代入x＝eq \r(3)cs 2t＝eq \r(3)(1－2sin2t)，
得曲线C的普通方程为y2＝－eq \f(2\r(3),3)x＋2(－2≤y≤2).
联立直线l与曲线C的方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋y＋2m＝0，,y2＝－\f(2\r(3),3)x＋2，))
消去x并整理得3y2－2y－6－4m＝0(－2≤y≤2).
法一 若直线l与曲线C有公共点，则
Δ＝(－2)2－4×3×(－6－4m)≥0，且
3×(－2)2－2×(－2)－6－4m≥0，
所以－eq \f(19,12)≤m≤eq \f(5,2)，
即m的取值范围为[－eq \f(19,12)，eq \f(5,2)].
法二 所以4m＝3y2－2y－6(－2≤y≤2).
因为3y2－2y－6＝3(y－eq \f(1,3))2－eq \f(19,3)，
当－2≤y≤2时，－eq \f(19,3)≤3y2－2y－6≤10，
即－eq \f(19,3)≤4m≤10，则－eq \f(19,12)≤m≤eq \f(5,2)，
即m的取值范围为[－eq \f(19,12)，eq \f(5,2)].
热点一 极坐标方程
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tan θ＝\f(y,x)（x≠0）.))
例1 (2022·昆明诊断)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点Q的极坐标为(8，0)，动点P的极坐标为(ρ，θ).
(1)若ρ＝2，θ＝eq \f(π,3)，求点P的直角坐标及△OPQ的面积；
(2)在△OPQ中，若∠OPQ＝eq \f(1,2)∠POQ，求顶点P的轨迹的极坐标方程.
解 (1)当ρ＝2，θ＝eq \f(π,3)时，
x＝ρcs θ＝2×eq \f(1,2)＝1，
y＝ρsin θ＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，
所以点P的直角坐标为(1，eq \r(3))，
所以S△OPQ＝eq \f(1,2)|OQ||yP|＝eq \f(1,2)×8×eq \r(3)＝4eq \r(3).
(2)由题意得，∠OPQ＝eq \f(1,2)∠POQ＝eq \f(1,2)θ，
所以∠OQP＝π－eq \f(3,2)θ，
在△OPQ中，由正弦定理得eq \f(|OQ|,sin∠OPQ)＝eq \f(|OP|,sin∠PQO)，
即eq \f(8,sin \f(θ,2))＝eq \f(ρ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(3,2)θ)))，
ρsin eq \f(θ,2)＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(θ,2)))，
化简得ρ＝8＋16cs θ.
因为存在△OPQ，
所以|θ|∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，
即θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，
所以点P的轨迹的极坐标方程为
ρ＝8＋16cs θ，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3))).
易错提醒 在涉及直角坐标方程和极坐标方程的互化与应用时，一定要注意变量的取值范围，注意转化的等价性.
训练1 (2022·广西三市联考)在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1：x2＋(y－2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,2)))，射线θ＝eq \f(π,3)(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积.
解 (1)由题知点Q的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，
所以曲线C2的方程为(x－2)2＋y2＝4.
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，
曲线C2 的极坐标方程为ρ＝4cs θ.
(2)在极坐标系中，设点A，B的极径分别为ρ1，ρ2，
所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,3)－cs \f(π,3)))＝2(eq \r(3)－1)，
点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,2)))到射线θ＝eq \f(π,3)(ρ≥0)的距离h＝3sin eq \f(π,6)＝eq \f(3,2)，
故△MAB的面积S＝eq \f(1,2)|AB|h＝eq \f(3（\r(3)－1）,2).
热点二 参数方程
常见曲线的参数方程
(1)以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝a＋rcs α，,y＝b＋rsin α))(α为参数).
当圆心在(0，0)时，方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝rcs α，,y＝rsin α))(α为参数).
(2)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝acs φ，,y＝bsin φ))(φ为参数).
椭圆eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1(a>b>0)的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝bcs φ，,y＝asin φ))(φ为参数).
(3)直线
经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数).
例2 (2022·东北三省四市模拟)已知某曲线C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs φ，,y＝sin φ))(φ为参数).
(1)若P(x，y)是曲线C上的任意一点，求x＋2y的最大值；
(2)已知过C的右焦点F，且倾斜角为αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤α0).
由tan θ有意义可知cs θ≠0，
∴x＝ρcs θ≠0，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＝2ay(x≠0，a>0).
(2)将直线l的参数方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－4＋\f(\r(2),2)t，,y＝－2＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程，
得t2－2eq \r(2)(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，
设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝2eq \r(2)(4＋a)，t1t2＝8(4＋a).
