数学九年级下册3 垂径定理一课一练

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课  时  练第3单元  圆3 垂径定理1．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（　　）A．6 B．5 C．4 D．32．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（　　）A．4 B．6 C．2 D．83．如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB＝16，BC＝12，则△OBD的面积为何？（　　）A．6 B．12 C．15 D．304．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（　　）A．AC＝AB B．∠C＝∠BOD C．∠C＝∠B D．∠A＝∠BOD5．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（　　）A．CE＝DE B．AE＝OE C．＝ D．△OCE≌△ODE6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm7．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（　　）A．3 B．3 C． D．8．在⊙O内有一点P，已知OP＝，且圆内过点P的最短弦长为6，则⊙O的面积是（　　）A．6π B．8π C．10π D．12π9．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r＝，则OA的长为（　　）A．3或5 B．5 C．4或5 D．410．如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为　 　．11．如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标；（2）若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．   12．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE＝CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．13．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE＝4，OF＝6，求⊙O的半径和CD的长．14．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．  16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC＝∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC＝22.5°，⊙O的半径R＝2，求劣弧AC的长度． 17．已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为10，OE、OF分别交AB于点E、F，OF的延长线交⊙O于点D，且AE＝BF，∠EOF＝60°．（1）求证：△OEF是等边三角形；（2）当AE＝OE时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π） 18．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，请直接写出∠DCA的度数． 19．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC＝60°．求证：AC＝AP；（2）如图②，若sin∠BPC＝，求tan∠PAB的值．20．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．（1）如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径．21．有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度7.2m，拱顶高出水平面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过拱桥，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
参考答案1．B2．A3．A4．B5．B6．C7．C8．D9．A10． 3．11．解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，则MA＝MB，连接AC，如图∵点C的坐标为（2，），∴OM＝2，CM＝，在Rt△ACM中，CA＝2，∴AM＝＝1，∴OA＝OM﹣AM＝1，OB＝OM+BM＝3，∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0）；（2）将A（1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，解得．所以二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3．12．（1）证明：∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BE＝CE；（2）四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB＝AC，∴AD⊥BC，BE＝CE，∵CF∥BD，∴∠FCE＝∠DBE，在△BED和△CEF中，，∴△BED≌△CEF（ASA），∴CF＝BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴四边形BFCD是菱形；（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，∵∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，∴△AEC∽△CED，∴＝，∴CE2＝DE•AE，设DE＝x，∵BC＝8，AD＝10，∴42＝x（10﹣x），解得：x＝2或x＝8（舍去）在Rt△CED中，CD＝＝＝2．13．解：∵OE⊥AB，∴∠OEF＝90°，∵OC为小圆的直径，∴∠OFC＝90°，而∠EOF＝∠FOC，∴Rt△OEF∽Rt△OFC，∴OE：OF＝OF：OC，即4：6＝6：OC，∴⊙O的半径OC＝9；在Rt△OCF中，OF＝6，OC＝9，∴CF＝＝3，∵OF⊥CD，∴CF＝DF，∴CD＝2CF＝6．14．（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE，∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD； （2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8，∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2．15．解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8，设OB＝x，又∵BE＝4，∴x2＝（x﹣4）2+82，解得：x＝10，∴⊙O的直径是20． （2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，∴∠D＝∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D＝30°．16．解：（1）∵∠PBC＝∠D，∠PBC＝∠C，∴∠C＝∠D，∴CB∥PD； （2）连接OC，OD．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴＝，∵∠PBC＝∠DCB＝22.5°，∴∠BOC＝∠BOD＝2∠C＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝135°，∴劣弧AC的长为：＝．17．（1）证明：作OC⊥AB于点C，∵OC⊥AB，∴AC＝BC，∵AE＝BF，∴EC＝FC，∵OC⊥EF，∴OE＝OF，∵∠EOF＝60°，∴△OEF是等边三角形； （2）解：∵在等边△OEF中，∠OEF＝∠EOF＝60°，AE＝OE，∴∠A＝∠AOE＝30°，∴∠AOF＝90°，∵AO＝10，∴OF＝，∴S△AOF＝××10＝，S扇形AOD＝×102＝25π，∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOF＝25π﹣．18．解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，则AE＝AC＝×2＝1，∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE＝r，在Rt△AOE中，AO2＝AE2+OE2，即r2＝12+（r）2，解得r＝； （2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠DCA＝∠CDB﹣∠A＝65°﹣25°＝40°．19．解：（1）∵∠BPC＝60°∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝∠ABC＝60°，而点P是的中点，∴∠ACP＝∠ACB＝30°，∴∠PAC＝90°，∴tan∠PCA＝＝tan30°＝，∴AC＝PA； （2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连接OP交AB于E，如图，∵AB＝AC，∴AD平分BC，∴点O在AD上，连接OB，则∠BOD＝∠BAC，∵∠BPC＝∠BAC，∴sin∠BOD＝sin∠BPC＝＝，设OB＝25x，则BD＝24x，∴OD＝＝7x，在Rt△ABD中，AD＝25x+7x＝32x，BD＝24x，∴AB＝＝40x，∵点P是的中点，∴OP垂直平分AB，∴AE＝AB＝20x，∠AEP＝∠AEO＝90°，在Rt△AEO中，OE＝＝15x，∴PE＝OP﹣OE＝25x﹣15x＝10x，在Rt△APE中，tan∠PAE＝＝＝，即tan∠PAB的值为．20．解：（1）∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AC、BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AD＝CD，∴四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD； （2）连接DO，延长交圆O于F，连接CF、BF．∵DF是直径，∴∠DCF＝∠DBF＝90°，∴FB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD＝90°，∵∠FCA+∠ACD＝90°∴∠BDC＝∠FCA＝∠BAC∴四边形ACFB是等腰梯形，∴CF＝AB．根据勾股定理，得CF2+DC2＝AB2+DC2＝DF2＝20，∴DF＝，∴OD＝，即⊙O的半径为．21．解：如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝7.2m，∴BD＝AB＝3.6m．又∵CD＝2.4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣2.4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，解得r＝3.9．∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB＝2m，∴CE＝2.4﹣2＝0.4（m），∴OE＝r﹣CE＝3.9﹣0.4＝3.5（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝3.92﹣3.52＝2.96（m2），∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×≈3.44m＞3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．