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
∴|PM|·|PN|＝|MN|2，
∴|t1|·|t2|＝|t1－t2|2，
即|t1t2|＝(t1＋t2)2－4t1t2，
(t1＋t2)2＝5t1t2，
∴8(4＋a)2＝40(4＋a)，
∴a＝1(负根舍去).
一、基本技能练
1.(2022·昆明质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝1＋t))(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cs θ.
(1)求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；
(2)若C1，C2交于A，B两点，求|OA|·|OB|.
解 (1)C1的普通方程为x－y＝1，
所以C1的极坐标方程为ρcs θ－ρsin θ＝1，
C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)C1的极坐标方程为ρcs θ－ρsin θ＝1，
C2的极坐标方程为ρ＝4cs θ，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρcs θ－ρsin θ＝1，,ρ＝4cs θ，))
解得cs θ＝eq \f(ρ,4)，sin θ＝eq \f(ρ,4)－eq \f(1,ρ)，
由sin2θ＋cs2θ＝1得ρ4－12ρ2＋8＝0，
得ρeq \\al(2,1)ρeq \\al(2,2)＝8，ρ1ρ2＝2eq \r(2)，
所以|OA|·|OB|＝ρ1ρ2＝2eq \r(2).
2.(2022·江南十校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)t，,y＝1＋\f(\r(3),2)t))(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(k－1＋3sink\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)＋θ))))ρk＝4.
(1)当k＝1时，求C1和C2的直角坐标方程；
(2)当k＝2时，C1与C2交于A，B两点，设P的直角坐标为(0，1)，求eq \f(1,|PA|)＋eq \f(1,|PB|)的值.
解 (1)将曲线C1的参数方程消参得曲线C1：eq \r(3)x＋y－1＝0.
当k＝1时，曲线C2的极坐标方程为3ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝4，
将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入得曲线C2：3x＋3y－4eq \r(2)＝0.
(2)当k＝2时，C2的直角坐标方程为4x2＋y2＝4，将C1的参数方程代入其中，整理得7t2＋4eq \r(3)t－12＝0，Δ>0，
设A，B对应在的参数方程为t1，t2，
则t1＋t2＝－eq \f(4\r(3),7)，t1·t2＝－eq \f(12,7)，
所以eq \f(1,|PA|)＋eq \f(1,|PB|)＝eq \f(1,|t1|)＋eq \f(1,|t2|)＝eq \f(|t1|＋|t2|,|t1·t2|)＝eq \f(|t1－t2|,\f(12,7))＝eq \f(\r(（t1＋t2）2－4t1·t2),\f(12,7))＝eq \f(2\r(6),3).
3.(2022·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,t)))，,y＝t－\f(1,t)))(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝0.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)已知点P(3，eq \r(3))，曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求||PA|－|PB||的值.
解 (1)将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,t)))，,y＝t－\f(1,t)))(t为参数)的参数t消去得曲线C1的普通方程为
x2－eq \f(y2,4)＝1.
∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝0，
∴ρcs θ－eq \r(3)ρsin θ＝0，
将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入得曲线C2的直角坐标方程为x－eq \r(3)y＝0.
(2)由题意得点P(3，eq \r(3))在曲线C2上，其参数方程可表示为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3＋\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))(t为参数)，
将上述参数方程代入x2－eq \f(y2,4)＝1得11t2＋44eq \r(3)t＋116＝0，Δ>0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
∴t1＋t2＝－4eq \r(3)，t1t2＝eq \f(116,11)，
∴(|PA|－|PB|)2＝(|PA|＋|PB|)2－4|PA||PB|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝eq \f(64,11).
∴||PA|－|PB||＝eq \f(8\r(11),11).
二、创新拓展练
4.(2022·成都七中诊断)在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝t－\r(3)，,y＝kt))(t为参数)，直线l2的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)－m，,y＝\f(m,3k)))(m为参数)，设直线l1与l2的交点为P，当k变化时点P的轨迹为曲线C1.
(1)求曲线C1的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝3eq \r(2)，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值.
解 (1)将直线l1，l2的参数方程化为普通方程，得
l1：y＝k(x＋eq \r(3))，l2：y＝eq \f(1,3k)(eq \r(3)－x)，
两式相乘消去k，可得eq \f(x2,3)＋y2＝1.
因为k≠0，所以y≠0.
所以曲线C1的普通方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1(y≠0).
(2)直线C2的直角坐标方程为x＋y－6＝0，
由(1)知，曲线C1与直线C1无公共点.
由于曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs α，,y＝sin α))(α为参数，α≠kπ，k∈Z)，
所以曲线C1上的点Q(eq \r(3)cs α，sin α)到直线C2：x＋y－6＝0的距离
d＝eq \f(|\r(3)cs α＋sin α－6|,\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－6)),\r(2))，
所以当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－1，
即α＝eq \f(7π,6)时，d取得最大值为4eq \r(2).